二项式定理

在初等代数，的二项式定理或者二项式展开是一种机制，通过它可以表达形式${\显示样式（x+y）^{n}}$可以展开。正是这个身份表明，对于任何非消极的整数 n个,

${\显示样式（x+y）^{n}=\sum_{k=0}^{n{n}{n\choose k}x^{k} 年^{n-k}，}{k} 年^{n-k}，}$

哪里

${\显示样式{n\choose k}={\frac{n！}{k！（n-k）！}}}$

是一个二项式系数另一种有用的表述方式如下：

${\显示样式（x+y）^{n}={n\choose 0}x^{n{+{n\choose 1}x^{n-1}年+{n\选择2}x^｛n-2｝y^{2} +\ldots+{n\选择n}y^{n}}{n-1}年+{n\选择2}x^｛n-2｝y^{2} +\ldots+{n\选择n}y^{n}}$

帕斯卡三角形

另一种求二项式系数的方法是使用帕斯卡三角伤三角形是从顶点向下构建的，从一行上的数字1开始。每个数字都等于其正上方两个数字的总和。

n=0 1n=11 11n=2 1 2 1n=3 1 3 3 1n=4 1 4 6 4 1n=5 1 5 10 10 5 1

因此，表达式的二项式系数${\显示样式（x+y）^{4}}$是1、3、6、4和1。

证明

证明这种身份的一种方法是数学归纳法.

基本情况：n=0

${\显示样式（x+y）^{0}=\sum_{k=0}^{0{0}{0\选择k}x^{0-k}年^{k} =1}{0-k}年^{k} =1}$

感应箱：现在假设n为真：${\显示样式（x+y）^{n}=\sum_{k=0}^{n{n}{n\choose k}x^{n-k}年^{k} ，}{n-k}年^{k} ，}$并对n+1进行证明。

${\显示样式（x+y）^{n+1}=（x+y）（x+y^{n}\，}$

${\显示样式=（x+y）\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{n-k}年^{k} \，}{n-k}年^{k} \，}$

${displaystyle=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{n+1-k}y^{k}+sum_{j=0}^{n-j}年^｛j+1｝\，｝{n-j}年^｛j+1｝\，｝$

${显示样式=\sum_{k=0}^{n}{n选择k}x^{n+1-k}y^{k}+sum_{j=0}^{n{n选择{（j+1）-1}}x^{n-j}年^{j+1}\，}{n-j}年^{j+1}\，}$

${显示样式=\sum_{k=0}^{n}{n选择k}x^{n+1-k}y^{k}+sum_{k=1}^{n选择{k-1}}x^}n+1-k}y^}，}$

${\displaystyle=\sum_{k=0}^{n+1}{n\choose k}x^{n+1-k}y^{k}-{n\选择{n+1}}x^{0}年^{n+1}+\sum_{k=0}^{n+1}{n\选择{k-1}}x^{n+1-k}y^{k}-{n\选择{-1}}x^{n+1}y^{0}\，}{k}-{n\选择{n+1}}x^{0}年^{n+1}+\sum_{k=0}^{n+1}{n\选择{k-1}}x^{n+1-k}y^{k}-{n\选择{-1}}x^{n+1}y^{0}\，}$

${\displaystyle=\sum_{k=0}^{n+1}\left[{n\choosek}+{n\chose{k-1}}\right]x^{n+1-k}y^{k}\，}$

$｛\displaystyle=\sum_｛k=0｝^｛n+1｝｛n+1｝\schoose k｝x^｛n+1-k｝y^｛k｝，｝$

证明是完整的。

示例

这些是从0到6的扩展。

${\显示样式{\开始{对齐}（x+y）^{0}&=1\\^{2} 年+3xy^{2}+y^{3}\\（x+y）^{4}&=x^{4{+4x^{3} 年+6倍^{2} 年^{2} +4xy^{3}+y^{4}\\（x+y）^{5}&=x^{5{+5x^{4} 年+10倍^{3} 年^{2} +6倍^{2} 年^{3} +y^{5}\\（x+y）^{6}&=x^{6{+6x^{5} 年+15倍^{4} 年^{2} +20倍^{3} 年^{3} +15倍^{2} 年^{4} +6xy^｛5｝+y^｛6｝\end｛aligned｝｝{2} 年+3xy^{2}+y^{3}\\（x+y）^{4}&=x^{4{+4x^{3} 年+6倍^{2} 年^{2} +4xy^{3}+y^{4}\\（x+y）^{5}&=x^{5{+5x^{4} 年+10倍^{3} 年^{2} +6倍^{2} 年^{3} +y^{5}\\（x+y）^{6}&=x^{6{+6x^{5} 年+15倍^{4} 年^{2} +20倍^{3} 年^{3} +15倍^{2} 年^{4} +6xy^｛5｝+y^｛6｝\end｛aligned｝｝$

牛顿二项式定理

还有牛顿二项式定理，证明人艾萨克·牛顿，它超越了初等代数，进入了数学分析，从而扩展了相同的和(x个 + 年)^n个当n个不是整数或不是正。