布尔代数

A类布尔代数是一种具有两个二进制运算的逻辑演算形式和 （乘法，•）和或 （此外，+）和一元操作不是 （否定，~）这就颠倒了任何陈述的真实价值。布尔代数可用于分析计算机芯片和开关电路以及逻辑命题。

布尔代数不是初等代数就像中学里教的那样，只是代数处理变量、符号和集合的一般数学学科。

布尔代数与命题微积分它将结论的真值与它所依据的命题的真值联系起来。然而，这只是现代科学中一个小而异常简单的分支数学逻辑.

历史

布尔代数于1854年由布尔在他的书中思维规律研究.这一代数在1938年由克劳德·香农在逻辑电路设计中有用。

公理

布尔代数的运算，即对一个集合的两个二进制运算A类，命名为和（乘法，•）和或（加法，+）和一元运算不是（否定，~）由两个不同的元素补充，即0（称为零)和1（称为一)满足任何子集的以下公理第页,q个,第页集合的A类:

${\显示样式{\开始{对齐}\sim 0=1\quad；&\\sim 1=0\\\\p\cdot 0=0\quad；&&p\+\1=1\\p\cdot 1=p\quad；&\p\+\0=p\quad\quad\quid\quad\quad_{text{恒等式}}\\p\\cdot（\sim p）=0\quad；&\p\+\（\simp）=1\quad\quad\quid{text{补码定律}}\\\sim（\sim p）=p\&\\p\cdot p=p\quad；&\p\\\p=p\\\\sim（p\cdot q）=（\sim p）\\\（\sim q）\quad；&\\sim（p\+\q）=（\sim p）\\cdot\（\sim q）\quad{\text{德摩根定律}}\\p\cdot q=q\cdot p\quadp\+\q=q\+\p\quad\quad\quad\quae\quad_quad\quid\quad{\text{交换律}}\\p\cdot（q\cdot r）=（p\cdotq）\cdotr \quad；&\p\+\（q\+\r）=（p\+\q）\+\r\quad\quad\{text{关联律}}\\p\cdot\leftp\+\\left（q\cdotr\right）\=\ left（p\+\q\right）\ cdot\left（p \+\r\right\sim 1=0\\\\p\cdot 0=0\quad；&&p\+\1=1\\p\cdot 1=p\quad；&\p\+\0=p\quad\quad\quid\quad\quad_{text{恒等式}}\\p\\cdot（\sim p）=0\quad；&\p\+\（\simp）=1\quad\quad\quid{text{补码定律}}\\\sim（\sim p）=p\&\\p\cdot p=p\quad；&\p\\\p=p\\\\sim（p\cdot q）=（\sim p）\\\（\sim q）\quad；&\\sim（p\+\q）=（\sim p）\\cdot\（\sim q）\quad{\text{德摩根定律}}\\p\cdot q=q\cdot p\quadp\+\q=q\+\p\quad\quad\quad\quae\quad_quad\quid\quad{\text{交换律}}\\p\cdot（q\cdot r）=（p\cdotq）\cdotr \quad；&\p\+\（q\+\r）=（p\+\q）\+\r\quad\quad\{text{关联律}}\\p\cdot\leftp\+\\left（q\cdotr\right）\=\ left（p\+\q\right）\ cdot\left（p \+\r\right$

上述公理是多余的，所有这些都可以用身份,补充,可交换的和分配的法律。分配定律：

$｛\displaystyle\p\+\\left（q\cdot\right）\=\left（p\+\q\right）\cdot\left（p\+\r\right）\，｝$

似乎与初等代数定律不一致，该定律指出：

${\displaystyle\left（p\+\q\right）\cdot\left（p \+\r\right）=p\cdot p\+\ p\cdotr \+\q \cdot p \+\ q\cdot r \.}$

然而，这个表达式在上面的布尔公理中是等价的。根据其他公理，p·p=p。此外，p·r+q·p=p·（q+r）。此集合位于第页，如此直观p+p·（q+r）=p.使用布尔公理而不是直觉，p+p·（q+r）=p·（1+q+r）根据'的属性1’,（1+q+r）= 1因此，当根据布尔公理进行解释时，初等代数结果可简化为布尔分配定律。

替代符号

布尔代数运算的一些替代符号包括：

${\显示样式{\mathit{AND:}}\quad\A\cdot B，\A\land B，\A}$ && ${\显示样式B，\A}$ & ${\显示样式B，\A\cap B}$

${\显示样式{\begin{aligned}{\mathit{OR:}}&\quad A+B，\A\lor B，\A{\matchit{||}}B，\A/B，\A-cup B\\{\matshit{NOT:}}&\quad\sim A，\{\上划线{A}}，\\A'，\\neg A，\！结束{对齐}}}结束{对齐}}}$

维恩图

（PD）图片：John R.Brews
使用维恩图解释布尔运算。

维恩图提供布尔运算的图形可视化。这个交叉共两套A比B扮演和操作和联盟共两套A类∪B类代表或功能，如图中灰色阴影区域所示不是操作，通用集由矩形表示，因此~A这套东西不包括在里面吗A类，对应于左侧第三个面板中矩形的灰色部分。

这些图表还提供了布尔公理的可视化。例如，对~（甲/乙）很容易被视为与（~A）∪（~B），正如德摩根公理所要求的那样。

真相表

A类真理表因为逻辑命题是一种确定结论是否有效的形式化方法，“0”对应“无效”，“1”对应“有效”。在布尔代数的背景下，注意力集中在布尔函数，表示f（A、B、C），其中变量A、 B、C类和功能（f）是允许的值“1”或“0”，这取决于它们对应的语句是否有效。真相表（f）只是以下值的列表（f）对于的所有可能值A、 B、C类例如，假设：

${\显示样式f=\sim\！A+B\cdot C\.}$

相应的真理表如下所示：

（PD）图片：John R.Brews
维恩图f=~A+B·C.

f=~A+B·C

A类	B类	C类	f=~A+B·C
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

真理表可以与维恩图，如右图所示。列下的真值表条目“0”A类被解释为一组点不在里面A类，而“1”项引用中包含的点A类在图中，符号Ā对于~A用于保持标签紧凑，并且省略了交集的“·”。标签指定标签周围有边界的区域，因此标签基础知识表示所有三组通用的区域A类,B类和C类。彩色区域包含对应于f=1，即区域中的所有点~A+B·C，而白色空间对应于该区域之外的区域。

实际上，A类,B类,C类声明是：

• A： 点第页已设置A类
• B： 点第页已设置B类
• C： 点第页已设置C类

和命题（f）是：

• f： 点第页集合通用B类和C类或未设置A类.

真值表和维恩图决定了（f）对于有效性的所有选项A类,B类、和C类.

布尔函数（f）可以与其他更接近日常语言的语句一起使用，例如，用具体实体替换各种集合。

• 答：一群聪明人
• B：一群政客
• C：这套骗子

那么，如果比尔聪明且是一个狡猾的政客（a·B·C），他就会落入这个群体（f）:

• f:~A+B·C,

愚蠢的人和狡猾的政客（任何能力）的结合，使比尔成为民主党人或共和党人、自由党人或保守党人，这取决于国家、演讲者和时代。

逻辑扩展

上述讨论概述了描述各种集合及其子集的方法，并提供了一个形式化系统，用于确定子集的不同描述何时等效。该系统在逻辑论证分析中的应用需要与“if”等结构相联系A类，然后B类”，有时称为条件句.假设声明A类和B类都是真的“1”或假“0”条件“隐含”，用“→”表示，可以由真值表定义：

A→B

A类	B类	A→B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

换句话说，A→B仅当且仅当A类是正确的，并且B类为false。这个真值表与~A+B例如，我们可以：

• A： 球被抛了出去。
• B： 狗跑了。

然后A→B意思是当球被扔出去时，狗总是跑，但狗也可能跑，或者不跑。

这个双条件的“等价”表示为“↔’ 可以由真值表定义：

A类↔ B类

A类	B类	A类↔ B类
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

因此，A类↔ B类与具有相同的真相表（A→B）•（B→A）例如，我们可以：

• A： 开关闭合。
• B： 灯亮了。

然后A类↔ B类意味着只有当开关闭合时，灯才会亮。正如这个例子所示，形式逻辑和所有数学一样，必须仔细地与现实联系起来，忽略保险丝和烧坏的灯泡可能是也可能不是真实情况的适当模型。

带有先行词A类和后果B类通过蕴涵和等价关系，可以分析逻辑结构。可以完成的是确定各种语句组合是否暗示或等同于各种其他语句组合；当然，前提是所涉及的声明是单独的真的或假.

这种形式主义的一个实际应用是开关阵列和逻辑电路，其中可以建立不同网络的等效性，从而可以为所选功能选择最简单的实现方式。