大型稀疏对称线性方程组稀疏直接解的数值评估

审核人：凯·迪瑟姆

大型线性方程组的求解是许多数值算法的核心部分，例如微分方程的求解或优化。通常，必须求解的线性系统具有两个结构性质：对称和稀疏。出于效率的原因，利用这些特性非常重要，事实上，许多算法都是为了实现这一目标而发布的。其中一些方法具有迭代性质，结果表明，除非对所考虑的系统有良好的预条件，否则它们收敛得相当慢。然而，构造好的预处理函数绝非易事，而且在许多情况下可以观察到，仅预处理可能比直接（即非迭代）求解器的完整解在计算上更昂贵。这一发现重新引起了人们对此类直接求解者的兴趣。本文试图对这类11种著名且常用的算法进行比较。为此，在一大组示例问题上测试了算法，并详细报告了各自的性能（在运行时间、内存使用等方面）。测试问题来自广泛的应用。其中一些方案具有额外的结构属性，如正定性，并且一些正在研究的算法实际上需要这种结构，因此这些方案仅在一组受限的问题上进行测试。根据本文的发现，读者获得了一些关于他或她为具体应用选择算法的非常有用的提示。特别是，作者根据其基本构造原理解释了每种算法的性能。此外，与运行时间有关的性能不仅作为总时间给出，还作为算法各个阶段的时间（通常是矩阵结构分析、符号分解以及通过正向和反向替换获得的实际解）。对于一些需要多次运行算法的某些部分而其他部分只需调用一次的应用程序来说，这一点很重要。令人遗憾的是，在这篇极具价值的论文中，作者没有考虑并行算法。这将是求解大型线性系统的一种非常自然的方法。然而，本文中讨论的算法要么本质上是顺序的，要么不是并行的，尽管它们可能是并行的。在线计算评论服务