4基本函数三角函数 4.23反三角函数 4.25连续分数

§4.24反三角函数：进一步的性质

ⓘ

参考人：: §4.2（i）,§4.38（i）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.24
另请参阅：: 的注释第4章

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§4.24（i）Power系列

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关键词：: 反三角函数,幂级数
笔记：: 请参见霍布森(1928第279-280、321页）.
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.24.i
另请参阅：: 的注释§4.24和第4章

4.24.1		$\operatorname{arcsin}z=z+\frac{1}{2}\frac{z^{3}}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}% \frac{z^{5}}{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\frac{z^{7}}{7}+\cdots,$
$\|z\|\leq 1$ .
ⓘ 符号： $\operatorname{arcsin}\NVar{z}$ ：反正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.40（其中约束是 $\|z\|<1$ .) 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（i）,§4.24和第4章

4.24.2		$\operatorname{arccos}z=(2(1-z))^{1/2}\*\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 3% \cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{2n}(2n+1)n!}(1-z)^{n}\right),$
$\|1-z\|\leq 2$ .
ⓘ 符号： $!$ ：阶乘（如 $n个!$ ), $\operatorname{arccos}\NVar{z}$ ：反余弦函数, $n个$ ：整数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.41（陈述不同，限制 $z（z）$ 是更多限制。）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（i）,§4.24和第4章

4.24.3		$\operatorname{arctan}z=z-\frac{z^{3}}{3}+\frac{z^{5}}{5}-\frac{z^{7}}{7}+\cdots,$
$\left\|z\right\|\leq 1$ , $z\neq\pm\mathrm{i}$ .
ⓘ 符号： $\mathrm{i}$ ：虚单位, $\operatorname{arctan}\NVar{z}$ ：反正切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.42 参考人： §3.10（ii）,§4.45（i）,§4.45（i）永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/4.24.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（i）,§4.24和第4章

4.24.4		$\operatorname{arctan}z=\pm\frac{\pi}{2}-\frac{1}{z}+\frac{1}{3z^{3}}-\frac{1}{% 5z^{5}}+\cdots,$
$\Re z\gtrless 0$ , $\|z\|\geq 1$ .
ⓘ 符号： $\pi$ ：圆的周长与其直径的比值, $\operatorname{arctan}\NVar{z}$ ：反正切函数, $\Re$ ：实部和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.42（有一个错误。 $\frac{\pi}{2}$ 当 $\Re z<0$ .) 参考人： §4.45（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（i）,§4.24和第4章

4.24.5		$\operatorname{arctan}z=\frac{z}{z^{2}+1}\*\left(1+\frac{2}{3}\frac{z^{2}}{1+z^% {2}}+\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}\left(\frac{z^{2}}{1+z^{2}}\right)^{2}+\cdots% \right),$
$\Re\left(z^{2}\right)>-\tfrac{1}{2}$ ,
ⓘ 符号： $\operatorname{arctan}\NVar{z}$ ：反正切函数, $\Re$ ：实部和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.42（在条件中有错误 $z（z）$ .) 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E5 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（i）,§4.24和第4章

这需要 $z（z）$ $(=x+iy)$ 位于给定的两个矩形双曲线之间

4.24.6		$x^{2}-y^{2}=-\tfrac{1}{2}.$
ⓘ 符号： $x个$ ：实变量和 $年$ ：实变量永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（i）,§4.24和第4章

§4.24（ii）衍生品

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关键词：: 衍生产品,反三角函数
笔记：: 请参见莱文森和雷德弗(1970第68–70页）。对于(4.24.10)和(4.24.11)注意 $(z^{2}-1)^{1/2}$ 在虚轴上是不连续的，因此我们切换到另一个交叉此轴时进行分支。这就是这两个迹象的原因。
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.24.ii
另请参阅：: 的注释§4.24和第4章

4.24.7		$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arcsin}z$	$\displaystyle=(1-z^{2})^{-1/2},$
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\operatorname{arcsin}\NVar{z}$ ：反正弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.52 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（ii）,§4.24和第4章
4.24.8		$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arccos}z$	$\displaystyle=-(1-z^{2})^{-1/2},$
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\operatorname{arccos}\NVar{z}$ ：反余弦函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.53 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E8 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（ii）,§4.24和第4章
4.24.9		$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arctan}z$	$\displaystyle=\frac{1}{1+z^{2}}.$
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\operatorname{arctan}\NVar{z}$ ：反正切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.54 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E9 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（ii）,§4.24和第4章
4.24.10		$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arccsc}z$	$\displaystyle=\mp\frac{1}{z(z^{2}-1)^{1/2}},$
$\Re z\gtrless 0$ .
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的衍生物 $（f）$ 关于 $x个$ , $\operatorname{arccsc}\NVar{z}$ ：反余割函数, $\Re$ ：实部和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.57（有一个错误。）参考人： §4.24（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E10 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（ii）,§4.24和第4章
4.24.11		$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arcsec}z$	$\displaystyle=\pm\frac{1}{z(z^{2}-1)^{1/2}},$
$\Re z\gtrless 0$ .
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\operatorname{arcsec}\NVar{z}$ ：反正割函数, $\Re$ ：实部和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.56（有一个错误。）参考人： §4.24（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（ii）,§4.24和第4章
4.24.12		$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{arccot}z$	$\displaystyle=-\frac{1}{1+z^{2}}.$
ⓘ 符号： $\frac{\mathrm{d}\NVar{f}}{\mathrm{d}\NVar{x}}$ ：的导数 $（f）$ 关于 $x个$ , $\operatorname{arccot}\NVar{z}$ ：反正切函数和 $z（z）$ ：复杂变量 A&S参考： 4.4.55 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E12 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（ii）,§4.24和第4章

§4.24（iii）加法公式

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关键词：: 加法公式,反三角函数
笔记：: 请参见霍布森(1928第54–55页）.
参考人：: §4.38（iii）
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/4.24.iii
另请参阅：: 的注释§4.24和第4章

4.24.13		$\operatorname{Arcsin}u\pm\operatorname{Arcsin}v=\operatorname{Arcsin}\left(u(1% -v^{2})^{1/2}\pm v(1-u^{2})^{1/2}\right),$
ⓘ 符号： $\operatorname{Arcsin}\NVar{z}$ ：一般反正弦函数 A&S参考： 4.4.32 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/4.24.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（iii）,§4.24和第4章

4.24.14		$\operatorname{Arccos}u\pm\operatorname{Arccos}v=\operatorname{Arccos}\left(uv% \mp((1-u^{2})(1-v^{2}))^{1/2}\right),$
ⓘ 符号： $\operatorname{Arccos}\NVar{z}$ ：一般反余弦函数 A&S参考： 4.4.33 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（iii）,§4.24和第4章

4.24.15		$\operatorname{Arctan}u\pm\operatorname{Arctan}v=\operatorname{Arctan}\left(% \frac{u\pm v}{1\mp uv}\right),$
ⓘ 符号： $\operatorname{Arctan}\NVar{z}$ ：一般反正切函数 A&S参考： 4.4.34 参考人： §4.45（i）永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E15 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（iii）,§4.24和第4章

4.24.16		$\operatorname{Arcsin}u\pm\operatorname{Arccos}v=\operatorname{Arcsin}\left(uv% \pm((1-u^{2})(1-v^{2}))^{1/2}\right)=\operatorname{Arccos}\left(v(1-u^{2})^{1/% 2}\mp u(1-v^{2})^{1/2}\right),$
ⓘ 符号： $\operatorname{Arccos}\NVar{z}$ ：一般反余弦函数和 $\operatorname{Arcsin}\NVar{z}$ ：一般反正弦函数 A&S参考： 4.4.35 永久链接：网址：http://dlmf.nist.gov/4.24.E16 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（iii）,§4.24和第4章

4.24.17		$\operatorname{Arctan}u\pm\operatorname{Arccot}v=\operatorname{Arctan}\left(% \frac{uv\pm 1}{v\mp u}\right)=\operatorname{Arccot}\left(\frac{v\mp u}{uv\pm 1% }\right).$
ⓘ 符号： $\operatorname{Arccot}\NVar{z}$ ：一般余切函数和 $\operatorname{Arctan}\NVar{z}$ ：一般反正切函数 A&S参考： 4.4.36 永久链接： http://dlmf.nist.gov/4.24.E17 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参阅：的注释§4.24（iii）,§4.24和第4章

上述方程的解释是左手边是右手边的值，反之亦然。所有方形根有两种可能的值。

4.23反三角函数 4.25连续分数

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