Cauchy-Schwarz不等式

在数学，的Cauchy-Schwarz不等式是一个普遍使用的基本不等式，它与内积的两个元素内部产品空间具有两个所述向量的大小。它是为了纪念法国数学家而命名的奥古斯丁·路易斯·考西和德国数学家赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦兹.

实数不等式

最简单的不平等形式，也是历史上考虑的第一种不平等形式，表明

${\显示样式（x_{1} 年_{1} +x个_{2} 年_{2} +\cdots+x_{n} 年_{n} ）^{2}\leq（x{1}^{2{+x{2}^{2$

对于所有实数x个₁, …,x个_n个,年₁, …,年_n个（其中n个是任意正整数）。此外，不平等实际上是一种平等

${\显示样式（x_{1} 年_{1} +x个_{2} 年_{2} +\cdots+x_{n} 年_{n} ）^{2}=（x{1}^{2{+x{2}^{2$

当且仅当有数字时C类这样的话${\显示样式x{i}=Cy{i}}$为所有人我.

内积空间的不等式

让V（V）成为复杂的 内部产品空间带内积${\显示样式\langle\cdot，\cdot\rangle}$然后，对于任何两个元素${\显示样式x，y\在V}中$它认为

${\displaystyle|\langle x，y\rangle|\leq\|x\|y\|，\quad（1）}$

哪里${\displaystyle\|a\|=langle a，范围^{1/2}}$为所有人${\在V}中显示样式a\$此外，（1）中的等式成立当且仅当向量${\显示样式x}$和${\显示样式y}$是线性相关（在这种情况下，两者成比例）。

如果V（V）是欧几里德空间 R（右）^n个，其内积定义为

${\displaystyle\langle x，y\rangle=\sum_{i=1}^{n} x_{i} 年_{i} ，}{n} x_{i} 年_{i} ，}$

然后（1）得出上一节提到的实数不等式。

另一个重要的例子是V（V）是空格L²([一,b])在这种情况下，Cauchy-Schwarz不等式表明

${\显示样式\left（\int_{a}^{b} （f）（x） g（x）\，\mathrm{d}x\right）^{2}\leq\int_{a}^{b}{big{b} （f）（x） g（x）\，\mathrm{d}x\right）^{2}\leq\int_{a}^{b}{big$

对于所有实函数（f）和克在里面$｛\displaystyle\scriptstyle L^｛2｝（[a，b]）｝$.

不等式的证明

证明内积空间的Cauchy-Schwarz不等式的一个标准但聪明的想法是利用内积导致二次型在V（V）.让${\显示样式x，y}$是某个固定向量对V（V）然后让${\显示样式\phi（x，y）}$是复数的参数${\显示样式\langle x，y\rangle}$现在，考虑以下表达式${显示样式f（t）=langlex+te^{i\phi（x，y）}y，x+te ^{i\ phi（x，y）{y\rangle}$对于任何实数吨注意，根据复杂内积的性质，（f）是的二次函数吨此外，（f）为非负定：${\显示样式f（t）\geq 0}$为所有人吨.扩展的表达式（f）给出以下内容：

${\显示样式{\开始{对齐}f（t） &=langle x+te^{i\phi（x，y）}y，x+te*i\phi（x，y）}y\rangle\\&=\|x\|^{2}+te^}i\fhi（x、y）}\langle y，x\rangle+te^{-i\phi ^{2}是^{2{。\结束{对齐}}{对齐}f（t） &=langle x+te^{i\phi（x，y）}y，x+te*i\phi（x，y）}y\rangle\\&=\|x\|^{2}+te^}i\fhi（x、y）}\langle y，x\rangle+te^{-i\phi ^{2}是^{2{。\结束{对齐}}$

自（f）是的非负定二次函数吨，因此鉴别的属于（f）是非正定的。也就是说，

${\显示样式4|\语言x，y\语言|^{2}-4\|x\|^{2}\|y\|^}=2}=4（|\langle x，y\rangle|^{2}-\|x\|^{2}\|y\|^}2}）\leq 0，}{2}-4\|x\|^{2}\|y\|^}=2}=4（|\langle x，y\rangle|^{2}-\|x\|^{2}\|y\|^}2}）\leq 0，}$

紧随其后的是（1）。