Cauchy-Riemann方程

在复杂分析，的Cauchy-Riemann方程是该理论的基本对象之一：它们是一个系统2个 偏微分方程，其中n个是维的复杂环境空间ℂ^n个考虑过的。准确地说，他们均质形式在真实的和虚部给定的复数值的函数2个 真实的 变量成为一名全纯的。它们以以下名称命名奥古斯丁·路易斯·考西和伯恩哈德·黎曼谁是第一个研究和使用这些方程作为数学对象“本身”的人，创造了一种新的理论。这些方程有时称为柯西-黎曼条件或Cauchy-Riemann系统：的偏微分算子出现在这些方程式左侧的通常称为Cauchy-Riemann算子.

历史注释

第一次介绍和使用Cauchy-Riemann方程n个=1是由于让·勒·朗德·达兰伯特在他1752年的作品中流体动力学：此连接复杂分析流体力学在经典中得到了明确的表述论文后者的主题，例如霍勒斯·拉姆的不朽作品.

形式化定义

在下面的文本中，假设ℂ^n个≡ℝ^2个，识别点的欧几里德空间上复杂的和实数字段如下

$显示样式z=（z{1}，dots，z{n}$

当n个=1.

ℂ中的Cauchy-Riemann方程(n个=1)

让（f）(x个,年) =单位(x个,年) +我v（v）(x个,年)一个复数值 可微函数.然后（f）满足齐次Cauchy-Riemann方程的当且仅当

${\displaystyle\left\{{\begin{aligned}{\frac{\partial u}{\partitle x}}&={\frac{\partical v}{\partial y}}\\{\frac:\partialu}{\ partial y}}&=-{\frac-{\paratil v}{\ pertial x}}}\\end{alinged}}\right.}$

使用Witter衍生物这些方程可以写成以下更紧凑的形式：

${\显示样式{\ frac{\部分f}{\部分{\bar{z}}}=0}$

ℂ中的Cauchy-Riemann方程^n个(n个>1)

让（f）(x个₁,年₁,...,x个_n个,年_n个) =单位(x个₁,年₁,...,x个_n个,年_n个) +我v（v）(x个₁,年₁,...,x个_n个,年_n个)一个复数值 可微函数.然后（f）满足齐次Cauchy-Riemann方程的当且仅当

${\displaystyle\left\{{\begin{aligned}{\frac{\partialu}{\partitlex{1}}}&={\frac{\particalv}{\Partialy_{1}{}}\\{\frac:\partial u}{\ partialy_{1\}}}&=-{\ frac{\ partitlev}{\ pertialx{1{}}}}\\vdots\{\frac-{\partiveu}{{\paratilx{n}}}{&={部分y{n}}}}}}\结束{对齐}}\右}}}\结束{对齐}}\右}$

同样，使用Witter衍生物这个方程组可以写成以下更紧凑的形式：

${\displaystyle\left\{{\begin{aligned}{\frac{\partialf}{\parial{\bar{z{1}}}}&=0\\&\vdots\\{\frac{\paratilf}{\ partial{\bar}{z{n}}}&=0\end{aligned}}\right.}$

案例注释n个>1

在法语,意大利人和俄语关于这个主题的文献多维的Cauchy-Riemann系统通常用以下符号标识：

$｛\displaystyle｛\bar｛\partial｝｝f｝$

盎格鲁-撒克逊文学(英语和北美)对复合体使用相同的符号微分形式与同一操作员相关。

工具书类

• 罗伯特·B·伯克尔。(1979),经典复数分析导论。第1卷《Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften》。Mathematische Reihe，第64卷，巴塞尔-斯图加特-纽约-东京：Birkhäuser Verlag，国际标准书号3-7643-0989-X ^{[e（电子）]}.
• 让·勒·朗德·达兰伯特(1752),流动阻力研究，巴黎：大卫 ^{[e（电子）]}（英寸法语).
• 拉尔斯·Hörmander(1990),多变量复分析导论，北荷兰数学图书馆，第7卷（3^第个（修订版），阿姆斯特丹-伦敦-纽约-东京：出版社，Zbl 0685.32001，国际标准图书编号0-444-88446-7 ^{[e（电子）]}.
• 兰姆，霍勒斯爵士(1932),流体动力学，剑桥数学图书馆^第个编辑），剑桥:剑桥大学出版社，Zbl 0828.01012，国际标准图书编号0-521-45868-4 ^{[e（电子）]}.