巴拿赫不动点定理

在以下区域度量空间一类数学，的巴拿赫不动点定理说明完备度量空间中的收缩映射具有唯一的不动点。

证明

给定合同图，即。（f）:X（X）→X（X）使用常量c（c）<1，以便

${所有x，y\在x:\rho（f（x），f（y））\leq c\rho$

我们考虑序列x个₀∈X（X）和x个_n个+1=（f）(x个_n个)这是柯西序列，因为米≤n个我们有

${\显示样式\rho（x{m}，x{n}）\leq\rho）}$.

如果我们能确保柯西序列收敛（完备性条件），那么我们就有一个不动点。

唯一性如下，因为对于两个固定点x个和年∈X（X）我们观察到

${\displaystyle\rho（x，y）=\rho（f（x），f（y）\leq c\rho$

这意味着x个=年由于度量的属性。

声明

给定完整的度量空间(X（X）,ρ)，即公制空间，其中柯西层序{x个_n个} ⊂X（X）即，对于每一个ε>0，都有一个N个这样的话米,n个≥N个意味着ρ(x个_米,x个_n个)<ε，具有限制，即一个点x个∈X（X）这样，每个ε>0都有一个N个这样的话n个≥N个意味着ρ(x个,x个_n个) < ε. 进一步提供合同地图（f）:X（X）→X（X），即有一个c（c）<1，以便

${所有x，y\在x:\rho（f（x），f（y））\leq c\rho$,

那么有一个独特的x个∈X（X）这样的话

$｛\displaystyle f（x）=x｝$,

即x个是的定点（f）.

注意，如果（f）没有收缩，例如我们只能断言${\displaystyle\rho（f（x），f（y））\leq\rho（x，y）}$，则可能没有固定点，例如地图（f）:R（右）→R（右）:x个→x个+1，也不需要任何固定点是唯一的，例如映射id：X（X）→X（X）:x个→x个.如果地图只是弱收缩，即。$｛\displaystyle\rho（f（x），f（y））<\rho（x，y）｝$可能没有固定点，但如果有，那么它是唯一的。

应用

第页th根

用于计算第页正数的th根。让一>0和第页>0是任何正数。从连续性和单调性我们知道方程

${\显示样式x^{r} -a个=0}{r} -a个=0}$

有一个独特的积极解决方案。

在这种情况下第页=2，Heron找到了迭代公式$显示样式x{n+1}=（x{n}+a/x{n{）/2}$它收敛于任何x个₀>0到的平方根一，因为地图（f）:R（右）→R（右）:x个→ (x个+一/x个)/2是区间收缩（ε，一)ε=2一/(一+1） 可以通过估计（f）在中场休息时。

对于任意第页我们考虑函数克(x个) =x个^第页-一并构建迭代

$显示样式f（x_{n}）=x_{无}-{\压裂{g（x{n}）}{g'（x{n}）{}}{无}-{\压裂{g（x{n}）}{g'（x{n}）{}}$.

对于导数，我们有

$显示样式f'（x）=（1-{\tfrac{1}{r}}）x^{r-1}{\frac{x^{r} -a个}{x^{2r-2}}}}{r} -a个}{x^{2r-2}}}}$

其在定点处消失。因此，牛顿迭代比线性迭代收敛得更好的不动点邻域是二次的，即误差随着

${\displaystyle\rho（x{n}，x）\leq\rho（x{0}，x）c^{n^{2}}}$

对于一些0<c（c）<1.

一个线性常微分方程的解

让

${\显示样式y'+y=g}$

是一个具有连续函数的常微分方程我和克在某个间隔上[一,b]. 让我们更进一步x个₀∈ [一,b]与一起c（c）∈R（右）然后是具有初始条件的ODE

$显示样式y（x{0}）=c}$

在本地有一个独特的解决方案。Picard的想法是使用完整的度量空间C[一,b]用积分方程代替微分方程

$显示样式y（x）=c+\int_{x{0}}^{x} 克（t） -l（t）y（t）\，\mathrm{d}t}{x} 克（t） -l（t）y（t）\，\mathrm{d}t}$

并显示迭代

$显示样式F（F_{n}）（x）=c+\int_{x{0}}^{x} 克（t） -1（t）f{n}（t）\，\mathrm{d}t}{x} 克（t） -1（t）f{n}（t）\，\mathrm{d}t}$

如果我们将间隔缩短到[x个₀-ε,x个₀+ε] ε<1/max|l|开[一,b].

将我们获得的较小区间的解粘合在一起，我们可以在整个区间上构造一个唯一的解[一,b]. 利用该定理的向量值形式，我们还可以证明d日四阶线性常微分方程。非线性情况下的语句是局部语句（即存在ε>0），只要隐式ODE

${\显示样式F（y^{（d）}，y^{（d-1）}、\点，y）=0}$

在所有方面都是连续的年s和F类对最高阶有偏导数年^(d日)远离0。

自相似分形的唯一性

另一个应用是分形领域，即迭代函数系统是许多承包地图的联合体

${\显示样式S\冒号2^{X}\到2^{X}:F\mapsto\bigcup_{i=1}^{N} S公司_{i} （F）}{N} S公司_{i} （F）}$

其中S公司_我:X（X）→X（X）都在收缩。然后该定理指出，在紧非空子集的完备度量空间中X（X）使用Hausdorff度量

${\displaystyle\rho（S，T）=\inf\{\delta\geq 0:S\subset T_{delta}\land T\subset S_{delta{}}$

哪里S公司_δ是的δ-平行延伸S公司存在唯一的紧非空集F类⊂X（X）这样的话S公司(F类) =F类，即固定集合。

文学类

这个定理在分析中是标准的，因此可以在每一本关于分析的入门教科书中找到。