Artin L功能

在数学,Artin L功能是亚纯的与关联的函数Galois扩展属于全局字段更准确地说，如果K/K公司是Galois群的扩展吗G公司，然后到的每个表示G公司在有限维复向量空间上，有一个相关的Artin L函数。什么时候？K（K）和k个是代数数字段，Artin L函数泛化Dedekind zeta函数，它们只是与平凡扩展相关联的Artin L函数。Artin L函数很重要，因为它们编码有关扩展的算术信息。例如斯塔克猜想预测泰勒级数Artin L函数的展开s=0提供有关字段单位的信息K（K）。这可以看作是对解析类数公式.

定义

让K/K公司是全局域的Galois扩张，并让${\显示样式\rho}$是Galois群的表示$｛\displaystyle\scriptstyle G=\mathrm｛Gal｝（K/K）｝$关于有限维复向量空间V（V）关联的Artin L函数${\显示样式\rho}$由定义欧拉产品

${\显示样式L（K/K，\rho，s）=\prod_{\mathfrak{p}}{\frac{1}{\det\left（1-\varphi_{\matchfrak{p}}{\ mathfrak{N}}\ left（{\math frak{p}}\ right）^{-s}；V^{I_{\mathfrak{P}}\右）}}.}V^{I_{\mathfrak{P}}\右）}}.}$

乘积扩展到k个、和${\显示样式{\mathfrak{P}}}$是任意选择的基本理想K（K）划分$｛\displaystyle｛\mathfrak｛p｝｝｝$。此外，${\displaystyle\varphi_{\mathfrak{P}}}$是Frobenius自同构在里面G公司关联到${\显示样式{\mathfrak{P}}}$、和${\显示样式I_{\mathfrak{P}}}$是相应的惯性组。定义中的行列式与素理想的选择无关${\显示样式{\mathfrak{P}}}$此外，尽管Frobenius自同构仅由以下元素决定${\显示样式I_{\mathfrak{P}}}$，行列式与此选择无关。