§6.18计算方法

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关键词：: 计算,余弦积分,指数积分,正弦积分
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/6.18
另请参见：: 的注释第6章

§6.18（i）主要功能

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参考人：: §3.10（iii）,§7.22（i）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/6.18.i
另请参见：: 的注释§6.18和第6章

对于较小或中等值 $x个$ 和 $|z|$ 幂级数的扩张(§6.6)或球面贝塞尔函数系列(§6.10（ii）)可以使用。对于大型 $x个$ 或 $|z|$ 这些系列遭受缓慢的收敛或取消（或两者兼而有之）。然而，这个问题对于球贝塞尔函数系列来说不太严重，因为它们收敛速度更快，并且（除了(6.10.6))在以下情况下未取消 $z=x$ ( $>0$ ).

对于大型 $x个$ 和 $\left|z\right|$ ，逆阶乘级数的展开式(§6.10（i）)或渐近展开（§6.12)是可用。渐近展开式的可达到精度可以是以指数级的改善显著增加。此外，其他范围的 $\operatorname{ph}z$ 可以通过使用的连续公式来覆盖§6.4.

积分表示的求积是另一种有效的方法。对于例如，高斯-拉盖尔公式（§3.5（v）)可以应用于(6.2.2); 看见托德(1954)和曾和李(1998)。对于高斯-勒让德公式的应用（§3.5（v）)参见图珀和马克(1968).

最后，连分数(6.9.1)可以在以下情况下使用 $|z|$ 是远离原点。当 $z（z）$ 靠近然而，实际轴为负。

§6.18（ii）辅助功能

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关键词：: 正弦和余弦积分的辅助函数,计算
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/6.18.ii
另请参见：: 的注释§6.18和第6章

幂级数、渐近展开式和求积也可用于计算功能 $\mathrm{f}\left(z\right)$ 和 $\mathrm{g}\left(z\right)$ 此外，阿克顿(1974)制定了如下复发程序。对于 $n=0,1,2,\dots$ ，定义

6.18.1	$\displaystyle A_{n}$	$\displaystyle=\int_{0}^{\infty}\frac{te^{-zt}}{1+t^{2}}\left(\frac{t^{2}}{1+t^% {2}}\right)^{n}\,\mathrm{d}t,$
	$\displaystyle B_{n}$	$\displaystyle=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-zt}}{1+t^{2}}\left(\frac{t^{2}}{1+t^{% 2}}\right)^{n}\,\mathrm{d}t,$
	$\displaystyle C_{n}$	$\displaystyle=\int_{0}^{\infty}e^{-zt}\left(\frac{t^{2}}{1+t^{2}}\right)^{n}\,% \mathrm{d}t.$
ⓘ 符号： $\,\mathrm{d}\NVar{x}$ ：的微分 $x个$ , $\mathrm{e}$ ：自然对数的底, $\int$ ：积分, $z（z）$ ：复杂变量和 $n个$ ：非负整数永久链接： http://dlmf.nist.gov/6.18.E1 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§6.18（ii）,§6.18和第6章

然后 $\mathrm{f}\left(z\right)=B_{0}$ , $\mathrm{g}\left(z\right)=A_{0}$ 、和

6.18.2		$\displaystyle A_{n-1}$	$\displaystyle=A_{n}+\frac{z}{2n}C_{n},$
		$\displaystyle B_{n-1}$	$\displaystyle=\frac{2nB_{n}+zA_{n-1}}{2n-1},$
		$\displaystyle C_{n-1}$	$\displaystyle=C_{n}+B_{n-1}$ ,
	$n=1,2,3,\dots.$
ⓘ 符号： $z（z）$ ：复杂变量和 $n个$ ：非负整数永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/6.18.E2 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§6.18（ii）,§6.18和第6章