Uniqueness of an inverse problem for an integro-differential equation related to the Basset problem

Wu, Bin; Yu, Jun

doi:10.1186/s13661-014-0229-9

研究
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出版：2014年10月15日

与Basset问题有关的积分微分方程反问题的唯一性

边值问题 体积 2014，物品编号：229(2014)引用这篇文章

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18引文
韵律学细节

摘要

本文讨论了一个与Basset问题有关的积分微分方程的反问题。逆问题的目的是从不动点的时间轨迹中确定一个弱奇异项 ${x个}_{0} \in Ω$ 我们利用积分微分算子的最大值原理来推导反问题的唯一性。此外，我们还证明了具有一般核函数的直接Basset问题的存在唯一性。

理学硕士：35L05、35L10、35R09、35R30。

1引言

让 $Ω \subset {R（右）}^{N个}$ ( $N个 = 1, 2, 三$ )是边界光滑的有界域 $\partial Ω : = Γ$ 。我们进一步设置 $问_{0, T型} : = Ω \times (0, T型)$ , $Σ_{0, T型} = Γ \times (0, T型)$ 然后我们考虑以下积分微分方程[1]–[三]:

{L（左）}_{0, t吨} [u个] (x个, t吨) : = {u个}_{t吨} (x个, t吨) - A类 [u个] (x个, t吨) + \int_{0}^{t吨} k个 (t吨 - 秒) {u个}_{t吨} (x个, 秒) d日 秒 = （f） (x个, t吨), (x个, t吨) \in 问_{0, T型}

(1.1)

初始和边界条件：

{\begin{cases} u个 (x个, 0) = {u个}_{0} (x个), & x个 \in Ω, \\ u个 (x个, t吨) = 克 (x个, t吨), & (x个, t吨) \in Σ_{0, T型} . \end{cases}

(1.2)

这里是操作员A类在上一致椭圆 $\bar{Ω}$ ，由定义

A类 [u个] (x个, t吨) = \frac{\partial}{\partial x个} (一 (x个) \frac{\partial}{\partial x个} u个 (x个, t吨)), (x个, t吨) \in 问_{0, T型},

具有 $一 (x个) \in {C类}^{1} (\bar{Ω})$ 令人满意的 $一 (x个) \geq 一_{0} > 0$ 对于 $x个 \in \bar{Ω}$ ，函数k个对于某些功率奇点是未知的，必须通过以下定点测量数据确定 ${x个}_{0} \in Ω$ :

u个 ({x个}_{0}, t吨) = 小时 (t吨), t吨 \in [0, T型] .

(1.3)

对于直接问题(1.1)和(1.2)阿希拉利耶夫[1]证明了以下形式的k个:

k个 (t吨) = \frac{1}{Γ (1 - α)} {t吨}^{- 1 / 2} .

在这种情况下(1.1)可以写成分数抛物方程

{u个}_{t吨} (x个, t吨) - A类 u个 (x个, t吨) + \partial_{t吨}^{\frac{1}{2}} u个 (x个, t吨) = （f） (x个, t吨) .

（1.4）

有关分数导数的详细信息，请读者参阅[4]或[5]. 系统(1.1)和(1.2)被称为Basset问题，它描述了流体动力学中的一个经典问题，由于重力的作用，粒子在粘性流体中的非定常运动会加速[6]. 关于巴塞特问题的最新结果，我们请读者参考[7]–[12]. 在附录A中，我们将证明直接问题的存在性和唯一性(1.1)和(1.2)一般情况下k个，它将结果扩展到[1]以及[2]. （参考文献[1]以及[2]关注分数阶的直接Basset问题 $1 / 2$ ,即。这个问题(1.4)和(1.2).) 对于与积分微分方程相关的其他模型，我们建议读者参考[13]–[15].

对于与积分微分方程有关的逆核问题[16]–[19]给出了证明逆记忆核问题存在唯一性的有效策略。特别是科伦坡和Guidetti[16]结果表明，对于演化方程中所涉及的非线性，在适当的增长条件下，半线性积分微分抛物反问题在时间上具有唯一的全局解。洛伦齐和罗卡[18]研究了双曲相场模型中的双记忆核反演问题。但是，这些论文中使用的附加测量是对Ω的全部或部分施加的，可以用以下积分形式表示：

\int_{Ω} ϕ (x个) u个 (x个, t吨) d日 t吨 = 克 (t吨), t吨 \in [0, T型],

具有已知功能ϕ与这些论文相比，我们的研究只需要在固定点进行测量 ${x个}_{0}$ 另一个不同之处是，我们当前论文中讨论的核函数具有幂奇异性 ${t吨}^{- γ}$ 最后，我们讨论逆问题唯一性的方法不同于那些使用基于解析半群理论的方法的逆记忆核问题。值得注意的是[20]应用傅里叶方法证明了线性热传导模型中弱奇异核的存在唯一性。

对于一些人 $γ \in (0, 1)$ ，我们使用符号 ${C类}_{γ} [0, T型]$ 表示以下Banach空间： ${C类}_{γ} [0, T型] : = {k个 ∣ {t吨}^{γ} k个 \in C类 [0, T型]}$ 被赋予了规范 ${∥ k个 ∥}_{{C类}_{γ} [0, T型]} = {∥ {t吨}^{γ} k个 ∥}_{C类 [0, T型]}$ 此外，我们还介绍

K（K） = {k个 \in {C类}^{1} (0, T型] ∣ k个 (t吨) > 0, {k个}^{'} (t吨) < 0, t吨 \in (0, T型], k个 \in {C类}_{γ} [0, T型]} .

(1.5)

我们假设 ${u个}_{0} \in {C类}^{2} (\bar{Ω})$ , $（f） \in {C类}^{1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ 和 $克_{t吨} \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ 满足

{\begin{cases} A类 [{u个}_{0}] (x个) + （f） (x个, 0) = 0, & x个 \in Ω, \\ {（f）}_{t吨} (x个, t吨) > 0, & (x个, t吨) \in 问_{0, T型}, \\ 克_{t吨} (x个, t吨) \geq 0, & (x个, t吨) \in Σ_{0, T型} . \end{cases}

(1.6)

现在我们在本文中陈述我们的主要结果。

定理1.1

让 $k个 \in K（K）$ 和(1.6)被持有.然后是解决方案 $(u个, k个)$ 关于反问题(1.1)-(1.3)是独一无二的.

备注1.1

自k个具有功率奇点的连续性 ${t吨}^{- γ}$ ，我们将讨论k个在某种意义上 ${t吨}^{γ} {k个}_{1} (t吨) = {t吨}^{γ} {k个}_{2} (t吨)$ 为所有人 $t吨 \in [0, T型]$ ，何时 $u个 ({x个}_{0}, t吨; {k个}_{1}) = u个 ({x个}_{0}, t吨; {k个}_{2})$ .

2定理证明1.1

在本节中，符号 $问_{τ, T型}$ , $Σ_{τ, T型}$ 和 ${L（左）}_{τ, T型}$ 类似于 $问_{0, T型}$ , $Σ_{0, T型}$ 和 ${L（左）}_{0, T型}$ 在第1节中，即：， $问_{τ, T型} : = Ω \times (τ, T型)$ , $Σ_{τ, T型} = Γ \times (τ, T型)$ 和 ${L（左）}_{τ, T型} [u个] : = {u个}_{t吨} (x个, t吨) - A类 [u个] (x个, t吨) + \int_{0}^{t吨} k个 (t吨 - 秒) {u个}_{t吨} (x个, 秒) d日秒$ 在里面 $问_{τ, T型}$ 为了证明定理1.1，我们首先给出以下引理。

引理2.1

让 $k个 \in K（K）$ 和 $u个 \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ .如果存在 ${x个}_{1} \in Ω$ 和 ${t吨}_{1} \in (0, T型]$ 这样的话 u个 达到最小值 $({x个}_{1}, {t吨}_{1})$ 在 ${\bar{问}}_{0, T型}$ ,那么我们有

\int_{τ}^{{t吨}_{1}} k个 ({t吨}_{1} - 秒) {u个}_{t吨} ({x个}_{1}, 秒) d日 秒 \leq 0, τ \in [0, {t吨}_{1}) .

(2.1)

证明

这里我们借用了在处理卡普托导数极值原理时使用的思想[21]. 按零件产量进行集成

\begin{aligned} \int_{τ}^{{t吨}_{1}} k个 ({t吨}_{1} - 秒) {u个}_{t吨} ({x个}_{1}, 秒) d日 秒 \\ = \int_{τ}^{{t吨}_{1}} k个 ({t吨}_{1} - 秒) d日 [u个 ({x个}_{1}, 秒) - u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})] \\ = k个 ({t吨}_{1} - 秒) [u个 ({x个}_{1}, 秒) - u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})] |_{t吨 = τ}^{t吨 = {t吨}_{1}} - \int_{τ}^{{t吨}_{1}} {(k个 ({t吨}_{1} - 秒))}_{秒}^{'} [u个 ({x个}_{1}, 秒) - u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})] d日 秒 \\ = \underset{秒 \to {t吨}_{1}}{林} k个 ({t吨}_{1} - 秒) [u个 ({x个}_{1}, 秒) - u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})] - k个 ({t吨}_{1} - τ) [u个 ({x个}_{1}, τ) - u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})] \\ + \int_{τ}^{{t吨}_{1}} {k个}^{'} ({t吨}_{1} - 秒) [u个 ({x个}_{1}, 秒) - u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})] d日 秒 . \end{aligned}

(2.2)

自 $k个 \in K（K）$ 和 ${u个}_{t吨} \in C类 ({\bar{问}}_{τ, T型})$ ，我们有

\begin{aligned} \underset{秒 \to {t吨}_{1}}{林} k个 ({t吨}_{1} - 秒) [u个 ({x个}_{1}, 秒) - u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})] \\ = - \underset{秒 \to {t吨}_{1}}{林} {({t吨}_{1} - 秒)}^{γ} k个 ({t吨}_{1} - 秒) \frac{u个 ({x个}_{1}, 秒) - u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})}{秒 - {t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - 秒)}^{1 - γ} = 0 . \end{aligned}

与一起 $k个 (t吨) > 0$ , ${k个}^{'} (t吨) < 0$ 对于 $t吨 \in (0, T型]$ 和 $u个 ({x个}_{1}, {t吨}_{1})$ 是的最小值u个在 ${\bar{问}}_{τ, T型}$ ，我们获得(2.1)来自(2.2). 这就完成了引理2.1的证明。□

引理2.2

让 $τ \in [0, T型]$ 和 $u个 \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{τ, T型})$ 满足 ${L（左）}_{τ, t吨} [u个] (x个, t吨) \geq 0$ 在里面 $问_{τ, T型}$ .那么我们有

\underset{{\bar{问}}_{τ, T型}}{最小值} u个 (x个, t吨) = \underset{\partial_{第页} 问_{τ, T型}}{最小值} u个 (x个, t吨),

(2.3)

哪里 $\partial_{第页} 问_{τ, T型} : = (\bar{Ω} \times {t吨 = τ}) \cup Σ_{τ, T型}$ .

证明

我们首先证明(2.3)何时 ${L（左）}_{τ, t吨} [u个] > 0$ 在里面 $问_{τ, T型}$ .假设(2.3)无法保持。然后就有了 ${x个}_{2} \in Ω$ 和 ${t吨}_{2} \in (τ, T型]$ 这样的话 $u个 ({x个}_{2}, {t吨}_{2}) = {最小值}_{(x个, t吨) \in {\bar{问}}_{τ, T型}} u个 (x个, t吨)$ .因此 ${u个}_{t吨} ({x个}_{2}, {t吨}_{2}) \leq 0$ 和 $A类 [u个] ({x个}_{2}, {t吨}_{2}) \geq 0$ 此外，根据引理2.1，我们有 $\int_{τ}^{{t吨}_{2}} k个 ({t吨}_{2} - 秒) {u个}_{t吨} ({x个}_{2}, 秒) d日秒 \leq 0$ .因此 ${L（左）}_{τ, t吨} [u个] ({x个}_{2}, {t吨}_{2}) \leq 0$ ，这与 ${L（左）}_{τ, t吨} [u个] (x个, t吨) > 0$ 在里面 $问_{τ, T型}$ .

接下来我们考虑 ${L（左）}_{τ, t吨} [u个] \geq 0$ 在里面 $问_{τ, T型}$ .让 $v（v） = u个 - ε {e（电子）}^{- t吨}$ 和一些 $ε > 0$ .那么我们有

{L（左）}_{τ, t吨} [v（v）] = {L（左）}_{τ, t吨} [u个] + ε {e（电子）}^{- t吨} + ε \int_{τ}^{t吨} k个 (t吨 - 秒) {e（电子）}^{- 秒} d日 秒 > 0 .

(2.4)

根据经证明的结论，可以得出如下结论

\underset{{\bar{问}}_{τ, T型}}{最小值} u个 (x个, t吨) \geq \underset{{\bar{问}}_{τ, T型}}{最小值} v（v） (x个, t吨) = \underset{\partial_{第页} 问_{τ, T型}}{最小值} v（v） (x个, t吨) \geq \underset{\partial_{第页} 问_{τ, T型}}{最小值} u个 (x个, t吨) - ε {e（电子）}^{- τ} .

(2.5)

出租 $ε \to 0$ ，我们得到了期望的结论，证明是完整的。□

通过使用引理2.2，我们可以证明以下引理。

引理2.3

让(1.6)持有并 u个 是问题的解决方案(1.1)-(1.2).那么我们有

{u个}_{t吨} (x个, t吨) > 0, (x个, t吨) \in 问_{0, T型} .

（2.6）

证明

根据方程式u个和(1.6)，我们有

{u个}_{t吨} (x个, 0) = A类 [{u个}_{0}] (x个) + （f） (x个, 0) = 0, x个 \in Ω .

(2.7)

出租 $v（v） = {u个}_{t吨}$ 并将方程微分为(1.1)关于t吨，我们发现

{\begin{cases} {L（左）}_{0, t吨} [v（v）] (x个, t吨) = {（f）}_{t吨} (x个, t吨), & (x个, t吨) \in 问_{0, T型}, \\ v（v） (x个, 0) = 0, & x个 \in Ω, \\ v（v） (x个, t吨) = 克_{t吨} (x个, t吨), & (x个, t吨) \in Σ_{0, T型}, \end{cases}

(2.8)

我们使用过的

{(\int_{0}^{t吨} k个 (t吨 - 秒) {u个}_{t吨} (x个, 秒) d日 秒)}_{t吨} = k个 (t吨) {u个}_{t吨} (x个, 0) + \int_{0}^{t吨} k个 (秒) {u个}_{t吨 t吨} (x个, t吨 - 秒) d日 秒 .

（2.9）

根据附录A中的定理A.1，我们有 $v（v） \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ 在下面 ${（f）}_{t吨} \in C类 ({\bar{问}}_{0, T型})$ 和 $克_{t吨} \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ 此外，由(1.6)我们有 ${L（左）}_{0, t吨} [v（v）] (x个, t吨) \geq 0$ 在里面 $问_{0, T型}$ 和 ${最小值}_{\partial_{第页} 问_{0, T型}} v（v） (x个, t吨) \geq 0$ 然后应用引理2.2，我们得到

v（v） (x个, t吨) \geq 0, (x个, t吨) \in {\bar{问}}_{0, T型} .

现在我们准备证明(2.6). 如果(2.6)不成立，那么v（v）在上达到最小值0 ${\bar{问}}_{0, T型}$ 在 $({x个}_{三}, {t吨}_{三}) \in 问_{0, T型}$ ，我们有 ${v（v）}_{t吨} ({x个}_{三}, {t吨}_{三}) \leq 0$ 和 $A类 v（v） ({x个}_{三}, {t吨}_{三}) \geq 0$ 此外，通过引理2.1，我们得到 $\int_{0}^{{t吨}_{三}} k个 ({t吨}_{三} - 秒) {v（v）}_{t吨} ({x个}_{三}, 秒) d日秒 \leq 0$ 因此，

0 \geq {v（v）}_{t吨} ({x个}_{三}, {t吨}_{三}) - A类 v（v） ({x个}_{三}, {t吨}_{三}) + \int_{0}^{{t吨}_{三}} k个 ({t吨}_{三} - 秒) {v（v）}_{t吨} ({x个}_{三}, 秒) d日 秒 = {（f）}_{t吨} ({x个}_{三}, {t吨}_{三}) .

(2.10)

这与 ${（f）}_{t吨} (x个, t吨) > 0$ 在里面 $问_{0, T型}$ .引理2.3的证明已完成。□

现在我们证明定理1.1。

定理证明1.1

让 $({u个}_{1}, {k个}_{1})$ 和 $({u个}_{2}, {k个}_{2})$ 是反问题的两个解(1.1)-(1.3). 这意味着 $\hat{u个} : = {u个}_{1} - {u个}_{2}$ 和 $\hat{k个} = {k个}_{1} - {k个}_{2}$ 满足

{\begin{cases} {L（左）}_{0, t吨} [\hat{u个}] (x个, t吨) = - \int_{0}^{t吨} \hat{k个} (t吨 - 秒) {({u个}_{2})}_{t吨} (x个, 秒) d日 秒, & (x个, t吨) \in 问_{0, T型}, \\ \hat{u个} (x个, 0) = 0, & x个 \in Ω, \\ \hat{u个} (x个, t吨) = 0, & (x个, t吨) \in Σ_{0, T型}, \end{cases}

(2.11)

和

\hat{u个} ({x个}_{0}, t吨) = 0, t吨 \in [0, T型] .

(2.12)

我们在这里使用 ${k个}_{1}$ 作为中的内核函数 ${L（左）}_{0, t吨}$ 这对下面的证明没有影响。为了证明反问题的唯一性(1.1)-(1.3)，这足以表明

{t吨}^{γ} \hat{k个} = 0, t吨 \in [0, T型] .

(2.13)

的确，如果(2.13)等待，然后我们有 $\hat{k个} (t吨) = 0$ 对于 $t吨 \in (0, T型]$ ,即。 $\int_{0}^{t吨} \hat{k个} (t吨 - 秒) {({u个}_{2})}_{t吨} (x个, 秒) d日秒 = 0$ 因此，通过定理1.1，我们得到 $\hat{u个} (x个, t吨) = 0$ 对于 $(x个, t吨) \in {\bar{问}}_{0, T型}$ .

我们现在证明(2.13)通过矛盾。我们假设(2.13)不保持，然后设置

{t吨}_{0} = 基础设施 {t吨 \in [0, T型] ∣ {t吨}^{γ} \hat{k个} (t吨) \neq 0} .

(2.14)

自 ${t吨}^{γ} {k个}_{1}, {t吨}^{γ} {k个}_{2} \in C类 [0, T型]$ ，存在足够小的 $δ > 0$ 这样的话 ${t吨}^{γ} {k个}_{1} (t吨) \neq {t吨}^{γ} {k个}_{2} (t吨)$ 对于 $t吨 \in [{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ]$ .在不失一般性的情况下，我们可以假设 ${t吨}^{γ} {k个}_{1} (t吨) < {t吨}^{γ} {k个}_{2} (t吨)$ 对于 $t吨 \in [{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ]$ .接下来我们证明

\hat{u个} (x个, t吨) = 0, (x个, t吨) \in {\bar{问}}_{0, {t吨}_{0}} .

（2.15）

显然，这个结论是正确的 ${t吨}_{0} = 0$ .何时 ${t吨}_{0} > 0$ ，我们考虑直接问题(1.1)和(1.2)英寸 $问_{0, {t吨}_{0}}$ .签署人 $\int_{0}^{t吨} \hat{k个} (t吨 - 秒) {({u个}_{2})}_{t吨} (x个, 秒) d日秒 = 0$ 在里面 $[0, {t吨}_{0}]$ 和定理A.1 ${∥ \hat{u个} ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, {t吨}_{0}})} = 0$ 因此， $\hat{u个} (x个, t吨) = 0$ 对于 $(x个, t吨) \in {\bar{问}}_{0, {t吨}_{0}}$ .

现在基于(2.11), (2.14)、和(2.15)，我们有

{\begin{cases} {L（左）}_{{t吨}_{0}, t吨} [\hat{u个}] (x个, t吨) = - \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} \hat{k个} (t吨 - 秒) {({u个}_{2})}_{t吨} (x个, 秒) d日 秒, & (x个, t吨) \in 问_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ}, \\ \hat{u个} (x个, {t吨}_{0}) = 0, & x个 \in Ω, \\ \hat{u个} (x个, t吨) = 0, & (x个, t吨) \in Σ_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ} . \end{cases}

(2.16)

根据引理2.3，我们有 ${({u个}_{2})}_{t吨} (x个, t吨) > 0$ 对于 $(x个, t吨) \in 问_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ}$ 因此， ${L（左）}_{{t吨}_{0}, t吨} [\hat{u个}] (x个, t吨) > 0$ 在里面 $问_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ}$ .应用引理2.2，我们有 $\hat{u个} (x个, t吨) \geq 0$ 在里面 ${\bar{问}}_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ}$ 此外，我们可以获得

\hat{u个} (x个, t吨) > 0, (x个, t吨) \in 问_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ} .

(2.17)

否则，存在 $({x个}_{4}, {t吨}_{4}) \in 问_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ}$ 这样的话 $\hat{u个} ({x个}_{4}, {t吨}_{4})$ 是的最小值 $\hat{u个}$ 在 ${\bar{问}}_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ}$ .那么我们有 $\hat{u个} {({x个}_{4}, {t吨}_{4})}_{t吨} = 0$ 和 $A类 u个 ({x个}_{4}, {t吨}_{4}) \geq 0$ 此外，引理2.1给出了 $\int_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{4}} {k个}_{1} ({t吨}_{4} - 秒) {\hat{u个}}_{t吨} (x个, 秒) d日秒 \leq 0$ 我们发现

0 \geq \hat{u个} {({x个}_{4}, {t吨}_{4})}_{t吨} - A类 u个 ({x个}_{4}, {t吨}_{4}) + \int_{{t吨}_{0}}^{{t吨}_{4}} {k个}_{1} ({t吨}_{4} - 秒) {\hat{u个}}_{t吨} ({x个}_{4}, 秒) d日 秒 = {L（左）}_{{t吨}_{0}, t吨} [\hat{u个}] ({x个}_{4}, {t吨}_{4}),

这与 ${L（左）}_{{t吨}_{0}, t吨} [\hat{u个}] (x个, t吨) > 0$ 在里面 $问_{{t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ}$ .因此(2.17)如下所示。然而，通过(2.12), $\hat{u个} ({x个}_{0}, t吨) = 0$ 对于 ${x个}_{0} \in Ω$ 和 $t吨 \in ({t吨}_{0}, {t吨}_{0} + δ)$ 这是一个矛盾。因此，定理1.1的证明是完整的。□

3结论

本文研究一类与Basset问题有关的积分-微分方程的弱奇异记忆核反问题。为了确定弱奇异项，我们只使用固定点的测量数据 ${x个}_{0} \in Ω$ 而不是以往反核问题研究中Ω的全部或部分的常规测量数据。利用与积分微分算子有关的极大值原理，证明了我们的反问题的唯一性。此外，还给出了具有一般核函数的直接Basset问题的存在唯一性，推广了[1]以及[2].

附录A

在这里，我们研究了以下直接问题的存在唯一性：

{\begin{cases} {L（左）}_{0, t吨} [u个] (x个, t吨) = （f） (x个, t吨), & (x个, t吨) \in 问_{0, T型}, \\ u个 (x个, 0) = {u个}_{0} (x个), & x个 \in Ω, \\ u个 (x个, t吨) = 克 (x个, t吨), & (x个, t吨) \in Σ_{0, T型} . \end{cases}

（A.1）

我们可以证明以下内容。

定理A.1

让 $k个 \in {C类}_{γ} [0, T型]$ 和一些 $γ \in (0, 1)$ , ${u个}_{0} \in {C类}^{2} (\bar{Ω})$ , $（f） \in C类 ({\bar{问}}_{0, T型})$ 和 $克 \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ .那么直接的问题(A.1款)有一个独特的解决方案 $u个 \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ 这样的话

\begin{aligned} {∥ u个 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})} \\ \leq C类 ({∥ {u个}_{0} ∥}_{{C类}^{2} (\bar{Ω})} + {∥ （f） ∥}_{C类 ({\bar{问}}_{0, t吨})} + {∥ 克 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})}) {E类}_{1 - γ} ({∥ k个 ∥}_{{C类}_{γ} [0, T型]} Γ (1 - γ) {t吨}^{1 - γ}), \end{aligned}

（A.2）

哪里 ${E类}_{1 - γ} (z)$ 米塔格是吗-Leffler函数由定义 ${E类}_{1 - γ} (z) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{z^{n个}}{Γ (n个 (1 - γ) + 1)}$ .

备注A.1

什么时候？ $k个 = \frac{1}{Γ (1 - α)} {t吨}^{- α}$ 具有 $0 < α < 1$ ，方程u个可以重写为

{u个}_{t吨} (x个, t吨) - A类 [u个] (x个, t吨) + \partial_{t吨}^{α} u个 (x个, t吨) = （f） (x个, t吨), (x个, t吨) \in 问_{0, T型} .

（A.3）

这是一个描述Basset问题的时间分数抛物方程[6].

证明

我们将使用不动点参数来证明这个定理。为此，我们设置

\begin{aligned} {V（V）}_{第页} = & {v（v） \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型}) ∣ v（v） (x个, 0) = {u个}_{0} (x个), x个 \in Ω, v（v） (x个, t吨) = 克 (x个, t吨), (x个, t吨) \in Σ_{0, T型}, \\ {∥ v（v） ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})} \leq 第页} \end{aligned}

和一些 $第页 > 0$ ，具体如下。对于给定的 $v（v） \in {V（V）}_{第页}$ ，我们认为

{\begin{cases} {u个}_{t吨} (x个, t吨) - A类 [u个] (x个, t吨) = G公司 [v（v）] (x个, t吨) + （f） (x个, t吨), & (x个, t吨) \in 问_{0, T型}, \\ u个 (x个, 0) = {u个}_{0} (x个), & x个 \in Ω, \\ u个 (x个, t吨) = 克 (x个, t吨), & (x个, t吨) \in Σ_{0, T型}, \end{cases}

（A.4）

具有 $G公司 [v（v）] (x个, t吨) = - \int_{0}^{t吨} k个 (t吨 - 秒) v（v） (x个, 秒) d日秒$ 线性抛物方程的标准结果[22]表明存在唯一的解决方案 $u个 \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ 问题的关键(A.4款)这样的话

{∥ u个 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})} \leq C类 ({∥ {u个}_{0} ∥}_{{C类}^{2} (\bar{Ω})} + {∥ G公司 [v（v）] + （f） ∥}_{C类 ({\bar{问}}_{0, t吨})} + {∥ 克 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})}), 0 \leq t吨 \leq T型 .

（A.5）

因此，以下映射：

Φ : {V（V）}_{第页} \to {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型}), v（v） \mapsto u个

（A.6）

定义明确。

我们想选择T型小到足以证明Φ是 ${V（V）}_{第页}$ ，这意味着Φ有一个唯一的不动点u个在里面 ${V（V）}_{第页}$ .签署人 $k个 \in {C类}_{γ} [0, T型]$ ，我们有

\begin{aligned} {∥ G公司 [v（v）] ∥}_{C类 ({\bar{问}}_{0, t吨})} & \leq \int_{0}^{t吨} k个 (t吨 - 秒) {∥ v（v） ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, 秒})} d日 秒 \\ \leq C类 {∥ k个 ∥}_{{C类}_{γ} [0, T型]} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{- γ} {∥ v（v） ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, 秒})} d日 秒 . \end{aligned}

（A.7）

替换(答7)到(答5)收益率

{∥ u个 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})} \leq C类 ({∥ {u个}_{0} ∥}_{{C类}^{2} (\bar{Ω})} + {∥ （f） ∥}_{C类 ({\bar{问}}_{0, T型})} + {∥ 克 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})}) + \frac{C类 {t吨}^{1 - γ}}{1 - γ} {∥ k个 ∥}_{{C类}_{γ} [0, T型]} 第页 .

（A.8）

我们修复

2 第页 = C类 ({∥ {u个}_{0} ∥}_{{C类}^{2} (\bar{Ω})} + {∥ （f） ∥}_{C类 ({\bar{问}}_{0, T型})} + {∥ 克 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})}) .

（A.9）

然后我们可以选择 ${T型}_{1}$ 满足

{∥ u个 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})} \leq 第页

（A.10）

为所有人 $T型 \in [0, {T型}_{1}]$ 从中可以看出 $Φ ({V（V）}_{第页}) \subset {V（V）}_{第页}$ 另一方面 ${v（v）}_{1}, {v（v）}_{2} \in {V（V）}_{第页}$ , $U型 : = Φ ({v（v）}_{1}) - Φ ({v（v）}_{2})$ 满足

{\begin{cases} {U型}_{t吨} (x个, t吨) - A类 [U型] (x个, t吨) = G公司 [{v（v）}_{1}] (x个, t吨) - G公司 [{v（v）}_{2}] (x个, t吨), & (x个, t吨) \in 问_{0, T型}, \\ U型 (x个, 0) = 0, & x个 \in Ω, \\ U型 (x个, t吨) = 0, & (x个, t吨) \in Σ_{0, T型} . \end{cases}

（A.11）

因此，应用(答5)我们有

{∥ U型 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})} \leq C类 ({∥ G公司 [{v（v）}_{1}] - G公司 [{v（v）}_{2}] ∥}_{C类 ({\bar{问}}_{0, t吨})}) \leq \frac{C类 {t吨}^{1 - γ}}{1 - γ} {∥ k个 ∥}_{{C类}_{γ} [0, T型]} {∥ {v（v）}_{1} - {v（v）}_{2} ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})}

（A.12）

为所有人 $t吨 \in [0, T型]$ .然后存在足够小的 ${T型}_{2}$ 这样的话

{∥ Φ ({v（v）}_{1}) - Φ ({v（v）}_{2}) ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})} \leq 1 / 2 {∥ {v（v）}_{1} - {v（v）}_{2} ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})}

（A.13）

为所有人 $T型 \in [0, {T型}_{2}]$ .签署人(A.10节)和(A.13节)，我们发现 $Φ : {V（V）}_{第页} \to {V（V）}_{第页}$ 是的收缩映射 $T型 \leq 最小值 {{T型}_{1}, {T型}_{2}}$ 因此存在一个局部唯一的解决方案 $u个 \in {C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})$ 问题的关键(A.1款)足够小的T型.

为了获得全局存在性，只需证明解u个问题的(A.1款)满足

{∥ u个 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, T型})} < \infty

（A.14）

对于任何T型的确，如果(A.14节)保持不变，然后我们可以将局部解重复扩展到整个区间 $[0, T型]$ 通过上述不动点参数。抛物型方程的Schauder型估计[23]，我们发现任何 $t吨 \in [0, T型]$ ,

\begin{aligned} {∥ u个 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})} \leq & C类 ({∥ {u个}_{0} ∥}_{{C类}^{2} (\bar{Ω})} + {∥ G公司 [u个] + （f） ∥}_{C类 ({\bar{问}}_{0, t吨})} + {∥ 克 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})}) \\ \leq & C类 ({∥ {u个}_{0} ∥}_{{C类}^{2} (\bar{Ω})} + {∥ （f） ∥}_{C类 ({\bar{问}}_{0, t吨})} + {∥ 克 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, t吨})}) \\ + C类 {∥ k个 ∥}_{{C类}_{γ} [0, T型]} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{- γ} {∥ u个 ∥}_{{C类}^{2, 1} ({\bar{问}}_{0, 秒})} d日 秒, \end{aligned}

这意味着(A.2款)通过弱奇异Gronwall不等式[24]. 自 ${E类}_{1 - γ} (z)$ 持续打开 $[0, T型]$ , (A.14节)保留任何T型.这就完成了定理A.1的证明。□

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致谢

第一作者得到了国家自然科学基金资助（编号11201238）。这项工作是在第一作者访问佛蒙特大学数学与统计系时完成的，他感谢该系和该大学的热情好客和支持。

作者信息

作者和附属机构

南京信息科技大学数学与统计学院，南京，210044
吴斌（Bin Wu）
美国伯灵顿佛蒙特大学数学与统计系，05401
于军（Jun Yu）

作者

吴斌（Bin Wu）
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于军（Jun Yu）
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转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Wu，B.，Yu，J.与Basset问题相关的积分-微分方程反问题的唯一性。边界值问题 2014, 229 (2014). https://doi.org/10.1186/s13661-014-0229-9

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收到:2014年6月8日
认可的:2014年10月1日
出版:2014年10月15日
内政部:https://doi.org/10.1186/s13661-014-0229-9