链式法则

在微积分，的链式法则描述了导数“函数的函数”：作文两个函数，其中输出z（z）是中间变量的给定函数年它又是输入变量的给定函数x个.

假设年作为函数给出${\显示样式\，y=g（x）}$还有那个z（z）作为函数给出${\显示样式\，z=f（y）}$.利率z（z）在以下方面有所不同年由导数给出${\显示样式\，f'（y）}$以及年在以下方面有所不同x个由导数给出${\显示样式\，g'（x）}$。那么这个速率z（z）在以下方面有所不同x个是产品${\显示样式\，f'（y）\cdot g'（x）}$，并替换${\显示样式\，y=g（x）}$我们有链式法则

${\显示样式（f\circ g）'=（f'\circg）\cdot g'.\，}$

为了将此转换为传统(莱布尼兹)注释，我们注意到

${\显示样式z（y（x））\quad\Longleftrightarrow\quad z\circy y（x$

和

${\displaystyle（z\circy）'=（z'\circy'）\cdot y'\quad\Longleftrightarrow\quad{\frac{\mathrm{d}z（y（x）$.

在助记符形式中，后一个表达式是

${\displaystyle{\frac{\mathrm{d}z}{\mathr{d}x}}={\frac{\mathrm{d{z}{\mathrm{d}y}}\，{\frac:\mathrm2{d}y}{\mathrm{d\x}}，\，}$

这很容易记住，因为它好像是d年右边的分子和分母相消。

多变量微积分

通过将导数视为线性近似到一个可微函数。

现在让我们${\显示样式F:\mathbf{R}^{n}\rightarrow\mathbf{R}^{m}}$和${\显示样式G:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\mathbf{R}^{p}}$具有以下功能F类具有导数${\显示样式\mathrm{D}F}$在${\显示样式\in\mathbf{R}^{n}}$和G公司具有导数${\显示样式\mathrm{D}G}$在${\显示样式F（a）\in\mathbf{R}^{m}}$.因此${\显示样式\mathrm{D}F}$是一个线性映射$｛\displaystyle\mathbf｛R｝^｛n｝\rightarrow\mathbf｛R｝^｛m｝｝$和${\显示样式\mathrm{D}G}$是一个线性映射${\显示样式\mathbf{R}^{m}\rightarrow\mathbf{R}^{p}}$.然后${\显示样式F\circ G}$在处可微分${\显示样式\in\mathbf{R}^{n}}$带导数

${\displaystyle\mathrm{D}（F\circ G）=\mathrm}F\cick\mathrm{D}G.，}$

另请参见

• 链（数学）