贝塞尔函数

的显式绘图${\显示样式J_{0}}$和${\显示样式J_{1}}$从

复杂的地图属于${\显示样式J_{1}}$通过;${\显示样式u+\mathrm{i}v=J{1}（x+\mathr{i}y）}$

.

贝塞尔函数是贝塞尔微分方程的解：

${\显示样式z^{2}{\frac{d^{2} w个}{dz^{2}}}+z{\frac{dw}{dz}}+（z^{2}-\α^{2}）w=0}{2} w个}{dz^{2}}}+z{\frac{dw}{dz}}+（z^{2}-\α^{2}）w=0}$

其中α是常数。

因为这是一个二阶微分方程，它应该有两个线性无关的解：

（i） J型_α（x） 和
（ii）是_α（x） ●●●●。

此外，这些解决方案的线性组合也是一种解决方案：

（iii）H_α（x） =C₁J_α（x） +C₂Y（Y）_α（x）

其中C₁和C₂是常量。

这三种解被称为第一类、第二类和第三类贝塞尔函数。

属性

函数$J$、$Y$和$H$的许多属性在手册中由阿布拉莫维茨（Abramowitz，Stegun） .

积分表示法

${\显示样式\！\！\~\int_{0}^{\pi}~\cos（z\cos，t）\sin（t）^{2\nu}~t~\mathrm{d}t}\int_{0}^{\pi}~\cos（z\cos，t）\sin（t）^{2\nu}~t~\mathrm{d}t}$

小参数下的扩展

${\显示样式\显示样式J_{\alpha}（z）=\左（{\frac{z}{2}}\右）^{\！\alpha}~\和_{k=0}^{\infty}~{\frac{（-z^{2}/4）^{k}}{k！~（\alpha\！+\！k）！}}}$

序列在整个复杂$z$平面中收敛，但在负整数值处失败$｛\displaystyle\alpha｝$.的后缀形式阶乘的在上面使用；${\显示样式k！=\mathrm{阶乘}（k）}$.

应用

贝塞尔函数在许多应用中出现。例如，开普勒的椭圆运动方程，薄膜的振动和热传导，仅举几个例子。在近轴光学贝塞尔函数用于描述具有圆对称性的解。