4基本函数双曲函数 4.34导数和微分方程 4.36无穷乘积和分式

§4.35身份

ⓘ

关键词：: 双曲线函数,身份
参考人：: §3.10（ii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.35
另请参见：: 的注释第4章

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§4.35（i）加法公式

ⓘ

关键词：: 加法公式,双曲线函数
笔记：: 请参阅霍布森(1928第323–324页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.35.i
另请参见：: 的注释§4.35和第4章

4.35.1		$\displaystyle\sinh\left(u\pm v\right)$	$\displaystyle=\sinh u\cosh v\pm\cosh u\sinh v,$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.24（已修改）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章
4.35.2		$\displaystyle\cosh\left(u\pm v\right)$	$\displaystyle=\cosh u\cosh v\pm\sinh u\sinh v,$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.25（已修改）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章
4.35.3		$\displaystyle\tanh\left(u\pm v\right)$	$\displaystyle=\frac{\tanh u\pm\tanh v}{1\pm\tanh u\tanh v},$
ⓘ 符号： $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数 A&S参考： 4.5.26（已修改）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章
4.35.4		$\displaystyle\coth\left(u\pm v\right)$	$\displaystyle=\frac{\pm\coth u\coth v+1}{\coth u\pm\coth v}.$
ⓘ 符号： $\coth\NVar{z}$ ：双曲余切函数 A&S参考： 4.5.27（已修改）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章

4.35.5		$\displaystyle\sinh u+\sinh v$	$\displaystyle=2\sinh\left(\frac{u+v}{2}\right)\cosh\left(\frac{u-v}{2}\right),$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.41 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章
4.35.6		$\displaystyle\sinh u-\sinh v$	$\displaystyle=2\cosh\left(\frac{u+v}{2}\right)\sinh\left(\frac{u-v}{2}\right),$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.42 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章
4.35.7		$\displaystyle\cosh u+\cosh v$	$\displaystyle=2\cosh\left(\frac{u+v}{2}\right)\cosh\left(\frac{u-v}{2}\right),$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数 A&S参考： 4.5.43 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/4.35.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章
4.35.8		$\displaystyle\cosh u-\cosh v$	$\displaystyle=2\sinh\left(\frac{u+v}{2}\right)\sinh\left(\frac{u-v}{2}\right),$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.44 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章
4.35.9		$\displaystyle\tanh u\pm\tanh v$	$\displaystyle=\frac{\sinh\left(u\pm v\right)}{\cosh u\cosh v},$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数和 $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数 A&S参考： 4.5.45 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章
4.35.10		$\displaystyle\coth u\pm\coth v$	$\displaystyle=\frac{\sinh\left(v\pm u\right)}{\sinh u\sinh v}.$
ⓘ 符号： $\coth\NVar{z}$ ：双曲余切函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.46（已修改）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（i）,§4.35和第4章

§4.35（ii）方块和产品

ⓘ

关键词：: 双曲线函数,方块和产品
笔记：: 请参阅霍布森(1928第323页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.35.ii
另请参见：: 的注释§4.35和第4章

4.35.11		${\cosh}^{2}z-{\sinh}^{2}z=1,$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.16 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章

4.35.12		${\operatorname{sech}}^{2}z=1-{\tanh}^{2}z,$
ⓘ 符号： $\operatorname{sech}\NVar{z}$ ：双曲正割函数, $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.17 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章

4.35.13		${\operatorname{csch}}^{2}z={\coth}^{2}z-1.$
ⓘ 符号： $\operatorname{csch}\NVar{z}$ ：双曲余割函数, $\coth\NVar{z}$ ：双曲余切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.18 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章

4.35.14		$\displaystyle 2\sinh u\sinh v$	$\displaystyle=\cosh\left(u+v\right)-\cosh\left(u-v\right),$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.38 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章
4.35.15		$\displaystyle 2\cosh u\cosh v$	$\displaystyle=\cosh\left(u+v\right)+\cosh\left(u-v\right),$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数 A&S参考： 4.5.39 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E15 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章
4.35.16		$\displaystyle 2\sinh u\cosh v$	$\displaystyle=\sinh\left(u+v\right)+\sinh\left(u-v\right).$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.40 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E16 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章

4.35.17		$\displaystyle{\sinh}^{2}u-{\sinh}^{2}v$	$\displaystyle=\sinh\left(u+v\right)\sinh\left(u-v\right),$
ⓘ 符号： $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.47 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E17 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章
4.35.18		$\displaystyle{\cosh}^{2}u-{\cosh}^{2}v$	$\displaystyle=\sinh\left(u+v\right)\sinh\left(u-v\right),$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.47 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E18 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章
4.35.19		$\displaystyle{\sinh}^{2}u+{\cosh}^{2}v$	$\displaystyle=\cosh\left(u+v\right)\cosh\left(u-v\right).$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数 A&S参考： 4.5.48 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E19 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（ii）,§4.35和第4章

§4.35（iii）参数的倍数

ⓘ

关键词：: 双曲线函数,参数的倍数
笔记：: 请参阅霍布森(1928第324–325页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.35.iii
另请参见：: 的注释§4.35和第4章

4.35.20		$\sinh\frac{z}{2}=\left(\frac{\cosh z-1}{2}\right)^{1/2},$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.28 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E20 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.21		$\cosh\frac{z}{2}=\left(\frac{\cosh z+1}{2}\right)^{1/2},$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.29 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E21 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.22		$\tanh\frac{z}{2}=\left(\frac{\cosh z-1}{\cosh z+1}\right)^{1/2}=\frac{\cosh z-% 1}{\sinh z}=\frac{\sinh z}{\cosh z+1}.$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.30 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E22 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

平方根在正实轴上取其主值，并且由其他地方的连续性决定。

4.35.23		$\displaystyle\sinh\left(-z\right)$	$\displaystyle=-\sinh z,$
ⓘ 符号： $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.21 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E23 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章
4.35.24		$\displaystyle\cosh\left(-z\right)$	$\displaystyle=\cosh z,$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.22 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E24 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章
4.35.25		$\displaystyle\tanh\left(-z\right)$	$\displaystyle=-\tanh z.$
ⓘ 符号： $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.23 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E25 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.26		$\sinh\left(2z\right)=2\sinh z\cosh z=\frac{2\tanh z}{1-{\tanh}^{2}z},$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.31 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/4.35.E26 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.27		$\cosh\left(2z\right)=2{\cosh}^{2}z-1=2{\sinh}^{2}z+1\\ ={\cosh}^{2}z+{\sinh}^{2}z,$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.32 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E27 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.28		$\tanh\left(2z\right)=\frac{2\tanh z}{1+{\tanh}^{2}z},$
ⓘ 符号： $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.33 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E28 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.29		$\sinh\left(3z\right)=3\sinh z+4{\sinh}^{3}z,$
ⓘ 符号： $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.34 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E29 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.30		$\cosh\left(3z\right)=-3\cosh z+4{\cosh}^{3}z,$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.35 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/4.35.E30 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.31		$\displaystyle\sinh\left(4z\right)$	$\displaystyle=4{\sinh}^{3}z\cosh z+4{\cosh}^{3}z\sinh z,$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.36 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E31 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章
4.35.32		$\displaystyle\cosh\left(4z\right)$	$\displaystyle={\cosh}^{4}z+6{\sinh}^{2}z{\cosh}^{2}z+{\sinh}^{4}z.$
ⓘ 符号： $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.37 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E32 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

4.35.33		$\cosh\left(nz\right)\pm\sinh\left(nz\right)=(\cosh z\pm\sinh z)^{n},$
$n\in\mathbb{Z}$ .
ⓘ 符号： $\in$ ：的元素, $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $\mathbb{Z}$ ：所有整数的集合, $n个$ ：整数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.53 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E33 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iii）,§4.35和第4章

§4.35（iv）实部和虚部；模量

ⓘ

关键词：: 双曲线函数,模数,实部和虚部
笔记：: 请参阅霍布森(1928第331页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.35.iv
另请参见：: 的注释§4.35和第4章

使用 $z=x+iy$

4.35.34		$\displaystyle\sinh z$	$\displaystyle=\sinh x\cos y+i\cosh x\sin y,$
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：实变量, $年$ ：实变量和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.49 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/4.35.E34 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iv）,§4.35和第4章
4.35.35		$\displaystyle\cosh z$	$\displaystyle=\cosh x\cos y+i\sinh x\sin y,$
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：实变量, $年$ ：实变量和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.50 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E35 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iv）,§4.35和第4章
4.35.36		$\displaystyle\tanh z$	$\displaystyle=\frac{\sinh\left(2x\right)+i\sin\left(2y\right)}{\cosh\left(2x% \right)+\cos\left(2y\right)},$
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：实变量, $年$ ：实变量和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.51 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E36 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iv）,§4.35和第4章
4.35.37		$\displaystyle\coth z$	$\displaystyle=\frac{\sinh\left(2x\right)-i\sin\left(2y\right)}{\cosh\left(2x% \right)-\cos\left(2y\right)}.$
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\coth\NVar{z}$ ：双曲余切函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：实变量, $年$ ：实变量和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.52 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E37 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iv）,§4.35和第4章

4.35.38		$\|\sinh z\|=({\sinh}^{2}x+{\sin}^{2}y)^{1/2}=\left(\tfrac{1}{2}(\cosh\left(2x% \right)-\cos\left(2y\right))\right)^{1/2},$
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $\sin\NVar{z}$ ：正弦函数, $x个$ ：实变量, $年$ ：实变量和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.54 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E38 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iv）,§4.35和第4章

4.35.39		$\|\cosh z\|=({\sinh}^{2}x+{\cos}^{2}y)^{1/2}=\left(\tfrac{1}{2}(\cosh\left(2x% \right)+\cos\left(2y\right))\right)^{1/2},$
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\sinh\NVar{z}$ ：双曲正弦函数, $x个$ ：实变量, $年$ ：实变量和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.56 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.35.E39 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iv）,§4.35和第4章

4.35.40		$\|\tanh z\|=\left(\frac{\cosh\left(2x\right)-\cos\left(2y\right)}{\cosh\left(2x% \right)+\cos\left(2y\right)}\right)^{1/2}.$
ⓘ 符号： $\cos\NVar{z}$ ：余弦函数, $\cosh\NVar{z}$ ：双曲余弦函数, $\tanh\NVar{z}$ ：双曲正切函数, $x个$ ：实变量, $年$ ：实变量和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.5.58 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/4.35.E40 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§4.35（iv）,§4.35和第4章

4.34导数和微分方程 4.36无穷乘积和分式

©2010–2024 NIST版权所有/免责声明/反馈;1.2.2版；发布日期2024-09-15。

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