函子的类别

本文主要研究两个反变函子之间的范畴类别.

函子的范畴

让$｛\displaystyle C｝$和$｛\displaystyle D｝$是两类。函子的范畴$｛\displaystyle函数（C^｛op｝，集）｝$有

1. 对象是仿函数 ${\显示样式F:C^{op}\到D}$
2. 函子的一个态射${\显示样式F，G}$是一个自然转化 ${\显示样式\eta:F\到G}$; 即，对于每个对象${\显示样式U}$属于$｛\displaystyle C｝$，中的同态${\显示样式D}$ ${\显示样式\eta_{U}:F（U）\到G（U）}$对于所有的形态${\显示样式f:U\到V}$在里面${\显示样式C^{op}}$图（diagram）通勤。

A类自然同构是一种自然的转变${\显示样式\eta}$这样的话$｛\displaystyle\eta_｛U｝｝$是中的同构$｛\displaystyle D｝$对于每个对象${\显示样式U}$可以证明自然同构确实是函子范畴中的同构。

一类重要的函子是可代表的函子；即，自然同构于形式函子的函子${\显示样式h_{X}=Mor_{C}（-，X）}$.

示例

1. 在方案理论中，预升${\显示样式h_{X}}$通常被称为点函子方案的X（X）Yoneda引理允许人们在某种意义上把方案看作函子，这是一个强有力的解释；实际上，有意义的几何概念在这种语言中自然地表现出来，包括（例如）模式的光滑态射的函数特征。

Yoneda引理

让$｛\displaystyle C｝$成为一个类别，让${\显示样式X，X'}$成为…的对象$｛\displaystyle C｝$.然后

1. 如果${\显示样式F}$是任何反变函子${\显示样式F:C^{op}\到集合}$然后是${\显示样式Mor_{C}（-，X）}$到${\显示样式F}$与集合的元素对应${\显示样式F（X）}$.
2. 如果函子${\显示样式Mor_{C}（-，X）}$和${\显示样式Mor_{C}（-，X'）}$那么是同构的${\显示样式X}$和${\显示样式X'}$在中是同构的$｛\displaystyle C｝$.更一般地说，函子${\显示样式h:C\到函数（C^{op}，集合）}$,${\显示样式X\mapsto h_{X}}$，是类别之间的等价$｛\displaystyle C｝$和完整的子类别可代表的中的函子${\显示样式函数（C^{op}，集合）}$.