辅因子（数学）

在数学，一个辅因子是矩阵矩阵的计算行列式.

让M（M）成为平方矩阵的尺寸n个(我,j)少数的指的是(n个-1)×(n个-1） 子矩阵M（M）_我,j通过删除我-第行和j-第个列来自M（M）（或有时仅限于子矩阵M（M）_我,j自身）。相应的辅因子是有符号行列式

${\显示样式（-1）^{i+j}\det M_{i，j}.\，}$

这个调整矩阵形容词M（M）是方阵，其(我,j)条目是(j,我)辅因子。我们有

${\显示样式M\cdot\mathop{\mbox{adj}}M=（\detM）I_{n}=\mathop{\mbox{adj{}M\cdot M，\，}$

它编码了行列式展开的规则M（M）通过任何行或列的任何辅因子。此表达式显示，如果detM（M）是可逆的，那么M（M）是可逆的，并且矩阵逆确定为

${\显示样式M^{-1}=（\det M）^{-1{\mathop{\mbox{adj}}M.\，}$

例子

考虑以下矩阵示例，

${\显示样式M={\开始｛pmatrix｝a_{1} &a{2}&a{3}\\b{1}&b{2}&b{3}\\c{1}&c{2}&c{3}\ \\end{pmatrix}}.}｛pmatrix｝a_{1} &a{2}&a{3}\\b{1}&b{2}&b{3}\\c{1}&c{2}&c{3}\ \\end{pmatrix}}.}$

其子项是决定因素（条形表示决定因素）：

${\显示样式M_{11}={\开始{vmatrix}b_{2} &b_｛3｝\\c_｛2｝&c_｛3｝\\end｛vmatrix｝｝\quad M_｛12｝=｛\ begin｛vmatrix｝b_{1} &b_{3}\\c_{1}&c_{3{\\end{vmatrix}}\quad M_{13}={begin{vmatrix}b_{1} &b_{2}\\c_{1}&c_{2{\\end{vmatrix}}\quad M_{21}={begin{vmatrix}一个_{2} &a{3}\\c_{2}&c_{3}\\end{vmatrix}}\四M_{22}={begin{vmatrix}一个_{1} &a{3}\\c{1}&c{3}\结束{vmatrix}}\四}{vmatrix}b_{2} &b_｛3｝\\c_｛2｝&c_｛3｝\\end｛vmatrix｝｝\quad M_｛12｝=｛\ begin｛vmatrix｝b_{1} &b_{3}\\c_{1}&c_{3{\\end{vmatrix}}\quad M_{13}={begin{vmatrix}b_{1} &b_{2}\\c_{1}&c_{2{\\end{vmatrix}}\quad M_{21}={begin{vmatrix}一个_{2} &a{3}\\c_{2}&c_{3}\\end{vmatrix}}\四M_{22}={begin{vmatrix}一个_{1} &a{3}\\c{1}&c{3}\结束{vmatrix}}\四}$

${\显示样式M_{23}={\开始{vmatrix}一个_{1} &a{2}\\c_{1}&c_{2}\\end{vmatrix}}\四M_{31}={begin{vmatrix}一个_{2} &a{3}\\b_{2}&b_{3}\\end{vmatrix}}\四M_{32}={begin{vmatrix}一个_{1} &a{3}\\b_{1}&b_{3}\\end{vmatrix}}\quad M_{33}={begin{vmatrix}一个_{1} &a{2}\\b{1}&b{2}\结束{vmatrix}}\四}{vmatrix}一个_{1} &a{2}\\c_{1}&c_{2}\\end{vmatrix}}\四M_{31}={begin{vmatrix}一个_{2} &a{3}\\b_{2}&b_{3}\\end{vmatrix}}\四M_{32}={begin{vmatrix}一个_{1} &a{3}\\b_{1}&b_{3}\\end{vmatrix}}\quad M_{33}={begin{vmatrix}一个_{1} &a{2}\\b{1}&b{2}\结束{vmatrix}}\四}$

的调整矩阵M（M）是

${\displaystyle\mathrm{adj}M=A={\begin{pmatrix}M_{11} &-M_{21}和M_{31}\\-M_{12}和M_{22}&-M_{32}\\M_{13}和-M_{23}&M_{33}\\end{pmatrix}}，}{pmatrix}M_{11} &-M_{21}和M_{31}\\-M_{12}和M_{22}&-M_{32}\\M_{13}和-M_{23}&M_{33}\\end{pmatrix}}，}$

逆矩阵是

${\显示样式M^{-1}=|M|^{-1}甲\,.}{-1}甲\,.}$

的确，

${\显示样式{\开始{对齐}\左（M\；M^{-1}\右）_{11}&=|M|^{-1{\左（a_{1} M（M）_{11} -a个_{2} M（M）_{12} +a个_{3} M（M）_{13} \右）={\frac{|M|}{|M|1}}=1\\left（M\；M^{-1}\right）_{21}&=|M|^{-1{left（b_{1} M（M）_{11} -b个_{2} M（M）_{12} +b个_{3} M（M）_{13} \右）=|M|^{-1}\左[b_{1}（b_{2} c_{3} -b个_{3} c（c）_{2} ）-b{2}（b_{1} c（c）_{3} -b个_{3} c（c）_{1} ）+b{3}（b_{1} c（c）_{2} -b个_{2} c（c）_{1} ）\right]=0，\\end{aligned}}}{1} M（M）_{11} -a个_{2} M（M）_{12} +a个_{3} M（M）_{13} \右）={\frac{|M|}{|M|1}}=1\\left（M\；M^{-1}\right）_{21}&=|M|^{-1{left（b_{1} M（M）_{11} -b个_{2} M（M）_{12} +b个_{3} M（M）_{13} \右）=|M|^{-1}\左[b_{1}（b_{2} c_{3} -b个_{3} c（c）_{2} ）-b{2}（b_{1} c（c）_{3} -b个_{3} c（c）_{1} ）+b{3}（b_{1} c（c）_{2} -b个_{2} c（c）_{1} ）\right]=0，\\end{aligned}}}$

产品的其他矩阵元素也一样。

工具书类

• C.W.Norman（1986）。本科代数：第一门课程.牛津大学出版社, 306,310,315.十亿美元0-19-853248-2.