基础（线性代数）

在线性代数，一个基础对于向量空间 ${\显示样式V}$是一组向量在里面${\显示样式V}$使得${\显示样式V}$可以作为有限线性组合基中的向量。人们可以将基中的向量视为构建块，从中可以组装空间中的所有其他向量。这与查看质数作为构建块积极的 整数可以组装。

每个非零向量空间都有一个基，事实上，有无穷多个不同的基。这个结果在向量空间理论中至关重要，正如唯一因式分解定理是研究整数的基础。例如有限的，有限的向量空间的基础为空间提供了可逆的 线性变换到欧几里德空间，通过获取协调关于基的向量。通过这种变换，每个有限维向量空间都可以被认为本质上与空间“相同”$｛\displaystyle\mathbb｛R｝^｛n｝｝$只是向量和操作有不同的标签。（这里，${\显示样式\mathbb{R}^{n}}$包括行向量 $显示样式（x{1}，\ldot，x{n}）}$具有${\显示样式n}$实数条目。）

如果向量空间有一个有限基，那么空间的每个基都有相同数量的元素：这个数量是维空间的。

术语基础也用于抽象代数特别是在理论上空闲模块。有关此术语的更多用法，请参阅高级子页.

示例

• 飞机${\显示样式\mathbb{R}^{2}}$有一个标准基础通常表示为我和j,单位向量沿着x个和年 轴分别是。然而，还有许多其他可能的基础，例如我+j和我-j，或2我+3j和4我-5j.
• 解决方案集微分方程 ${\显示样式y''=-y}$是一个向量空间，其基由两个函数组成${\显示样式y=\sin（x）}$和${\显示样式y=\cos（x）}$还有其他可能的基，例如移位函数$｛\displaystyle y=\sin（x+\alpha）｝$和${\显示样式y=\cos（x+\alpha）}$对于任何相位角α.
• 这个多项式在变量中x个形成一个向量空间。这个空间的一个基础是所有权力的集合（“单项式"),${\显示样式1，x，x^{2}，x^}3}，\ldots，x^[n}，\ ldots}$虽然在这个基础上有无穷多个元素，但每个多项式都可以唯一地表示为有限个幂的组合：实际上，多项式就是这样定义的。