§3.10连续分数

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参考人：: §1.12（vi）,第4项
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.10
另请参见：: 的注释第3章

§3.10（i）介绍

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永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.10.i网址
另请参见：: 的注释§3.10和第3章

参见§1.12连分式的相关性质，包括以下定义：

3.10.1		$C=b_{0}+\cfrac{a_{1}}{b_{1}+\cfrac{a_{2}}{b_{2}+\cdots}},$
$a_{n}\neq 0$ ,
ⓘ 定义： $C类$ ：连分数（局部）引用人： §3.10（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E1 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（i）,§3.10和第3章

3.10.2		$C_{n}=b_{0}+\cfrac{a_{1}}{b_{1}+\cfrac{a_{2}}{b_{2}+\cdots}}\frac{a_{n}}{b_{n}% }=\frac{A_{n}}{B_{n}}.$
ⓘ 定义： $A_{n}$ ：连分数分子（局部）, $B_{n}$ ：连分母（局部）和 $C_{n}$ ：连续分数近似值（局部）参考人： §3.10（iii）,§3.10（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E2 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（i）,第3.10条和第3章

$C_{n}$ 是 $n个$ 第个近似的或收敛的到 $C类$ .

§3.10（ii）与幂级数的关系

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关键词：: 连分数,与幂级数的关系
笔记：: 请参见布兰奇(1964)。对于原始源商差算法参见鲁蒂绍泽(1957).
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.10.ii
另请参见：: 的注释§3.10和第3章

每个收敛、渐近或形式级数

3.10.3		$u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots$
ⓘ 定义： $u_{n}$ ：系列（本地）参考人： §3.10（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E3 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10和第3章

可以转换为连分数 $C类$ 类型为(3.10.1),并且具有 $n个$ 第个收敛的 $C_{n}=A_{n}/B_{n}$ 到 $C类$ 是等于 $n个$ 中级数的第个部分和(3.10.3)也就是说，

3.10.4		$\frac{A_{n}}{B_{n}}=u_{0}+u_{1}+\dots+u_{n},$
$n=0,1,\dots$ .
ⓘ 符号： $A_{n}$ ：连分数分子, $B_{n}$ ：连分母和 $u_{n}$ ：系列参考人： §3.10（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E4 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10和第3章

例如，如果 $u_{n}$ 消失，然后我们可以定义

3.10.5		$\displaystyle b_{0}$	$\displaystyle=u_{0},$
		$\displaystyle b_{1}$	$\displaystyle=1,$
		$\displaystyle a_{1}$	$\displaystyle=u_{1},$
		$\displaystyle b_{n}$	$\displaystyle=1+\frac{u_{n}}{u_{n-1}},$
		$\displaystyle a_{n}$	$\displaystyle=-\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$ ,
	$n\geq 2$ .
ⓘ 符号： $u_{n}$ ：系列参考人： §3.10（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E5 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10和第3章

然而，具有相同极限的其他连续分数可能在复平面的面积大于(3.10.4)和(3.10.5). 例如，通过转换麦克劳林展开 $\operatorname{arctan}z$ (4.24.3)，我们获得具有相同收敛区域的连分式( $\left|z\right|\leq 1$ , $z\neq\pm\mathrm{i}$ )，而连分数(4.25.4)收敛为所有人 $z\in\mathbb{C}$ 除了在树枝上 $我$ 到 $i\infty$ 和 $-i$ 到 $-i\infty$ .

Stieltjes分数

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关键词：: $S公司$ -分数,Stieltjes分数,Stieltjes分数( $S公司$ -分数）,连分数,与幂级数的关系
另请参见：: 的注释§3.10（ii）,第3.10条和第3章

形式的连分数

3.10.6		$C=\cfrac{a_{0}}{1-\cfrac{a_{1}z}{1-\cfrac{a_{2}z}{1-\cdots}}}$
ⓘ 符号： $C类$ ：连分数参考人： §3.10（ii）,§3.10（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E6 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10（ii）,§3.10和第3章

称为Stieltjes分数( $S公司$ -分数）我们这么说对应到形式幂级数

3.10.7		$f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots$
ⓘ 定义： $c_{n}$ ：系数（局部）参考人： §3.10（ii）,§3.10（ii）,§3.10（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E7 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10（ii）,§3.10和第3章

如果它的扩展 $n个$ 第个收敛的 $C_{n}$ 以提升的力量 $z（z）$ 同意(3.10.7)直至并包括术语 $z^{n-1}$ , $n=1,2,3,\dots$ .

商差算法

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关键词：: 连分数,商微分算法,商差分格式,菱形规则,稳定性
另请参见：: 的注释§3.10（ii）,§3.10和第3章

对于几个特殊功能 $S公司$ -分数是明确的，但在在任何情况下，系数 $a_{n}$ 始终可以从幂级数计算系数，通过商微分算法; 看见表3.10.1.

\开始{picture}（8.0,9.0）\put（0.0,7.0）{$e_{0}^{1}$}\投入（0.0,5.0）｛$e_｛0｝^｛2｝$｝\put（0.0,3.0）｛$e_｛0｝^｛3｝$｝\put（0.0,1.0）{$e_{0}^{4}$}\put（1.0,8.0）{$q{1}^{0}$}\put（1.0,6.0）{$q{1}^{1}$}\put（1.0,4.0）{$q{1}^{2}$}\put（1.0,2.0）{$q{1}^{3}$}\put（1.0,0.0）{$\ddots$}\put（2.0,7.0）{$e_{1}^{0}$}\put（2.0,5.0）{$e_{1}^{1}$}\put（2.0,3.0）{$e_{1}^{2}$}\put（2.0,1.0）{$e_{1}^{3}$}\put（3.0,6.0）{$q{2}^{0}$}\put（3.0,4.0）{$q{2}^{1}$}\put（3.0,2.0）{$q{2}^{2}$}\put（3.0,0.0）{$\ddots$}\put（4.0,5.0）{$e_{2}^{0}$}\put（4.0,3.0）{$e_{2}^{1}$}\put（4.0,1.0）{$e_{2}^{2}$}\put（5.0,4.0）{$q{3}^{0}$}\put（5.0,2.0）{$q{3}^{1}$}\put（5.0,0.0）{$\ddots$}\put（6.0,3.0）{$e_{3}^{0}$}\put（6.0,1.0）{$e_{3}^{1}$}\put（7.0,2.0）{$\ddots$}\put（7.0,0.0）{$\ddots$}\结束{图片} — 表3.10.1：商差方案。

此表中的前两列由定义

3.10.8		$\displaystyle e_{0}^{n}$	$\displaystyle=0,$
	$n=1,2,\dots$ ,
		$\displaystyle q_{1}^{n}$	$\displaystyle=c_{n+1}/c_{n},$
	$n=0,1,\dots$ ,
ⓘ 符号： $c_{n}$ ：系数, $e_{j}^{k}$ ：元素和 $q_{j}^{k}$ ：元素永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E8 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10（ii）,第3.10条和第3章

其中 $c_{n}$ ( $\neq 0$ )出现在(3.10.7). 我们继续的手段菱形规则

3.10.9		$\displaystyle e_{j}^{k}$	$\displaystyle=e_{j-1}^{k+1}+q_{j}^{k+1}-q_{j}^{k},$
	$j\geq 1$ , $k\geq 0$ ,
		$\displaystyle q_{j+1}^{k}$	$\displaystyle=q_{j}^{k+1}e_{j}^{k+1}/e_{j}^{k},$
	$j\geq 1$ , $k\geq 0$ .
ⓘ 符号： $e_{j}^{k}$ ：元素和 $q_{j}^{k}$ ：元素永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E9 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10（ii）,§3.10和第3章

然后是系数 $a_{n}$ 的 $S公司$ -分数(3.10.6)是由提供

3.10.10	$\displaystyle a_{0}$	$\displaystyle=c_{0},$
	$\displaystyle a_{1}$	$\displaystyle=q_{1}^{0},$
	$\displaystyle a_{2}$	$\displaystyle=e_{1}^{0},$
	$\displaystyle a_{3}$	$\displaystyle=q_{2}^{0},$
	$\displaystyle a_{4}$	$\displaystyle=e_{2}^{0},$
	$\ldots.$
ⓘ 符号： $c_{n}$ ：系数, $e_{j}^{k}$ ：元素和 $q_{j}^{k}$ ：元素永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E10 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML公司,pMML公司,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10（ii）,§3.10和第3章

商微分算法通常不稳定，可能需要高精度算法或精确算法。更稳定的版本算法在中进行了讨论斯托克斯(1980)适用于贝塞尔函数和Whittaker函数（第章10和13)，请参阅Gargantini和Henrici(1967).

雅可比分数

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关键词：: $J$ -分数,雅可比分数,雅可比分数( $J$ -分数）,相关,连分数
另请参见：: 的注释§3.10（ii）,§3.10和第3章

形式的连分数

3.10.11		$C=\cfrac{\beta_{0}}{1-\alpha_{0}z-\cfrac{\beta_{1}z^{2}}{1-\alpha_{1}z-\cfrac{% \beta_{2}z^{2}}{1-\alpha_{2}z-\cdots}}}$
ⓘ 符号： $C类$ ：连分数参考人： §3.10（ii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E11 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（ii）,§3.10（ii）,§3.10和第3章

称为雅可比分数( $J$ -分数）我们说是的相关用形式幂级数 $f(z)$ 在里面(3.10.7)如果它的扩展 $n个$ 第个收敛的 $C_{n}$ 在里面提升的力量 $z（z）$ ，同意(3.10.7)到和将该术语包含在 $z^{2n-1}$ , $n=1,2,3,\dots$ .对于同一功能 $f(z)$ ，收敛的 $C_{n}$ 雅可比分数的(2011年3月3日)等于收敛的 $C_{2n}$ Stieltjes分数(3.10.6).

以下示例 $S公司$ -和 $J$ -分数

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另请参见：: 的注释§3.10（ii）,§3.10和第3章

有关基本函数，请参见§§4.9和4.35.

有关特殊功能，请参见§5.10（伽马函数），§7.9（错误函数），§8.9（不完整的伽马函数），§8.17（v）（不完整的β函数），§8.19（七）（广义指数积分），§§10.10和10.33（贝塞尔函数的商），§13.6（合流超几何函数的商），§13.19（Whittaker函数的商），以及§15.7（超几何函数的商）。

有关更多信息和示例，请参见洛伦岑和瓦德兰(1992第292-330、560-599页）和库伊特等。(2008).

§3.10（iii）连分式的数值计算

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笔记：: 请参见墙壁(1948，第17-19页）,巴奈特等。(1974),和巴奈特(1981年).
参考人：: 段落勘误表（V1.0.24）Steed算法（在§3.10（三）)
永久链接：: http://dlmf.nist.gov/3.10.iii
另请参见：: 的注释§3.10和第3章

前向递归算法

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关键词：: 连分数,正向递归,数值评估
另请参见：: 的注释§3.10（iii）,§3.10和第3章

这个 $A_{n}$ 和 $B_{n}$ 第页，共页(3.10.2)可以通过以下方式计算三项递推关系(1.12.5). 然而，这可能是不稳定；评估时也可能发生溢出和下溢 $A_{n}$ 和 $B_{n}$ （需要不时重新缩放）。

向后递归算法

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关键词：: 反向重复,连分数,数值评估
另请参见：: 的注释§3.10（iii）,§3.10和第3章

要计算 $C_{n}$ 第页，共页(3.10.2)我们执行迭代除法

2012年3月3日		$\displaystyle u_{n}$	$\displaystyle=b_{n},$
		$\displaystyle u_{k}$	$\displaystyle=b_{k}+\frac{a_{k+1}}{u_{k+1}}$ ,
	$k=n-1,n-2,\dots,0$ .
ⓘ 符号： $u_{n}$ ：系列永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E12 编码： TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司另请参见：的注释§3.10（iii）,§3.10（iii）,§3.10和第3章

然后 $u_{0}=C_{n}$ .为了达到规定的精确度先验的知识的价值是需要的 $n个$ ，或 $n个$ 通过试验确定错误。一般来说，该算法比前向算法更稳定；看见琼斯和王位(1974).

前向序列递归算法

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关键词：: 连分数,正向级数递推,数值评估
另请参见：: 的注释§3.10（iii）,§3.10和第3章

连续分数

2013年3月3日		$C=\cfrac{a_{0}}{1-\cfrac{a_{1}}{1-\cfrac{a_{2}}{1-\cdots}}}$
ⓘ 符号： $C类$ ：连分数参考人： §3.10（iii）永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E13 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（iii）,§3.10（iii）,§3.10和第3章

可以写在表格中

3.10.14		$C=\sum_{k=0}^{\infty}t_{k},$
ⓘ 符号： $C类$ ：连分数永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E14 编码： TeX公司,pMML（百万微升）,png公司另请参见：的注释§3.10（iii）,§3.10（iii）,§3.10和第3章

哪里

2015年3月3日		$\displaystyle t_{0}$	$\displaystyle=a_{0},$
		$\displaystyle t_{k}$	$\displaystyle=\rho_{k}t_{k-1},$
		$\displaystyle\rho_{0}$	$\displaystyle=0,$
		$\displaystyle\rho_{k}$	$\displaystyle=\frac{a_{k}(1+\rho_{k-1})}{1-a_{k}(1+\rho_{k-1})}$ ,
	$k=1,2,3,\dots$ .
ⓘ 永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E15 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§3.10（iii）,§3.10（iii）,§3.10和第3章

这个 $n个$ 第次部分和 $t_{0}+t_{1}+\dots+t_{n-1}$ 等于 $n个$ 第个收敛的第页，共页(3.10.13), $n=1,2,3,\dots$ 与前一项相比本小节中的算法不会出现缩放问题，也不会先验的需要信息。

在高茨基(1979年)正向序列算法用于评估不完整伽马函数的连续分数（参见§8.9).

Steed算法

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关键词：: Steed算法,对于连分数
引用人：: 段落勘误表（V1.0.24）Steed算法（在§3.10（三）)
添加（有效期为1.0.24）：: 在段落末尾添加了一句话，以告知读者Steed算法的替代方案，即伦茨算法（例如。，伦茨(1976))和改进的Lentz算法（例如。，汤普森和巴奈特(1986)).
另请参见：: 的注释§3.10（iii）,§3.10和第3章

该正向算法在计算收敛点 $C_{n}=A_{n}/B_{n}$ ，与正向系列相关递归算法。同样，不会出现缩放问题，也不会先验的需要信息。

让

3.10.16	$\displaystyle C_{0}$	$\displaystyle=b_{0},$
	$\displaystyle D_{1}$	$\displaystyle=1/b_{1},$
	$\displaystyle\nabla C_{1}$	$\displaystyle=a_{1}D_{1},$
	$\displaystyle C_{1}$	$\displaystyle=C_{0}+\nabla C_{1}.$
ⓘ 符号： $C_{n}$ ：连分数近似永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E16 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§3.10（iii）,§3.10（iii）,§3.10和第3章

( $\nabla$ 是后向差分算子.）然后针对 $n\geq 2$ ,

3.10.17	$\displaystyle D_{n}$	$\displaystyle=\frac{1}{D_{n-1}a_{n}+b_{n}},$
	$\displaystyle\nabla C_{n}$	$\displaystyle=(b_{n}D_{n}-1)\nabla C_{n-1},$
	$\displaystyle C_{n}$	$\displaystyle=C_{n-1}+\nabla C_{n}.$
ⓘ 符号： $C_{n}$ ：连分数近似永久链接： http://dlmf.nist.gov/3.10.E17 编码： TeX公司,TeX公司,TeX公司,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,pMML（百万微升）,png公司,png公司,png公司另请参见：的注释§3.10（iii）,§3.10（iii）,§3.10和第3章

复发持续到 $(\nabla C_{n})/C_{n}$ 在规定范围内相对精度。

Steed算法的替代方案是伦茨算法伦茨(1976)和改进的Lentz算法汤普森和巴奈特(1986).

有关上述算法的更多信息，包括复数平面和加速收敛的方法，参见布兰奇(1964)和洛伦岑和瓦德兰(1992，第3章）。对于用连分式计算特殊函数库伊特等。(2008),高奇(1967, §1),吉尔等。(2007年a，第6章）、和Wimp公司(1984，第4章，§5）。请参阅也包括§§6.18（i）,7.22（i）,8.25（iv）,10.74（v）,14.32,28.34（ii）,29.20（i）,30.16（i）,33.23（v）.