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超奇异积分和积分方程的紧致数值求积公式

出版:2013年1月1日出版历史
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摘要

在本文的第一部分中,我们导出了有限域积分$I[f]=\int的紧致数值求积公式^{b}_{a} (f)(x) \,dx$,其中(f)(x个)=(x个)|x个 t吨|β,β真实。取决于β,这些积分要么在正则意义上定义,要么在Hadamard有限部分的意义上定义。假设 C类 [,b条],或 C类 (,b条)但可以在x个=和/或x个=b条,并出租小时=(b条 )/n个,n个作为一个整数,我们导出了${T}^{*}{n}[f]=h\sum{1\leqj\leqn-1,\x{j}\neqt}f(x{j{)$的渐近展开式,其中x个 j个=+j小时t吨{x个 1,x个 n个1}. 这些渐近展开式基于作者最近对Euler----Maclaurin展开式的一些推广(A.Sidi,Euler--Maclauran展开式用于具有任意代数端点奇点的积分,数学计算,2012),并用于构造我们的求积公式,通过对其应用理查森外推过程,可以随意提高其精确度。我们特别关注以下情况β=2和(f)(x个)是T型-周期性的T型=b条 和$f\在C^{infty}(-\infty,\ infty)\ setminus\{t+kT\}^{infty}_{k=-\inffy}$中,这出现在周期超奇异积分方程的上下文中。对于这种情况,我们提出了非常简单和紧凑的求积公式$\widehat{问}_{n} [f]=h\总和^{无}_{j=1}f(t+jh-h/2)-\pi^{2}g(t)h^{-1}$,并显示$\widehat{问}_{n} [f]-I[f]=O(h^{\mu})$作为小时0μ>0,并且它对于至多包含三角多项式的一类奇异积分是精确的n个。我们展示了$\widehat如何{问}_{n} [f]$可以用于以有效的方式求解超奇异积分方程。在本工作的第二部分中,我们导出积分$I[f]=\int的Euler---Maclaurin展开式^{b}_{a} f(x)dx$,其中(f)(x个)=(x个)(x个¿t吨)β,使用(x个)和之前一样β=?1,?3,?5,?,从中可以得到合适的求积公式。我们重新审视了β=?1,其中已知求积公式$\widetilde{问}_{n} [f]=h\总和^{无}_{j=1}f(t+jh-h/2)$满足$\widetilde{问}_{n} [f]-I[f]=O(h^{\mu})$作为小时¿0 ¿μ>0,当(f)(x个)是T型-周期性的T型=b条¿和$f\在C^{\infty}(-\infty,\infty)\setminus\{t+kT\}^{\infty}_{k=-\inffy}$中。我们证明了这个公式对于一类至多包含三角多项式的奇异积分也是精确的n个?1.我们提供了涉及周期被积函数的数值例子,证实了理论结果。

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