通过切割边攻击最短路径

1.1问题陈述

我们考虑一个图\（G=（V，E）\），其中顶点集\（V\）包含\（N）个实体和\（E）包括\（M）边，可以是有向的或无向的。每条边都有一个权重\（w:E\右箭头\mathbb{右}_{\ge0}\）表示遍历的费用（例如，距离或时间）。此外，每个边缘都有一个移除成本\（c:E\右箭头\mathbb{右}_{\ge 0}\）。我们还获得了一个源节点\（V\中的“s”），目标节点\（t\ in V\）和预算\（b\gt 0\）进行边缘去除。在此背景下，我们解决了三个问题：

• 强制边缘切割：给予优势\（e\中的e^*\），查找\（E^\prime\subset E\）其中\（e^\prime}{c（e）}\le-b\中的sum_{e\）和所有最短路径\（s\）到\（t\）英寸\（G^\prime=（V，E\set减去E^\price）\）使用\（e ^*\）。

• 强制节点切割：给定一个节点\（v^*\在v\中），查找\（E^\prime\subset E\）其中\（e^\prime}{c（e）}\le-b\中的sum_{e\）和所有最短路径\（s\）至\（t\）英寸\（G^\prime=（V，E\set减去E^\price）\）使用\（v^*\）。

• 强制路径切割：给定路径\（p^*\）来自\（s\）至\（t\）英寸\（G\），查找\（E^\prime\subset E\）其中\（e^\素数}{c（e）}\le b\中的sum_{e）和\（p^*\）是唯一的最短路径\（s\）到\（t\）英寸\（G^\prime=（V，E\set减去E^\price））。

问题的每一种变化都解决了不同的对抗目标：有一个特定的边缘（例如收费公路）、一个特定节点（例如网络中的路由器）或一条完整的路径（例如一系列监视点），在这些路径中，增加的流量将使对手受益。在所有情况下，攻击向量都是删除边，而对手可以访问整个图。我们还考虑了上述每个决策问题的相应优化问题。在优化版本中，目标是\成本最小的（E^\prime\）\满足决策问题条件的（e^\prime}{c（e）}中的sum_{e\）。我们将相应决策问题的每个优化对应项分别称为最优力边切割、最优力节点切割和最优力路径切割。

1.2贡献

本文的主要贡献如下：

• 我们定义了强制边切割、强制节点切割和强制路径切割问题，并证明了它们相应的优化问题是APX-hard。

• 我们引入了PATHATTACK算法，该算法为高概率（大于\（1-（1/|E|）\））。

• 我们提供了最佳力边切割和最佳力节点切割的非凸优化公式，以及多项式时间启发式算法。

• 我们展示了在各种合成和实际网络上进行的16000多个实验的结果，证明了这些算法相对于基线方法的最佳性能。

1.3第条组织

本文的其余部分组织如下。在节中2简要总结了逆优化和对抗图分析的相关工作。在节中三，我们提供了一个草图，证明所有三个优化问题都是APX-hard问题。（详见附录一个.）章节4介绍了路径攻击该算法保证强制路径切割的最优解的对数近似。在节中5，我们展示了如何路径攻击可以用作“强制边切割”和“强制节点切割”优化版本的启发式。章节6记录不同真实网络和合成网络上的实验结果，演示路径攻击与基线方法相比，具有优势。在章节中7最后，我们总结并讨论了未决问题。

3.1校样草图

下面是定理证明的草图3.1，详细证明见附录一个首先，考虑无向图的情况，其中所有边的权重都等于它们的删除代价。我们通过减少三端切割来证明这是APX-hard[18]。在3-终端切割中，我们得到了一个图\（G=（V，E））；三个终端节点\（V中的s_1、s_2、s_3）；和预算\（第0页）。为了证明这一点，我们只考虑所有边权重相等的情况。目标是确定是否存在\（E^\素数\子集E\），带\（|E^\prime|\le b\），其中\（s1\），\（s_2\），以及\（s_3\）在中断开\（G^\prime=（V，E\set减去E^\price））；即，在边缘之后\（E^\prime\）被删除，则任何终端节点之间都不存在路径。

我们通过以下过程将3端切割减少为强制路径切割，如图所示1.创建\（M+1）新的不相交路径，每个\（N\）跳长，从\（s1\）至\（第2节）。这就引入了\（（M+1）（N-1）\）新节点和\（（M+1）N\）新边。对执行相同操作\（s2）和\（s_3\）（另一个\（（M+1）（N-1）\）节点和\（（M+1）N\）边）。创建新的\（（2N-1）\）-跃点路径\（s_1\）到\（s_3\）(\（2N-2）新节点，\（2N-2）新边）。创建新路径\（s1\）至\（s_3\）目标路径\（p^*\），带\（s=s_1）和\（t=s_3\）。调用结果图\（{G}）。求解强制路径切割\（{G}），获取一组边\（E^\prime\）将被删除。

图1。

查看图

如果\（E^\prime）是强制路径切割的解决方案，也是三端切割的解决方法。如果可以使用原始图形中的边从另一个终端节点到达任何终端节点，\（p^*\）不是最短的路径。如果路径来自\（s2\）至\例如，该路径最多为\（N-1）跳得很长。将存在来自的路径\（s1\）至\（s_3\）使用新的\（（N+1）\）-跃点路径\（s1\）至\（s_2\），后跟中的剩余路径\（s2\）至\（第3节）。此路径将小于\（2N+1）跳，所以\（p^*\）不是最短的路径。

在问题的优化版本中，目标是找到\（E^\prime），以最小的预算解决3终端切割。让\（E^\prime_{\mathrm{OPT}}）就是这个边集。由于此设置断开端子连接，它还解决了“强制路径切割”的问题\（{G}）。在完整的证明中，我们表明没有办法求解力路径切割\（{G}）具有较少的边。因此，最优力路径切割的解与三端切割的最优解相同。此外，如果我们考虑任何解决方案\（\hat{E}^\prime\）以强制路径切割\（{G}），我们证明了存在一个不大于\（{E}^\prime\）。正如我们在附录中所讨论的，这意味着缩减是线性的，因此保留了近似值。由于三端切割是APX硬切割，线性缩减意味着最佳力路径切割也是APX硬切削。

为了证明最优力路径割对于有向图也是APX困难的，我们将无向图的力路径割简化为有向图的相同问题。给定一个无向图\（G=（V，E）\）和路径\来自源节点的（p^*\）\（s\）到目标节点\（t\），创建一个新图形\（{G}=（V，{E}））在同一顶点集上，每个无向边有两条有向边\（G\）；即。，\（{E}）包含有向边\（（u，v）和\（v，u）当且仅当\（E\）包含无向边\（\lbrace u，v\rbrace）。我们再次考虑所有权重和所有成本都相等的情况。求解最佳力路径切入\（{G}），获取解决方案\（{E}^\prime\）。对于中的每个定向边\（（u，v）在{E}^prime中），删除无向边\（\lbrace u，v\rbrace）来自\（G\）。在所得到的图中，\（p^*\）将是距离\（s\）至\（t）。如附录所示A.2款，如果最佳解决方案包括\（（u，v）\），它不能还包括\（v，u）；即，如果\（（u，v）在{E}^prime中），然后\（（v，u）不代表{E}^prime）。这意味着有向图中强制路径切割的最优解大小等于无向图中强迫路径切割的最佳解大小。根据我们用于无向图的相同论点，最优力路径切割对于有向图来说是APX-hard。

3.2延伸到强制边切割和强制节点切割

用于证明最佳力路径切割为APX-hard的相同约简可以对最佳力边缘切割显示相同的约简。区别在于\（p^*\）是来自的新路径\（s1\）至\（s_3\），我们让\（e^*\）是这条新路径的边之一。这仍将迫使新路径从\（s_1\）到\（s3）是最短的，因此最优解将完全相同。与最优力路径切割一样，有向和无向情况具有相同的解，从而得出以下定理。

通过沿新路径选择节点\（s1\）至\（s_3\）扮演\（v^*\），我们可以为最优力节点切割提供相同的参数。

4.1通过集合覆盖切割路径

我们首先注意到，最优力路径切割可以重新定义为加权集覆盖的一个实例。在加权集覆盖中，存在一个离散的宇宙\元素和集合的（U）\（\mathcal{S}\）的子集\（U \），其中每个子集\（S\in\mathcal{S}\）具有关联成本\（c（S）\ge 0）。目标是找到\（mathcal{S}），其中元素的并集包含最低的总成本\（U），即查找（1）\（开始{align}\hat{mathcal{S}}=&\mathop{\text{arg-min}}\limits_{mathcal{S}^\prime\subseteq\mathcal}S}}{\sum_{S\in\mathcal}S}^\ prime}c（S）}\end{align{}\） （2）\（开始{align}\text{s.t.}&~\bigcup_{s\in\mathcal{s}^\prime}{s}=U.\end{align{}\）

当我们求解最优力路径切割时，目标是从\（s\）至\（t）不长于\（p^*\），并通过选择要删除的边来执行此操作。这是一个套餐问题。宇宙\（U）是所有竞争最短路径的集合。必须通过从图形中删除所有此类路径来“覆盖”此集合。如果这些路径中有任何一条仍然存在，\（p^*\）不是最短的路径。中的子集\（\mathcal{S}\）是边：每条边表示使用该边的路径集。切割边是选择要包含在并集中的集，即删除包含边的所有路径。图2说明了这两个问题之间的联系。

图2。

查看地物

加权集合覆盖不仅是APX-hard，而且不能在小于对数因子的范围内进行近似[46]。然而，有一些众所周知的近似算法使我们能够有效地达到这个渐近下限。强制路径切割的挑战是，竞争路径的范围可能非常大。我们将在本节的剩余部分中解决这一挑战。

4.2固定路径集的近似算法

我们考虑了加权集覆盖的两种近似算法，这两种算法都实现了最优解的对数因子近似[49]。第一种是贪婪方法，迭代选择最具成本效益的集合并将其包含在解决方案中；即，它选择未覆盖元素的数量除以成本的值最小的集合。我们同样迭代地删除切割最未切割路径的边\（P\）表示最低成本。我们将此过程称为GreedyPathCover公司，我们在算法中提供了它的伪码1。我们有一组固定的路径\（P\子集P_{P^*}\）。注意，该算法只使用成本，而不使用权重：感兴趣的路径已经确定，我们只需要确定打破它们的成本。GreedyPathCover公司执行恒定数量的工作（在简单的统一散列假设下[15])在初始化循环中的每条路径中的每条边上进行边和路径的删除。我们使用延迟初始化来避免初始化表中与没有出现在任何路径中的边关联的条目。因此，填充表和删除路径所需的时间与所有路径上的边数之和呈线性关系，我们将其定义为(3)\（在P}{|E_P|}中开始{方程式}M_P:=\sum_{P\，结束{方程式{）哪里\（E_p\）是沿路径的边集\（p）。找到最具成本效益的优势需要\（O（M_P）\）时间，并且这一部分在每条路径上最多运行一次，导致总运行时间如下。

请注意，运行时间对输出敏感：它取决于在算法过程中选择哪些路径作为约束。这就是我们在本文中提出的所有算法的情况。使用更复杂的数据结构（如Fibonacci堆）来保存每条边的路径数，可以在恒定的时间内找到最具成本效益的边，但在删除边时更新计数需要\（O（\log{M_P}）\）时间，总运行时间为\（O（M_P\log{M_P}）\）。最坏情况下的近似因子是宇宙大小的调和函数[49]即。，\（H_{|U|}=\sum_{n=1}^{|U|1}{1/n}\），这意味着GreedyPathCover公司算法的最坏情况近似因子为\（H_{|P|}\）。

对于第二近似算法，我们引入了最佳力路径切割的整数程序公式，该公式是在加权集覆盖公式的基础上建立的。目标是最小化切割边的成本。让\（\mathbf{c}\in\mathbb{右}_｛\ge 0｝^M\）是边缘去除成本的向量，其中每个条目对应于一个边缘。二进制向量\（\mathbf{x}_{\textrm{cut}}\in\lbrace 0,1\rbrace ^M\）表示要删除的边。在加权集合覆盖的整数规划公式中，每个维度对应一个集合，每个约束对应一个元素。每个元素形成一个线性约束，强制选择包含该元素的至少一个集合。让\（P_{P^*}\）是必须剪切的路径集。对于每条路径\（p\在p_{p^*}\中），让\（\mathbf{x} （p）\在\lbrace 0,1\rbrace ^M中）是\（E_p\）。我们通过整数程序求解最优力路径切割(4)\（开始{align}\hat{mathbf{x}}_{mathrm{cut}}=&\mathop{text{arg-min}}\limits_{mathbf{x}_{\textrm{cut}}}\mathbf{c}^\top\mathbf{x}_{\textrm{cut}}\end{align}\） (5)\（\begin｛align｝\text｛s.t.｝&~\mathbf）{x}_{\textrm{cut}}\在\lbrace 0，1\rbrace ^{M}\结束{align}\） (6)\（\开始{align}&~\mathbf{x} （p）^\顶部\mathbf{x}_｛\textrm｛cut｝｝\ge 1~~\ for all p\ in p_｛p^*｝\end｛align｝\） （7）\（\开始{align}&~\mathbf{x}_{\textrm{keep}}^\top\mathbf{x}_{\textrm{cut}}=0。\结束{align}\）

方程式(7)防止集合中的任何边\（E_\mathrm{keep}\）不被切割。²通过目标路径，我们设置\（E_\mathrm{keep}=E_{p^*}），但我们允许第节中概述的方法具有更大的灵活性5，以节点或边为目标。

第二种算法是使用此公式的随机算法。与贪婪方法一样，我们关注路径的子集\（P\子集P_{P^*}\）。该算法放松了整数程序（方程式(4)–(7))通过替换二进制约束\（\mathbf{x}_｛\textrm｛cut｝｝\in\lbrrace 0,1\rbrace ^M\）具有连续约束\（\mathbf{x}_[0,1]^M中的{\textrm{cut}}）。当我们找到最佳解决方案时\对于放松问题，我们对每条边执行以下随机取整过程\（e）：

（1）	处理相应条目\（\hat{mathbf{x}}_\mathrm{cut}（e）\）作为概率。
（2）	绘制\（lceil\ln{（4|P|）}\rceil\）i.i.d.Bernoulli概率随机变量\（\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{cut}（e）\）。
(3)	剪切\（e）仅当步骤中至少有一个随机变量2为1。

必须根据两个标准检查结果图。首先，必须满足所有约束；即，中的所有路径\（P\）必须切割。此外，切割边缘的成本不得超过\（ln{（4|P|）}）乘以分数最优，即松弛的线性程序。如果不满足其中一个标准，则再次运行随机取整程序。如Vazirani所示，每个标准至少满足概率\(3/4\) [50]：任何路径进入的概率\（P\）保持未切割状态最多为\（1/4），即解决方案超过\（\ln{（4|P|）}\）。结合这些概率，任何随机取整试验不令人满意的概率最多为1/2；即，成功的概率大于或等于1/2。这导致随机取整试验的预期数量最多为2个。我们为这个过程提供了伪代码，我们称之为RandPathCover公司，在算法中2.其运行时间主要取决于线性规划的求解，这导致以下命题：

4.3约束生成

算法1和2使用一组固定的路径\（P），但要求解最优力路径切割，枚举整个相关路径集可能很难。例如，考虑以下情况\（G）是一个团（即一个完整图），除边连接外，所有边的权重都为1\（\）和\（t），具有重量\（N \）。在所有来自\（s\）至\（t），最长路径是直接路径\（s，t）\）仅使用一条边；所有其他简单路径都较短，包括\（（N-2）！\）长度路径\（N-1）。设置\（p^*=（s，t）\）使得整个约束集（即，每个需要切割的路径对应一个约束）非常大。但是，如果\（P）如果只包括长度为2和3的路径，我们将仅用\（（N-2）^2+（N-2”）约束。一般来说，我们可以解决线性规划问题，即使是那些有无限多约束的问题，只要我们有一个多项式时间方法来识别候选解决方案违反的约束。在约束生成过程中，我们迭代求解了一个只考虑约束子集的松弛优化问题[4]。在解决松弛问题后，我们参考多项式时间预言来确定是否有任何约束未满足。如果是这样，则添加此约束并再次运行优化。当oracle发现没有违反任何约束时，进程终止。

在我们的案例中，提供违反约束的预言机（如果存在）是最短路径算法。在应用候选解决方案后，我们看看\（p^*\）是距离\（s\）至\（t）。如果是，则该过程终止。否则，最短路径将作为新约束添加。此过程在迭代过程中使用近似算法展开\（P\），因为发现了新的约束。我们将结果算法称为路径攻击并在算法中提供伪代码三。取决于我们是否使用GreedyPathCover公司或RandPathCover公司，我们将该算法称为路径攻击-贪婪或路径攻击-随机分别是。

的运行时间路径攻击计算如下。初始化需要\（O（M）\）时间。在约束生成循环中，路径被添加到\（P）（时间与其长度成正比），运行集合覆盖近似算法（由命题给出4.1和4.2)，边缘被移除（最多\（M_P）），并计算新的最短路径。我们可能需要计算第二条最短路径，但我们使用Eppstein算法\（k）最短路径，即使它允许循环路径：如果第二条最短路径有一个循环，那么\（p^*\）是唯一的最短路径。这是在\（O（M+N\log{N}）\）时间[22]。检查路径长度最多花费\（O（N）\）时间。约束生成循环已运行\（|P|\）次。结合所有项，我们得到以下渐近运行时间。

4.4路径攻击收敛和近似保证

虽然集合覆盖的近似因子是宇宙大小的函数（所有需要切割的路径），但在我们的情况下，这不是近似中的基本因子。近似因子路径攻击-贪婪仅基于我们明确考虑的路径。仅使用约束子集，最坏情况近似因子由该子集的大小决定。通过的最后迭代路径攻击然而，我们有一个强制路径切割的解决方案，预算在以下因素内\最小值的（H_{|P|}\），使用\（|P|\）。这产生了以下命题：

最坏情况下的近似系数路径攻击-随机按结构为对数：

还有一种变体路径攻击-随机这可以保证多项式时间收敛。虽然隐式约束的数量可能非常大，但每个约束都是标准的线性不等式约束，这意味着可行域是凸的。给定一个多项式时间预言机，该预言机返回一个被建议的解决方案违反的约束\对于松弛的LP，我们可以使用哈奇扬的椭球算法（参见[24])，它可以在多项式迭代次数中求解具有任意（或无限）个线性约束的线性程序[25]。我们使用算法中的随机取整过程2实现这样的预言。在附录中B类，我们以高概率证明了这个预言终止于多项式时间。这导致了以下定理。

虽然这表明在对数近似下求解最优力路径切割不是NP-hard，并且表明存在路径攻击这保证了在多项式时间内运行，我们在实验中没有使用椭球算法，因为其他方法在实践中收敛得更快。如第节所述6，我们使用Gurobi优化包来解决所有优化问题，该软件将单纯形法和障碍法相结合用于连续线性规划。然而，当使用一组大小非多项式的约束生成时，这些方法不能保证多项式时间收敛。

4.5用于节点删除的PATHATTACK

本文主要讨论从图中删除边的情况，但在某些应用程序中，删除节点更合适。例如，在计算机网络中，节点可能更容易离线（例如，通过拒绝服务攻击），而不是禁止特定连接。通过节点删除强制路径切割是一个更复杂的问题；对于给定的\（p^*\），无论预算限制如何，都不总是有解决方案。例如，考虑节点的三角形\（u\），\（v），和\（w\），其中所有权重相等，以及\（p^*=（u，v，w）\）：三个节点都不能删除，因为这会破坏\（p^*\），所以\由于存在连接边，（p^*\）无法成为最短路径\（u\）至\（w\）。

然而，在可能的情况下，我们仍然可以使用路径攻击。到加权集覆盖的映射类似：路径是一个元素，节点对应于来自的路径集\（s\）至\（t\）使用该节点。给出一个图表和\（p^*\），我们可以检查是否可以\（p^*\）最短路径\（s\）至\（t\）通过节点移除：如果\（p^*\）是距离\（s\）到\（t）在上的节点的诱导子图中\（p^*\），那么有一个解决方案。如果没有，就没有；检查方法表明，即使删除了所有其他节点，\（p^*\）不是最短路径。如果有可能的解决方案，我们可以运行路径攻击用于节点删除，并实现与边缘删除相同的收敛和近似保证。由于这是本文重点的辅助内容，我们将节点删除的进一步讨论降到附录4.5.

4.6有限的攻击者能力

实际上，攻击者可能无法删除某些边缘。通过将这些边的移除成本设置为无穷大，我们可以简单地将其集成到优化公式中。在线性程序公式中，可以通过省略方程式中与无穷远边相关的列来实现(4)通过(7). 与节点移除情况一样，这将需要进行检查以确保存在解决方案，这可以通过移除除属于\（p^*\）-并观察\（p^*\）成为其端点之间的最短路径。如果是这样，路径攻击可以在限制边集中使用以找到近似最优解。

6.1基线方法

我们将两种简单的贪婪方法作为评估路径攻击。每个算法都迭代计算最短路径\（p\）介于\（\）和\（t）；如果\（p\）不长于\（p^*\），它使用一些标准从\（第页）。当我们以最小成本切割边缘时，我们将该算法称为贪婪成本。我们还考虑基于当前最短路径最重要边的版本[44]，这是一条边，如果移除该边，将导致端点之间的距离最大。如果\（p\）是当前最短路径\（s\）至\（t\），边缘的分数\（e）是距离\（s\）至\（t\）如果\（e）除以\（e）。我们反复删除得分最高的边，直到\（p^*\）是最短的路径。此版本的算法称为贪婪MVE在任何一种情况下，边缘\不允许切割（p^*\）。（在之前的工作中[42]，我们还考虑使用每条边的特征值[48]但这一直表现不佳贪婪成本.）我们在算法中提供了包含两个基线的伪代码7。求解最佳力边切割（或最佳力节点切割）的基线方法是确定通过\（e ^*\）（或\（v^*\）），将此路径用作\（p^*\），并求解路径攻击.

在算法外循环的每次迭代中7，我们找到最多两条最短路径，运行时间为\（O（M+N\log{N}）\）。对于最短路径中的每条边，我们要么做恒定的功（在贪婪成本)或者找到一个新的距离\（s\）至\（t）（用于贪婪MVE)，这需要\（O（M+N\log{N}）\）。在以下情况下贪婪的MVE，对于我们标识为约束的所有路径上的每条边，都会发生一次，定义为\方程式中的（M_P）(三). 这将导致以下渐近运行时间。

6.2合成网络和真实网络

我们在实验中使用了合成网络和真实网络。对于合成网络，我们运行七个不同的图模型来生成每个模型的100个合成网络。我们选取参数以生成具有相似边数的网络(\（约160K）。我们使用16000个节点的Erdős–Rényi图，包括无向（ER）和有向（DER），边缘概率为0.00125；16000-节点巴拉巴西-阿尔伯特（BA）平均度为20的图；16000-节点瓦特-斯特罗加茨（WS）平均次数为20，重接线概率为0.02的图；\（2^{14}）-节点随机克罗内克（Kronecker）图；\（285\乘以285\）格子（LAT）; 和565节点完成（COMP）图。

我们使用七个加权和未加权网络。未加权网络是Wikispeedia（WIKI）图表[53]，俄勒冈州自主系统（AS）网络[34]，和宾夕法尼亚州公路网（PA-road）[35]。加权网络为智利中部电网[32],劳伦斯伯克利国家实验室网络数据（LBL），的美国东北部公路网（NEUS）、和DBLP合著图（DBLP）[5]。除WIKI和LBL外，所有实际网络都是无向的。网络的范围从347个节点上的444条边到1.8M多个节点上超过8.3M条边，平均度从2.5到46.5不等，三角形数从40到近27M不等。有关真实网络和合成网络的更多详细信息，包括真实数据的URL，请参阅附录D类.

对于合成网络和未加权的真实网络，我们考虑了三种不同熵水平的边权分配方案：均匀随机权重（高熵）、泊松随机权重（低熵）或相等权重（无熵）。对于泊松权重，每个边\（e）具有独立的随机权重\（w_e=1+w_e ^\prime），其中\（w_e^\prime）是从具有速率参数20的泊松分布中得出的。对于均匀权重，每个权重都是从1到41的整数的离散均匀分布中提取的。这将产生与泊松权重相同的平均权重。

6.3实验装置

对于每一个具有不同边缘加权方案的图形相关图，我们进行了100次实验。在每个实验中，我们选择\（\）和\（t）在所有节点中均匀随机，LAT、PA-ROAD和NEUS除外，其中我们选择\（s\）均匀随机选择\（t）在距离30到50跳的节点之间随机\（s \），其中距离是从范围内均匀随机选择的。⁶鉴于\（\）和\（t），我们确定最短的简单路径，并使用第100、200、400和800条最短路径作为\（p^*\）在四个实验中。对于大型网格状网络（LAT、PA-ROAD和NEUS），此过程仅使用\（s\）。我们关注的是边缘去除成本等于重量（距离）的情况。对于强制边切割和强制节点切割，我们考虑从\（s\）至\（t）直到我们看到五条边（或节点）不在初始最短路径上。我们看到的不在原始最短路径上的第五条边（或节点）用作\（e ^*\）（或\（v^*\））。

运行算法时4，我们让非凸优化(18)跑步时间不超过10分钟。如果当时没有找到可行点，我们假设模型不可行，并增加预算。我们每30秒停止一次该过程，以检查最佳候选解决方案，并查看它是否满足我们的标准。此外，如果目标与最佳现有解决方案的长度匹配，我们将停止优化。如果我们考虑超过8小时的预算，我们认为它不可行，并增加下限。如果24小时后仍在运行，则整个过程将终止，并返回最低上限。

实验在具有32个内核和192GB内存的Linux机器上运行。中的LP路径攻击-随机使用Gurobi 9.1.1实现，最短路径使用最短的简单路径在NetworkX中。⁷组合搜索方法设置为使用四个线程。

6.4路径攻击结果

我们对待贪婪成本作为我们的基准成本，并报告其他算法解决方案的成本，作为该基准的减少。在所有实验中，我们将边缘去除成本设置为等于权重。图4显示了合成图和实际未加权图的结果，这些图的边上添加了合成权重。图5显示了实数加权网络上的结果。在这些图中，第800条最短路径被用作\（p^*\）；其他结果是相似的，为了简洁起见省略了。

图4。

查看地物

图5。

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考虑到两个基线之间的差异，我们发现在大多数情况下，在成本方面表现相当相似。虽然使用最重要的基于边缘的基线通常比单独使用成本有一些改进，但它的改进效果永远不会超过10%贪婪成本。这是真的，尽管运行时间要长得多。值得注意的是，我们的贪婪MVE实现没有优化：它是在NetworkX中实现的，并使用暴力技术来查找最重要的边（即从图中删除每个候选边后查找最短路径）。然而，成本结果表明，即使是一个优化的版本，与贪婪地去除成本最低的边缘相比，也只能提供相对较小的改进。

比较通过以下方式实现的成本路径攻击对于那些通过贪婪基线获得的结果，我们观察到一些有趣的现象。例如，格子和道路网络具有类似的折衷：路径攻击以一个数量级的额外处理时间为代价，略微提高了成本。考虑到路径攻击-随机通常会得到最佳解决方案（超过86%的时间），这意味着基线通常会通过天真的算法达到接近最佳的成本。另一方面，ER、BA和KR图遵循的趋势与AS和WIKI网络更为相似，特别是在随机加权的情况下：成本被大幅削减，从而以较小的预算支持攻击，而时间增长则相似或较小。这表明，时间/成本权衡对集群度较低的网格状网络不利得多（注意附录中的集群系数D类).

在这种情况下，Cliques（COMP）特别有趣，它显示了随着权重熵的增加而发生的相变。当边缘权重相等时，团的行为类似于道路网络的极端版本：运行时数量级增加，而成本没有降低。使用泊松权重，路径攻击成本略有提高，而当使用均匀随机权重时，团的行为更像ER或BA图。在未加权的情况下，\（p^*\）是三跳路径，因此\（s\）至\（t）必须进行切割，而基线有效地做到了这一点。添加泊松权重会产生一些随机性，但大多数边的权重大约是平均值，因此它仍然类似于未加权的场景。使用统一的随机权重，我们可以得到贪婪基线性能受到影响的不同行为（例如，具有多个边的短路径）的可能性。

PA-ROAD和LAT有一个相反但更温和的现象：使用更高的能量权重变窄基准和路径攻击。这可能是因为源和目标相隔多远。由于终端节点之间有许多跳距，因此它们之间的许多最短路径可以通过一些低重量（因此成本低）的边。两个节点之间的极低权重边很可能出现在许多最短路径上，并且会在贪婪算法的早期迭代中发现并删除，而同时考虑更多的最短路径会产生类似的结果。我们还注意到，在加权图数据中，LBL和GRID的行为类似于道路网络。在我们的实际数据集中，这些数据集的聚类系数很低（参见附录D类). 由于候选路径之间可能没有太多重叠，因此节点邻域中缺少重叠可能会导致与基线的相对性能更好。对于实际数据集，我们还可以看到基线方法的近最佳性能。以LBL数据集为例。在图中为该数据集汇总的100个试验中，有60个试验5，路径攻击-随机得到最优解。在这些试验中贪婪成本基准收益率平均增加9.3%左右。这与基线中7.1%的成本增长非常相似全部的试验。这表明，在许多现实世界的网络中，贪婪方法是非常有效的。

6.5以节点为目标的结果

在本节中，我们将展示对手以节点为目标的情况下的结果\（v^*\）。这些实验的基准是路径攻击使用最短路径\（s\）到\（t\）至\（v^*\）作为\（p^*\）。我们称这种方法为路径攻击-\（v^*\）。我们给出了使用该方法的结果以及启发式搜索方法（算法6)和组合优化。

在大多数情况下，这三种方法都会产生相同成本的解决方案。为了澄清性能差异，我们将这些情况与方法之间成本不同的情况分开。对于所有方法导致相同成本的情况，我们在图中显示了未加权图的运行时间结果6与目标路径一样，格子和道路网络是相似的：它们是启发式方法在大多数情况下与组合优化结果不匹配的唯一图形，主要是由于等量情况。Watts–Strogtaz图有一个类似格子的组件，在不同的方法中也经常有不同的结果。图7举例说明了并非所有算法产生相同成本的情况。同样，格子和道路是不同的：在这里，他们看到组合优化比启发式有更大的改进，Watts–Strogatz图有时也类似。在许多情况下，启发式搜索产生的结果与路径攻击-\（v^*\）基线。经检查，许多这种情况是由使用\（v^*\）：启发式忽略了一个解决方案，因为它没有切断电流\（p^*\），这导致在算法的内部循环中没有要考虑的边6.

图6。

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图7。

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对于加权网络，所有方法产生相同成本的情况下的运行时间如图所示8在所有情况下，虽然组合方法经常超时，但这三种算法通常都能找到等成本解。使用组合方法时，电网的运行时间增长特别大。在并非所有方法产生相同成本的情况下，如图所示9与未加权图相比，启发式搜索获得与组合搜索相同的代价更多。事实上，在DBLP上，组合搜索通常会超时，而启发式搜索的性能优于它。

图8。

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图9。

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