具有奇异非线性的On Lane–Emden系统及其在MEMS中的应用

1.1动机和相关结果

系统(Sλ，μ)可以被视为具有负指数非线性的Lane–Emden型系统（参见示例[18,28,34,35]). 对于具有类连续幂次非线性的椭圆方程组解的存在性和不存在性，人们做了大量的工作，其中我们回顾了[11,12,13,14,15,26,30]和调查[10]. 对于Lane–Emden型奇异非线性的最新描述，我们建议读者参考[22]. 这里我们用非线性特征值问题来研究存在性、不存在性和正则性结果(Sλ，μ)其中，为了清楚起见，我们考虑库仑非线性源，尽管大多数结果都扩展到更一般的情况。具有连续非线性系统的相关结果已在[25,31].

另一个需要考虑的重要动机(Sλ，μ)来自于最近对微电子机械系统（MEMS）建模方程的研究：

在设计各种类型的微型机械时，MEMS通常用于将电子学与微型机械设备相结合。因此，MEMS设备已成为许多商业系统的关键组件，包括用于车辆安全气囊展开的加速计、喷墨打印头、光学开关和化学传感器。

用半线性椭圆方程耦合描述的非线性相互作用在过去几十年中揭示了研究非线性现象的基本工具（参见[三,9,13,14,16]以及其中的参考）。在上述所有情况下，非线性都可以用连续函数来表示。最近，在微电子机械系统建模和设计中，一种严格的数学方法要求同时考虑会产生奇异性的非线性。简而言之，人们可以认为MEMS的驱动是由微板的动态所控制的，微板在施加压降后，在库仑力的作用下向固定板偏转。

在平稳情况下，描述该器件的朴素模型被转换为二阶椭圆偏微分方程(Pλ)，其中Ω是中的有界光滑域ℝN个和积极作用克有界且与材料的介电性能有关，参见调查[20]还有[23,27,32]了解更多技术方面的信息。中等式的关键特征(Pλ)被非线性的不连续性所保留v（v）→1-这在应用程序中对应于设备的快照。

研究的总体目标(Pλ)是分析解分支的结构及其定性性质。正参数λ的作用是调节跌落电压，从PDE的角度来看，它产生了存在和不存在解之间的阈值，这些解存在到最大值λ*这在文献中被称为极值解的正则性问题（参见示例[8,20,24,33]).

这里我们提到了与我们的工作密切相关的关于合作型半线性椭圆系统的一些最新论文[31]研究了形式的椭圆系统Δ⁢u个=λ⁢（f）⁢(x,u个,v（v）)和Δ⁢v（v）=μ⁢克⁢(x,u个,v（v）)定义为Ω，它是齐次Dirichlet边界条件下的光滑有界区域。在一些适当的假设下，特别是在系统是合作的情况下，证明了在正象限中存在单调连续曲线γ𝒬将该组分为两个相连的组件：U型“低于”γ，其中C1⁢(Ω¯)最小正解，以及V（V）“高于”γ，这里没有这样的解决方案。对于γ上的点，在加权Lebesgue空间的意义下存在弱解L（左）d日1⁢(Ω)，其中d日⁢(x)是到边界的距离∂⁡Ω.中解的线性化稳定性U型也得到了证明。存在性证明使用子解和超解，弱解的存在性由一个涉及先验估计的极限论证来证明L（左）d日1⁢(Ω)对于经典解。

极值解的正则性是一个备受关注的问题。对于标量情况(Pλ)F.Mignot和J.-P.Puel[29]研究了某些非线性的正则性结果，即，克⁢(u个)=e（电子）u个,克⁢(u个)=u个米具有米>1,克⁢(u个)=1(1-u个)k个具有k个>0最近，N.Ghoussoub和Y.Guo补充了这一分析[23]对于零Dirichlet边界条件下有界域Ω中的MEMS情况，除了稳定稳态的其他精细性质外，他们证明了如果1≤N个≤7和N个=8是这类问题的关键维度。

对于椭圆系统，稳定性不等式最早是在研究系统的Liouville定理和De Giorgi猜想时建立的，见[21]. 极值解的正则性与用于爆破分析和标度的Liouville定理之间存在对应关系。此不等式用于在[5]对于系统和中[6]对于四阶情形。C.考恩[4]考虑了Gelfand型非线性的特殊情况，即当（f）⁢(x,u个,v（v）)=e（电子）v（v）和克⁢(x,u个,v（v）)=e（电子）u个他研究了临界曲线上极值解的正则性，精确地证明了如果三≤N个≤9和(N个-2)8<μ*λ*<8(N个-2)则相关的极值解是光滑的。这意味着N个=10是Gelfand系统的临界维数，因为与这类问题相关的标量方程可能是奇异的，如果N个≥10后来，C.Cowan和M.Fazly加入[5]研究了由

和

在有界凸域Ω中具有零Dirichlet边界条件。他们证明了对于一般非线性（f）和克与之相关的极值解(1.1)在以下情况下是有界的N个≤三对于径向区域，他们证明了极值解是有界的，前提是N个<10.与(1.2)在以下情况下是有界的（f）为一般非线性克⁢(v（v）)=(1+v（v）)q个对于1<q个<+∞和N个≤三.对于形式的显式非线性（f）⁢(u个)=(1+u个)第页和克⁢(v（v）)=(1+v（v）)q个对于(1.1)和(1.2).

近年来，这类问题有两个自然的四阶推广和推广。D.Cassani、J.M.do Oh和N.Ghoussoub[2]考虑了表格的问题

用双调和算子Δ2并符合Dirichlet条件，其中η表示垂直于∂⁡Ω在物理模型中，他们考虑了板的情况，其中现在允许弯曲刚度，但其影响主导拉伸张力，忽略了非局部贡献。因为没有最大值原则Δ2利用一般区域的Dirichlet边界条件，作者利用T.Boggio引起的Green函数的正性[1]并考虑问题(1.3)限制在球上。之后，C.Cowan和N.Ghoussoub[6]研究了形式的四阶问题

使用Navier边界条件，其中（f）是以下非线性之一：

注意，可以考虑四阶方程(1.4)作为以下类型的系统：

使用这种方法，他们利用获得的椭圆系统稳定性不等式证明了半稳定解的正则性结果，从而证明了极值解的正则化结果(1.5)与问题相关(1.4).

1.2主要成果说明

本文的主要目标是为正在进行的MEMS类型的非线性特征值问题的研究提供补充，因为这是可供参考的情况[4,5,31]. 我们的第一个结果涉及曲线的存在性，该曲线将正象限分割为两个相连的分量。

定理1.2和定理1.3包含临界曲线的上下估计值。这些估计值仅取决于（f）,克,|Ω|和尺寸N个即：

在接下来的两个定理中，我们讨论了系统临界曲线的单调性(Sλ，μ). 我们提到，对于标量情况，已经证明了类似的结果(Pλ)英寸[19,23]. 在[19]结果表明，介电常数分布克可以改变分岔图并改变方程紧性的临界维数(Pλ).

类似于标量情况（参见[23])，我们可以定义(Sλ，μ)用于临界曲线上的点。确切地说，让我们考虑一个序列(λn个,μn个)在汇聚到一点的临界曲线以下(λ*,μ*)在临界曲线上。根据定理1.1，我们可以考虑最小解(u个λn个,v（v）μn个)系统的(S公司λn个,μn个)现在，我们可以定义极值解(u个*,v（v）*)在(λ*,μ*)通过传递到极限n个→+∞，即

以下定理讨论了(Sλ，μ). 主要思想是在稳定性不等式中应用适当的测试函数（参见引理3.5（见下文）。这个不等式是解决系统和四阶方程问题的主要技巧。M.Crandall和P.Rabinowitz使用了这种涉及稳定性不等式和Moser迭代方法的论证[7]起源于调和映射和微分几何。

1.3概述

本文的结构如下。在下一节中，我们将介绍文本中使用的一些辅助结果。此外，我们还研究了临界曲线、极值参数和极小解的存在性。我们还建立了临界曲线Γ的上下界和极值参数的单调性结果。在章节中三我们得到了极小解分支的一些估计和性质，从而证明了关于极值解的正则性结果。

2.1临界曲线

对于每个固定θ>0考虑一下这条线L（左）θ={λ>0:(λ,θ⁢λ)∈Λ}.观察该引理2.3和引理2.4意味着对于每个固定θ，线L（左）θ非空且有界。这允许我们定义曲线Γ:(0,+∞)→𝒬通过Γ⁢(θ):=(λ*⁢(θ),μ*⁢(θ))哪里λ*⁢(θ):=啜饮⁡L（左）θ和μ*⁢(θ)=θ⁢λ*⁢(θ).

2.2临界曲线的上下限

据N.Ghoussoub和Y.Guo介绍[23]，临界参数的下限有助于证明解的存在性(Pλ). 以下引理将是获得定理中包含的估计的主要工具1.2并给出了更容易计算的临界曲线的较低估计。