代数数

在数学，更具体地说是在数论，一个代数数是一个复数这是一个根多项式的具有理性的系数。非代数的实数或复数称为超越数.

几千年来，人们一直在研究代数数的实例，作为二次方程式。它们间接出现在卡克拉夫拉方法始于11世纪。在15世纪，他们兴起于寻找解决方案立方体的和四次方程然而，直到代数数出现并试图求解时，才对代数数的性质进行深入研究费马最后定理.

随后产生的代数数理论构成了现代数学的基础代数数论代数数论现在是一个巨大的领域，也是当前的研究之一，但迄今为止，在物理世界中几乎没有应用。

替代性特征

通过乘以系数的分母的最小公倍数，可以将每个具有有理系数的多项式转换为具有整数系数的多项式。因此，术语“代数数”也可以定义为复数这是一个根多项式的具有整数系数。如果是代数数x个可以写为一元多项式具有整数系数，即超前系数是1，那么x个被称为代数整数.

基数

代数数包括所有有理数，而有理数和代数数都是可数的.

代数性质

代数数构成领域; 事实上，它们是最小的代数闭域特征为0。

次数和定义多项式

让${\显示样式\a\in\mathbb{C}}$是不同于的代数数${\显示样式\0.}$  The度属于${\显示样式\a}$根据定义，是多项式的最低阶${\显示样式\f，}$有理系数，其中${\显示样式\f（a）=0.}$有一种独特的一元论的次数多项式d日有一作为根。它是定义多项式（或最小多项式)的一.

示例

• 有理数是代数和次数${\显示样式\1.}$有理数一具有定义多项式${\显示样式x-a}$所有非有理代数数的度数都大于${\显示样式\1.}$请注意，有真实的无理数非代数的（即超越的），例如圆周率和e（电子）.

• ${\显示样式{\sqrt{2}}$是一个2次代数数，实际上是一个代数整数。它是不合理的，因此必须具有大于1的度。因为它是多项式的根${\显示样式x^{2}-2}{2}-2}$，等级为2级，并且${\显示样式x^{2}-2}{2}-2}$是其定义多项式。

• 假想单位${\显示样式i}$是2次代数整数，具有定义多项式${\显示样式x^{2}+1}$.

• 这个黄金比率,${\显示样式（1+{\sqrt{5}}）/2}$，也是一个2次代数数（实际上是一个整数！），定义了多项式${\显示样式x^{2} -x-1}{2} -x-1}$.

• 如果${\显示样式a}$是一个有理数，那么${\显示样式{\sqrt[{n}]{a}}$是代数次数n个，具有定义多项式${\显示样式x^{n} -a个}{n} -a个}$。当一是一个整数。

通过子域的代数数

复数域${\显示样式\\mathbb{C}}$是一个线性空间在有理数域上${\显示样式\\mathbb{Q}.}$在本节中，线性空间是指${\显示样式\\mathbb{C}}$超过${\显示样式\\mathbb{Q}；}$和依据代数我们指的是在乘法下闭合的线性空间，它具有${\显示样式\1}$作为其元素。复数的以下属性${\显示样式\z\in\mathbb{C}}$相当于：

• ${\显示样式\z}$是代数次数${\显示样式\\leq n；}$
• ${\显示样式\z}$属于线性维代数${\显示样式\\leq n.}$

事实上，当第一个条件成立时${\显示样式\1，z，\dots，z^{n-1}}$线性生成第二个条件所需的代数。如果第二个条件成立，那么${\显示样式\（n+1）}$元素${\显示样式1，z，\点，z^{n}}$是线性相关的（超过理性）。

实际上，每个有限维代数${\显示样式\A\subseteq\mathbb{C}}$是场诱导的，除法为等式

${\显示样式a{0}\cdotz^{n}+\点+a{n-1}\cdot z+a{n}\=\0}$

哪里${\显示样式\a_{0}\neq 0\neq a_{n}，}$由${\显示样式\a{n}\cdot z，}$你很快就会得到一个等式：

${\显示样式z^{-1}\=\b_{0}\cdot z^{n-1}+\cdots+b_{n-1{}}$

现在，一个瞬间的反思

定理反向度$｛\displaystyle\z^｛-1｝｝$任何代数数${\显示样式\z\neq 0}$等于数字的度数${\显示样式\z}$自身。

两个代数数的和与积

让$A\subseteq{mathcal{A}}}中的{\显示样式\1\$和$在B\subseteq{\mathcal{B}}，}中的{\displaystyle\1\$其中${\显示样式\A、B、}$是场的有限线性基${\显示样式\{\mathcal{A}}，{\matchal{B}}$分别。让${\显示样式\{\mathcal{D}}}$是生成的最小代数${\displaystyle\{\mathcal{A}}\cup{\mathcal{B}}。}$然后${\显示样式\{\mathcal{D}}}$线性生成

${\显示样式{a\cdot b:a\\land\b\ b\}}中的a\$

因此，这三个代数的线性维数（超过有理数）满足不等式：

${\displaystyle\dim（{\mathcal{D}}）\\leq\\dim（}）\cdot\dim（[2]）}$

现在，让我们${\显示样式\a，b，}$是任意代数次数${\显示样式\m，n，}$分别是。它们属于各自的m维和n维代数。总和和乘积${\显示样式\a+b，a\cdot b，}$属于由上述两个代数的并集生成的代数。生成代数的维数不大于${\显示样式\m\cdot n.}$它包含${\显示样式\a+b，a\cdot b，}$以及所有线性组合${\显示样式\\alpha\cdot a+\beta\cdot b，}$具有有理系数${\显示样式\\alpha，\beta.}$这证明：

定理两个代数次数的和和乘积米和n个分别是不大于的代数次数米•n个对于两个代数数的有理系数的线性组合也是如此。

作为上述定理的推论，结合上一节，我们得出：

定理代数数构成一个域。