集合论中的Curry-Howard对应

本文在经典逻辑[10]的框架内，为Zermelo-Fränkel集理论提出了一个类型lambda-calculus系统。证明和程序之间的Curry-Howard对应最初是通过简单类型系统发现的，该系统使用直觉命题演算，只有连接词。1970年，J.-Y.Girard[4]以系统F的名义将其扩展到二阶直觉主义逻辑，并证明了系统F的规范化性质。Reynolds[13]建立了与编程语言的关系。最近，在1990年，继Felleisen和Griffin[6]发现皮尔斯定律对应于函数编程语言中的控制指令之后，Curry-Howard通信扩展到了经典逻辑。有趣的是，早在1972年，Clint和Hoare[1]就对命令式语言中排除中间和受控跳转指令的规律做了类似的评论。现在有许多基于经典逻辑的类型系统，其中最著名的是J.-Y.Girard的系统LC[5]和M.Parigot的¨µ-演算[12]。我们使用了一个与后者密切相关的系统，称之为埃尔c演算[8,9]。这两个系统都使用经典的二阶逻辑，并具有归一化性质。为了将Curry-Howard对应关系扩展到经典的Zermelo-Fränkel集合理论，我们给出了可实现性模型，这些模型是像众所周知的强迫结构一样递归构建的。我们证明了ZF的每个公理都是实现的；通过这种方法，我们得到了一个s型词干，其中集合理论证明是形式化的，并产生了程序，这些程序与控制指令有关。在这个系统中，规范化属性在我们对数据类型进行正确计算的意义上基本上是正确的。当然，并不是每个类型的术语都可以规范化，因为例如，Y具有基本公理的类型。这些可实现性模型与强制模型有很大不同，并提出了几个有趣的问题。特别是，它们似乎不是ZFC原始模型的最终扩展。此外，它们很可能实现了对选择公理的否定。