胸罩或支架（甚至是胸罩)符号由制定狄拉克[1]为执行和描述线性代数在整个矩阵力学制定量子力学.符号在今天的领域中得到了广泛的应用，尽管是在考虑到量子力学的基础上发展起来的，但在使用任何符号时都可以使用它向量空间.在这个符号中向量由表示凯特，例如 | ψ ⟩ {\显示样式|\psi\rangle} ，而它们对应对偶向量由提供胸罩, ⟨ ψ | {\显示样式\langle\psi|} .在量子力学的背景下，系统的状态对应于希尔伯特空间，所以国家 | ψ ⟩ {\显示样式|\psi\rangle} 类似于波函数 ψ ( x个 ) {\显示样式\psi（x）} .
让 H（H） {\显示样式{\mathcal{H}}} 成为希尔伯特空间 H（H） ∗ {\显示样式{\mathcal{H}}^{*}} 它的双重空间（即同构的到 H（H） {\显示样式{\mathcal{H}}} 如果空间是有限维的）。的元素 H（H） ｛\displaystyle｛\mathcal｛H｝｝｝ 然后用kets和元素标记 H（H） ∗ {\显示样式{\mathcal{H}}^{*}} 用胸罩标记。胸罩和ket一起可以形成Dirac支架， ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle\langle\cdot|\cdot\rangle} ，它等于内积他们之间。然后支架是一个地图从 H（H） ∗ × H（H） {\displaystyle{\mathcal{H}}^{*}\times{\mathcal{H{}}} 到领域 F类 ｛\displaystyle F｝ （在量子力学中，场是复数, C类 {\显示样式\mathbb{C}} ).
当胸罩和ket的顺序颠倒时，生成的对象是操作人员有时被称为ket-bra， | ⋅ ⟩ ⟨ ⋅ | {\显示样式|\cdot\rangle\langle\cdot|} .此运算符由外部产品带胸罩的ket，是来自 H（H） {\显示样式{\mathcal{H}}} 自那以后 ( | ⋅ ⟩ ⟨ ⋅ | ) | ⋅ ⟩ = | ⋅ ⟩ ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ = α | ⋅ ⟩ ∈ H（H） {\displaystyle\left（|\cdot\rangle\langle\cdot|\right）|\cdot \rangle=|\cdote\rangle\tangle\cdot | \cdot \ rangle=\alpha|\cdo \rangle\ in{\mathcal{H}}} ,哪里 α = ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ ∈ F类 F}中的{\displaystyle\alpha=\langle\cdot|\cdot\rangle\ 是标量。按照惯例，表达式中重复的垂直条会像我们在这里所做的那样被删除（即写入 ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ ｛\displaystyle\langle\cdot|\cdot\langle｝ 而不是 ⟨ ⋅ | | ⋅ ⟩ {\displaystyle\langle\cdot||\cdot\rangle} ).
假设 H（H） {\显示样式{\mathcal{H}}} 对应于量子系统的状态空间。例如，如果系统是盒子里的粒子然后 H（H） {\显示样式{\mathcal{H}}} 将包含粒子可能占据的所有可能状态。现在让系统的状态为 | ψ ⟩ ∈ H（H） {\displaystyle|\psi\rangle\在{\mathcal{H}}中 ，使用 | ψ ⟩ {\显示样式|\psi\rangle} 归一化的（即， ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1 {\displaystyle\langle\psi|\psi\rangle=1} )然后让 A类 ^ {\显示样式{\帽子{A}}} 是对应于可观察的 A类 {\显示样式A} .
测量的预期结果 A类 {\显示样式A} 由提供 ⟨ A类 ^ ⟩ = ⟨ ψ | A类 ^ | ψ ⟩ {\displaystyle\langle{\hat{A}}\rangle=\langle\psi|{\hat{A}|\psi\rangle} .
系统状态和另一个状态之间的重叠 | ϕ ⟩ ∈ H（H） {\displaystyle|\phi\rangle\in{\mathcal{H}}} 是 ⟨ ϕ | ψ ⟩ {\显示样式\langle\phi|\psi\rangle} ,这意味着发现系统处于状态的概率 | ϕ ⟩ {\显示样式|\phi\rangle} 由提供 | ⟨ ϕ | ψ ⟩ | 2 {\displaystyle|\langle\phi|\psi\rangle|^{2}} .这也可以看作是投影算子 P（P） ^ ϕ = | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | {\displaystyle{\hat{P}}_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|} ,因为这会产生 ⟨ P（P） ^ ϕ ⟩ = ⟨ ψ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ϕ ⟩ ⟨ ψ | ϕ ⟩ ∗ = | ⟨ ϕ | ψ ⟩ | 2 ｛\displaystyle\langle｛hat｛P｝｝_｛\phi｝\langle=\langle\psi|\phi\langle\langle\psi|\phi\langle\langle\psi|\phi\langle\langle\psi|\phi\langle^｛*｝=|\langle\phi|\psi\langle|^｛2｝｝｝
如果州 { | φ 我 ⟩ } {\显示样式\{|\varphi_{i}\rangle\}} 是的（归一化）本征态 A类 ^ {\显示样式{\帽子{A}}} 那么恒等运算符可以表示为
我 = ∑ 我 | φ 我 ⟩ ⟨ φ 我 | {\displaystyle I=\sum_{I}|\varphi_{I{\rangle\！\langle\varphi{i} .
如果 | φ 我 ⟩ ｛\displaystyle|\varphi_｛i｝\rangle｝ 是任何一组完整的正交向量，这对于Hermitean矩阵的特征向量来说是肯定的。
