伴随（算子理论）

在数学，的伴随的操作人员是复数厄米共轭概念的推广矩阵到上的线性运算符复杂的 希尔伯特空间在本文中，线性算子的伴随M（M）将由指示M（M）^∗，这在数学中很常见。物理学中的符号M（M）^†更常见。

主要想法

考虑一个复杂的n个×n个矩阵M（M）。除了是复数数组之外，M（M）也可以看作是来自ℂ的线性映射或操作符^n个对自身而言。为了将复矩阵的厄米共轭思想推广到更一般的复希尔伯特空间上的线性算子，必须能够将厄米共轭刻画为算子。这里的关键观察结果如下：对于任何复杂矩阵M（M），其埃尔米特变换，表示为M（M）^∗，是ℂ上唯一的线性算子^n个令人满意的：

${displaystyle\langle Mx，y\rangle=langle x，M^{*}y\range\quad\对于所有x，y\ in\mathbb{C}^{n}.}$

这表明“厄米特共轭”，或如数学中更常见的那样伴随线性算子的T型关于任意复Hilbert空间H（H），带内积⟨，⟩_H（H），通常可以定义为操作员T型^∗在H（H）满足所谓的“移交规则”：

${显示样式\langle Tx，y\rangle_{H}=\langle x，T^{*}y\range_{H{qquad\对于所有x，y\在H.中$

事实证明，这个想法几乎对的。它是正确的，是唯一的T型^∗存在，如果T型是一个有界算子在H（H），但对无限维希尔伯特空间必须格外小心，因为此类空间上的算子可能是无界的，并且可能不存在算子T型^∗令人满意（1）。

伴随的存在

假设T型是一个密集地上定义的运算符H（H）使用域D（T）考虑向量空间

${\显示样式K（T）=\{\；v\ in H\；\mid\；{\ underset{u\ in D（T）}{\sup}}|\langle Tu，v\rangle_{H}|<\infty\；\}，}$

也就是说，空间由所有向量组成v（v）其中⟨的绝对值的上确值图,v（v）⟩_H（H）是有限的。自T型在H（H）和$显示样式f_{v}（u）等于langle Tu，v范围_{H}}$是上的连续线性函数D（T）对于任何v（v）∈K（K）(T型),（f）_v（v）可以推广到唯一的连续线性泛函${\显示样式{\波浪线{f}}{v}}$在H（H）.由Riesz表示定理有一个独特的元素v（v）^∗∈H（H）这样的话

${\显示样式{\ tilde{f}}_{v}（u）=\语言u，v^{*}\语言_{H}\四\所有u在H.}中$

线性算子T型^∗使用域D（温度^∗)=K（T）现在可以定义为地图

${\显示样式T^{*}v=v^{*{quad\对于D（T）中的所有v\。}$

通过施工，操作员T型^∗满足：

${显示样式\langle Tx，y\rangle_{H}=\langle x，T^{*}y\range_{H{qquad\对于D（T）中的所有x，对于D（T^{**}）中的全部y。\qquad\qquad\\qquad_qquad（2）}\qquad\qquad\\qquad_qquad（2）}$

什么时候？T型是有界运算符（因此D（T）=H)然后可以再次使用Riesz表示定理证明T型^∗是独特的满足方程（2）的有界线性算子。

算子伴随的形式定义

让T型是希尔伯特空间上的算子H（H）具有密集区域D（T）然后是伴随词T型^∗属于T型是具有域的运算符

$D（T^{*}）=\{\；v\ in H\mid{\underset{u\ in D（T）}{\sup}}|\langle Tu，v\rangle_{H}|<\infty\；\}$

定义为地图

$｛\displaystyle T^｛*｝v=v^｛*｝\fquad\ for all v\ in D（T^｛*｝），｝$

对于每个v（v）在里面D类（T^∗),v（v）^∗是H（H）这样的话

$对于D（T）中的所有u，{\displaystyle\langle u，v^{*}\rangle=\langle Tu，v\rangle_{H}\quad\。}$

此外，如果T型那么是有界运算符T型^∗唯一有界算子是否满足

$｛\displaystyle\langle Tx，y\langle _｛H｝=\langle x，T^｛*｝y\langle _｛H｝quad\对于所有x，y\在H中。｝$

财产

考虑两个线性算子S公司和T型在H（H）具有重叠域。为了方便起见，我们假设D（T）=D（S）和D类(T型^∗) =D类(S公司^∗). 然后

${\displaystyle\langle\；aTS\，u，\；v\；\rangle_{H}=\langle\；u、 \；（aTS）^{*}\，v\；\范围{H}=\langle\；u、 \；{\上划线{a}}S^{*}T^{*{\，v\；\范围{H}，四个a\in\mathbb{C}.}u、 \；（aTS）^{*}\，v\；\范围{H}=\langle\；u、 \；{\上划线{a}}S^{*}T^{*{\，v\；\范围{H}，四个a\in\mathbb{C}.}$

证明

复数的复共轭一这是由于复希尔伯特空间内积的性质。根据周转规则，操作符的乘法顺序恢复如下

${显示样式\langle TS（u），v\rangle_{H}=\langle Tu'，v\rangle_{H}=\angle u'，T^{*}H}、}$

具有

$｛\displaystyle u'\equiv S（u），quad v'\equiv T^｛*｝（v）。｝$