Clebsch-Gordan系数

本文以了解角动量的量子理论和角动量耦合.

在量子力学，的Clebsch-Gordan系数（CG系数）是角动量耦合中出现的一组数字。

在数学，CG系数出现在组中表象理论，尤其是紧李群。它们出现在显式直接和分解外部产品共两个它的不可约表示（不重复）一组G公司一般来说，由张量积空间携带的外积表示（rep）在以下条件下是可约的G公司.将外部产品代表分解为G公司需要张量积空间的基变换。CG系数是这个基变换矩阵的元素。在物理学中，通常只考虑所涉及的向量空间的正交基，然后CG系数构成一个酉矩阵。

这个名字来源于德国数学家阿尔弗雷德·克莱布施（1833-1872）和保罗·戈尔丹（1837-1912），他在不变理论CG系数的另一个名称是维格纳系数，之后尤金·维格纳(1902–1995).

以下公式使用狄拉克的 bra-ket符号即数量${\displaystyle\scriptstyle\langle\psi|\phi\rangle}$表示同一复内积空间中元素ψ和φ之间的正定内积。我们遵循物理惯例${\displaystyle\scriptstyle\langle c\psi|\phi\rangle=c^{*}\langle\psi| \phi\rangle}$，其中${\显示样式\脚本样式c^{*}\，}$是复数的复数共轭c.

角动量CG系数

虽然Clebsch-Gordan系数可以为任意群定义，但在本文中，我们只关注与空间和自旋相关的群角动量即群SO（3）和SU（2）。在这种情况下，CG系数可以定义为非耦合张量积基中总角动量本征态的展开系数。请参阅文章角动量用于角动量算符及其本征态的定义。由于CG系数的定义需要角动量本征态张量积的定义，因此将首先给出这一定义。

从形式定义看Clebsch-Gordan系数的递归关系可以找到。为了确定系数的数值，相位约定必须采用。下面选择Condon和Shortley阶段约定。

张量积空间

让${\显示样式V_{1}}$成为${\显示样式2j_{1}+1}$尺寸本征态跨越的向量空间${\displaystyle\scriptstyle\mathbf{j}^{2}\otimes1}$和${\显示样式\脚本样式j{z}\otimes 1}$

${\显示样式|j_{1} 米_{1} 范围，四m_1}=-j_1}，-j_1{}+1，\ldots j_1}}{1} 米_{1} 范围，四m_1}=-j_1}，-j_1{}+1，\ldots j_1}}$

和${\显示样式V_{2}}$这个${\显示样式2j{2}+1}$尺寸本征态跨越的向量空间$｛\displaystyle\scriptstyle1\otimes\mathbf｛j｝^｛2｝｝｝$和${\显示样式\脚本样式1\otimes j{z}}$

${\显示样式|j_{2} 米_{2} 范围，四m{2}=-j{2}，-j{2$

这些空间的张量积，$显示样式V{12}等同V{1}otimes V{2}$,有一个$显示样式（2j{1}+1）（2j}2}+1）}$尺寸未耦合的基础

${\显示样式|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} \rangle\equiv|j级_{1} 米_{1} 范围\音符|j_{2} 米_{2} 范围，四m_1}=-j_1}，四m_2}=-j_2}，六m_2}=-j_2}。}{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} \rangle\equiv|j级_{1} 米_{1} 范围\音符|j_{2} 米_{2} 范围，四m_1}=-j_1}，四m_2}=-j_2}，六m_2}=-j_2}。}$

角动量算符作用于${\显示样式V_{12}}$可以由定义

$｛\displaystyle（j_｛i｝\otimes 1）|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} \rangle\equiv（j_{i}|j_{1} 米_{1} \range）\otimes|j_{2} 米_{2} \rangle，\quad i=x，y，z，｝{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} \rangle\equiv（j_{i}|j_{1} 米_{1} \range）\otimes|j_{2} 米_{2} \rangle，\quad i=x，y，z，｝$

和

$显示样式（1\otimes j{i}）|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} \等级）\等同|j_{1} 米_{1} \rangle\otimes j_{i}|j（范围）_{2} 米_{2} 范围，四i=x，y，z.}{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} \等级）\等同|j_{1} 米_{1} \rangle\otimes j_{i}|j（范围）_{2} 米_{2} 范围，四i=x，y，z.}$

总角动量算符定义为

$J_{i}=J_{i{otimes 1+1\otimes J_{i}\quad\mathrm{表示}\quad i=x，y，z.$

总角动量算符满足对易关系

$显示样式[J_{k}，J_{l}]=i\sum_{m=x，y，z}\epsilon_{klm}J_{m} \，}{klm}J_{m} \，}$

表明J型确实是一个角动量算符。数量${\displaystyle\scriptstyle\epsilon_{klm}}$是列维-西维塔符号.因此存在总角动量本征态

${\显示样式\mathbf{J}^{2}|（J_{1} j_{2} ）JM\rangle=J（J+1）|（J_{1} j个_{2} ）JM\rangle}{1} j_{2} ）JM\rangle=J（J+1）|（J_{1} j个_{2} ）JM\rangle}$

${\显示样式J_{z}|（J_{1} j个_{2} ）JM\rangle=M|（j_{1} j个_{2} ）JM\rangle，\quad\mathrm{表示}\quad M=-J，\ldots，J}{1} j个_{2} ）JM\rangle=M|（j_{1} j个_{2} ）JM\rangle，\quad\mathrm{表示}\quad M=-J，\ldots，J}$

它可以派生为see，例如。，这篇文章-那个${\显示样式J}$必须满足三角形条件

${\显示样式|j_{1} -j个_{2} |\leqJ\leqj{1}+J{2}}{1} -j个_{2} |\leqJ\leqj{1}+J{2}}$

总角动量本征态的总数等于维数属于$｛\displaystyle V_｛12｝｝$

${\displaystyle\sum_{J=|J_{1} -j个_{2} |}^{j{1}+j{2}}（2J+1）=（2J{1{+1）（2J}2}+1）}{1} -j个_{2} |}^{j{1}+j{2}}（2J+1）=（2J{1{+1）（2J}2}+1）}$

总角动量态构成了${\显示样式V_{12}}$

${\displaystyle\langle JM|J'M'\rangle=\delta_{J\，J'}\delta_{M\，M'}}$

Clebsch-Gordan系数的形式化定义

总角动量态可以在非耦合的基础上展开

${\显示样式|（j_{1} j个_{2} ）JM\rangle=\sum_{m_1}=-j_{1}}^{j_{1\}}\sum_{m_2}=-j{2}}^{j_2}}|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} 兰格尔j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle}{1} j个_{2} ）JM\rangle=\sum_{m_1}=-j_{1}}^{j_{1\}}\sum_{m_2}=-j{2}}^{j_2}}|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} 兰格尔j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle}$

膨胀系数${\显示样式\语言j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle｝{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle｝$被称为Clebsch-Gordan系数.

应用运算符

$显示样式J{z}=J{z}\otimes1+1\otimes J{z{}}$

定义方程的两边显示Clebsch-Gordan系数只有在以下情况下才能为非零

${\显示样式M=M_{1}+M_{2}.\，}$

递归关系

应用总角动量升高和降低操作符，参见例如。，这篇文章,

$J_{\pm}=J_{\pm}\otimes 1+1\otimesj_{\ pm}$

定义方程的左侧给出了

${\显示样式J_{\pm}|（J_{1} j个_{2} ）JM\rangle=C_{\pm}（J，M）|（J_{1} j_{2} ）JM\pm 1\rangle=C_{\pm}（J，M）\sum_{M_{1} 米_{2} }|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} 兰格尔j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\pm 1\rangle.}{1} j个_{2} ）JM\rangle=C_{\pm}（J，M）|（J_{1} j_{2} ）JM\pm 1\rangle=C_{\pm}（J，M）\sum_{M_{1} 米_{2} }|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} 兰格尔j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\pm 1\rangle.}$

将相同的操作符应用于右手边可以得到

${\显示样式J_{\pm}\sum_{m_{1} 米_{2} }|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} 兰格尔j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle}{1} 米_{2} }|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} 兰格尔j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle}$

${\displaystyle=\sum_{m_{1} 米_{2} }\左[C_{\pm}（j_{1}，m_{1{）|j_{1} 米_{1} \pm 1\rangle|j_{2} 米_{2} 范围+C_{\pm}（j_{2}，m_{2{）|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} \pm 1\rangle\right]\langle j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle}{1} 米_{2} }\左[C_{\pm}（j_{1}，m_{1{）|j_{1} 米_{1} \pm 1\rangle|j_{2} 米_{2} 范围+C_{\pm}（j_{2}，m_{2{）|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} \pm 1\rangle\right]\langle j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle}$

${\displaystyle=\sum_{m_{1} 米_{2} }|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} 左[C_{\pm}（j_1}，m_1}\mp_1）_{2} 米_{2} |JM\rangle+C_{\pm}（j_{2}，m_{2{\mp1）\langlej_{1} 米_{1} j个_{2} {m{2}\mp1}|JM\rangle\right].}{1} 米_{2} }|j_{1} 米_{1} 范围|j_{2} 米_{2} 左[C_{\pm}（j_1}，m_1}\mp_1）_{2} 米_{2} |JM\rangle+C_{\pm}（j_{2}，m_{2{\mp1）\langlej_{1} 米_{1} j个_{2} {m{2}\mp1}|JM\rangle\right].}$

结合这些结果给出了Clebsch-Gordan的递归关系系数

${\显示样式C_{\pm}（J，M）\langle J_{1} 米_{1} j_{2} 米_{2} |JM\pm1\rangle=C_{\pm}（j{1}，m_{1}\mp1）_{2} 米_{2} |JM\rangle+C_{\pm}（j_{2}，m_{2{\mp1）\langlej_{1} 米_{1} j个_{2} ｛m_｛2｝\ mp 1｝| JM\ rangle。｝{1} 米_{1} j_{2} 米_{2} |JM\pm1\rangle=C_{\pm}（j{1}，m_{1}\mp1）_{2} 米_{2} |JM\rangle+C_{\pm}（j_{2}，m_{2{\mp1）\langlej_{1} 米_{1} j个_{2} ｛m_｛2｝\ mp 1｝| JM\ rangle。｝$

用${\显示样式M=J}$给予

${\显示样式0=C_{+}（j_{1}，m_{1}-1)\兰格j{1}{m_{1}-1}j个_{2} 米_{2} |JJ\rangle+C_{+}（j_{2}，m_{2}-1)\兰格j_{1} 米_{1} j_{2} 米_{2}-1|JJ\rangle.}{1}-1)\兰格j{1}{m_{1}-1}j个_{2} 米_{2} |JJ\rangle+C_{+}（j_{2}，m_{2}-1)\兰格j_{1} 米_{1} j_{2} 米_{2}-1|JJ\rangle.}$

在Condon和Shortley阶段约定中，系数$｛\displaystyle\langle j_{1} j个_{1} j个_{2} J-J型_{1} |JJ\rangle}{1} j个_{1} j个_{2} J-J型_{1} |JJ\rangle}$被占用真实而积极。用最后一个等式Clebsch-Gordan系数${\显示样式\语言j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JJ\rangle}{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JJ\rangle}$可以找到。标准化由以下要求确定：平方和，对应于状态${\显示样式|（j_{1} j个_{2} ）JJ\rangle}{1} j个_{2} ）JJ\rangle}$必须是一个。

递归关系中的低位符号可用于查找所有Clebsch-Gordan系数${\显示样式M=J-1}$.重复使用该方程可得出所有系数。

求Clebsch-Gordan系数的程序表明它们都是真实的（在Condon和Shortley阶段约定中）。

显式表达式

维格纳（Wigner）在1931年出版的著名著作中首次推导了CG系数的代数公式。以下CG系数的表达式是由于Van der瓦尔登（Waerden）（1932）是现有各种形式中最对称的一种，参见比登哈恩（Biedenharn）和劳克（Louck）（1981）的推导，

${\显示样式\langle jm|j_{1} 米_{1};j个_{2} 米_{2} \rangle=\delta_{m，m_{1}+m_{2}}\delta（j_1}，j_2}，j）}{1} 米_{1};j个_{2} 米_{2} \rangle=\delta_{m，m_{1}+m_{2}}\delta（j_1}，j_2}，j）}$

${\displaystyle\times\sum{t}（-1）^{t}{\textstyle{\frac{\left[（2j+1）（j{1}+m{1}）！（j_{1} -米_{1})!（j_{2}+m_{2}）！（j）_{2} -米_{2})!（j+m）！（j-m）！\右]^{\frac{1}{2}}{t！（j{1}+j_{2} -j-t)!（j）_{1} -米_{1} -吨)!（j{2}+m_{2} -吨)!（j-j{2}+m{1}+t）！（j-j）_{1} -米_{2} +t）！}}}{1} -米_{1})!（j_{2}+m_{2}）！（j）_{2} -米_{2})!（j+m）！（j-m）！\右]^{\frac{1}{2}}{t！（j{1}+j_{2} -j-t)!（j）_{1} -米_{1} -吨)!（j{2}+m_{2} -吨)!（j-j{2}+m{1}+t）！（j-j）_{1} -米_{2} +t）！}}}$

哪里

${\displaystyle\Delta（j{1}，j{2}，j）\equiv\left[{\frac{（j{1'+j_{2} -j)!（j）_{1} -j个_{2} +j）！（-j{1}+j{2}+j）！}{（j{1}+j{2}+j+1）！}}\右]^{\frac{1}{2}}，}{2} -j)!（j）_{1} -j个_{2} +j）！（-j{1}+j{2}+j）！}{（j{1}+j{2}+j+1）！}}\右]^{\frac{1}{2}}，}$

和的所有值t吨这不会导致负阶乘。

正交关系

通过引入替代符号

${\显示样式\语言JM|j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} \rangle\equiv\langle j级_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle}{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} \rangle\equiv\langle j级_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle}$

第一个正交关系是

${\displaystyle\sum_{J=|J_{1} -j个_{2} |｝^｛j_｛1｝+j_｛2｝｝\sum_｛M=-j｝^｛j｝\langle j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |吉咪\rangle\langle吉咪|j_{1} 米_{1} 'j_{2} 米_{2} '\rangle=\delta_{m{1}，m{1{'}\delta_{m{2}，m{2}'}}{1} -j个_{2} |｝^｛j_｛1｝+j_｛2｝｝\sum_｛M=-j｝^｛j｝\langle j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |吉咪\rangle\langle吉咪|j_{1} 米_{1} 'j_{2} 米_{2} '\rangle=\delta_{m{1}，m{1{'}\delta_{m{2}，m{2}'}}$

和第二个

${\显示样式\sum_{m_{1} 米_{2} }\langle吉咪|j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} 兰格尔j_{1} 米_{1} j_{2} 米_{2} |J'M'\rangle=\delta_{J，J'}\delta_{M，M'}.}{1} 米_{2} }\langle吉咪|j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} 兰格尔j_{1} 米_{1} j_{2} 米_{2} |J'M'\rangle=\delta_{J，J'}\delta_{M，M'}.}$

特殊情况

对于$｛\displaystyle J＝0\，｝$Clebsch-Gordan系数由下式给出

${\显示样式\语言j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |00\rangle=\delta_{j_{1}，j_{2}}\delta_{m_1}，-m_{2}{{frac{（-1）^{j_{1} -米_{1} }}{\sqrt{2j{2}+1}}}.}{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |00\rangle=\delta_{j_{1}，j_{2}}\delta_{m_1}，-m_{2}{{frac{（-1）^{j_{1} -米_{1} }}{\sqrt{2j{2}+1}}}.}$

${\显示样式\语言j_{1} 米_{1}00|JM\rangle=\delta_{j_{1} J}\三角洲{m_{1}，m}，四边形j{1}\geq0.}{1} 米_{1}00|JM\rangle=\delta_{j_{1} J}\三角洲{m_{1}，m}，四边形j{1}\geq0.}$

对于$｛\displaystyle J=J_｛1｝+J_｛2｝\，｝$和${\显示样式M=J\，}$我们有

${\显示样式\语言j_{1} j个_{1} j_{2} j个_{2} |（j{1}+j{2}）（j{1'+j{2]）范围=1.}{1} j个_{1} j_{2} j个_{2} |（j{1}+j{2}）（j{1'+j{2]）范围=1.}$

对称性属性

${\显示样式\语言j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle=（-1）^{j_{1}+j_{2} -J型}\兰格j{1}{-m_{1}}j{2}{-m{2}}|j{-m}\兰格=（-1）^{j{1{+j_{2} -J型}\兰格j_{2} 米_{2} j个_{1} 米_{1} |JM\rangle.}{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} |JM\rangle=（-1）^{j_{1}+j_{2} -J型}\兰格j{1}{-m_{1}}j{2}{-m{2}}|j{-m}\兰格=（-1）^{j{1{+j_{2} -J型}\兰格j_{2} 米_{2} j个_{1} 米_{1} |JM\rangle.}$

与3-jm符号的关系

Clebsch-Gordan系数与3-jm符号已经更方便的对称关系。

${\显示样式\语言j_{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} | j个_{3} 米_{3} \范围=（-1）^{j_{1} -j个_{2} +m_{3}}{\sqrt{2j{3}+1}}{\开始{pmatrix}j_{1} &j{2}&j{3}\\m{1}&m{2}&-m{3}\end{pmatrix}}.}{1} 米_{1} j个_{2} 米_{2} | j个_{3} 米_{3} \范围=（-1）^{j_{1} -j个_{2} +m_{3}}{\sqrt{2j{3}+1}}{\开始{pmatrix}j_{1} &j{2}&j{3}\\m{1}&m{2}&-m{3}\end{pmatrix}}.}$