DREI’98图论与组合优化

“稠密图中的生成圈”

El-Zahar的一个猜想断言，如果G是上的图n=n_1+n_2+。。。至少具有最小度的nr顶点\sum_{i=1}^r\lceil{ni\超过2}\rceil则G包含$C_{n_1}+C_{n_2}+…+C_{n_r}作为跨越子图。这里C_k表示长度k的循环。我们证明了n足够大的这个猜想。

“局部n连通图上的圈”

如果图的每个顶点的邻域是n连通的，则图是局部n连通的。1979年，Oberly和Sumuer提出了以下猜想：如果G是一个不包含诱导K（l，n+2）的连通局部n连通图，则G是哈密顿量。他们的论文证明了n=1的情况，但自那时以来，在一般问题方面几乎没有取得进展。本演示将重点讨论n=2的情况，局部2-连通K（1,4）-自由图的特征。

布莱恩·阿尔帕什西蒙·弗雷泽大学

“图论的堆肥堆”

图论的一个基本主题是图分解，特别是，将完全图分解成一定长度的圈。在整个图论的发展，图分解一直保持着中心作用。这次谈话将专注于测量路径和周期分解结果。有一些非常多年来取得了不错的成绩，但仍有许多有趣的未解决问题涉及路径和循环分解。

“3-连通哈密顿图的圈空间”

设G是最小度至少为d的3-连通图，设Z（G）是G在场GF（2）上的循环空间。阿德里安·邦迪推测如果G至少有2d个顶点，那么Z（G）中的每个循环都可以写为奇数个循环的总和，每个循环至少有2d-1个边。正在删除奇偶性要求产生了以下略弱的推测：猜想1：如果G至少有2d-1个顶点，那么Z（G）有一个基由圈组成，每个圈至少有2d-1个边。当G不是哈密顿量时，洛克证明了猜想1，利用G的最长循环及其桥之间的关系。这个案子什么时候G是哈密顿量，需要一种修正的攻击，巴罗维奇就是通过这种攻击和洛克已经证明，如果G是猜想1的反例，而v是这个G的顶点集的基数，则G是哈密顿量，8<v<4d-7和对于G的每个顶点x，G-x是2-连通的或哈密顿的。

“最大化中特定子图的数量各种类型的图”

我们给出了一个精确的上限的路径数固定大小和顺序的图中的长度2，以及完全描述六类极值图。我们给予上的一个界四部图中的四团数。最后，我们给一个新的图中长度为3的路径数的界固定尺寸，它给了图中的4个循环。提出了几个假设，这些假设将加强这些结果。

“连接和路径”

设$G$是一个图，$u$和$v$是$G$的两个任意顶点。我们将调查从$u$到$v$的路径，以便删除这些路径中任何一条的顶点的结果图还有一些必需的连接。

吉尔·福德雷埃默里大学

“关于k-序图”

Ng和Schultz介绍了循环有序性的概念。对于正整数4，如果对于k个顶点的每一个有序序列，都存在一个按给定顺序遇到序列顶点的循环，则图G是k阶的。如果循环也是哈密顿循环，则G称为1t k阶哈密顿。我们给出了最小度条件、非相邻顶点的度和条件以及表示图是k阶哈密顿量的邻域并条件。例如，我们证明了对于n个顶点和任意正整数k上的图G，如果G的最小度对于k奇数至少是（rz+k-3）/2，对于k偶至少是（n+k-2）/2，则G是k阶哈密顿量。罗恩·古尔德、拉普夫·福德雷、迈克尔·雅各布森、琳达·莱斯尼亚克

拉尔夫·佛得里孟菲斯大学

“包含哈密顿性的禁忌对的极值问题”

让C表示爪K1,3，N表示网络（通过将不相交的边附加到K3获得的图K3的每个顶点），W表示受伤者（通过在K3上附加边而获得的图形顶点和到第二个顶点的不相交路径P3），Zi是由K3和路径组成的图长度为我附着在一个顶点上。对于k是一个固定的正整数，而n是一个足够大的整数，n阶k连通图G中的最小边数和最小团对于连接的Y，将确定无CY（不包含C或Y的诱导副本）P6、N.W.或Z3的子图。应该注意的是，图CY的对是精确的那些禁止对意味着任何至少10阶的2-连通图都是哈密尔顿图。这些极值给出了禁止子图的相对强度的一个度量表示图的条件是哈密顿量。

“论二因素的结构”

2因子是图的2正则生成子图，即顶点不相交圈的并跨越图的顶点集。长期以来，双因素研究一直是图论。本研究主要集中在哈密顿循环上，即单循环跨越周期。然而，过去几年在问题上取得了重大进展处理更一般的2个因素。确切结构问题（循环次数以及它们的长度），以及在这个方向上的各种部分结果。将介绍几个著名哈密顿结果的推广以及一些基本的结果这些研究中使用的技术。

“关于有色路径和循环”

“防止墙壁倒塌的树木”

如果我们用木块作为边和钉子来绘制图形在顶点处，它会是一个刚性物体吗？我们检查什么条件图表必须正确。这将取决于图的树结构。几个等效条件将是讨论和概括。

“漫长的道路：沿着两个悬而未决的问题漫步”

在这次演讲中，我们将探讨以下两个悬而未决的问题我们将讨论一些已经取得的进展致力于解决这些问题。第一个问题与Gallai和Zamfirescu关于连通图中最长路径的分布。第二个问题源于马修斯和萨姆纳的工作关于无爪图和哈密顿性。

“唯一哈密顿图”

一个图是唯一的哈密顿量，如果它有正好是一个哈密尔顿循环。我会描述一些长期以来的猜想和一些最近的结果关于唯一哈密顿图的结构

“无爪图中成分少的二因素”

在无爪图G中，已经表明如果最小度至少为4，则G包含一个2因子，即作为一个生成子图，它是圈的并集。在这次演讲中，我们将讨论这样一个2因子可以具有的循环数。特别地将表明当最小度（例如d）足够时必须有一个最多包含n/d循环的2因子，即基本上是最好的。

“平面哈密顿弦图是可循环扩展的”

图$G$中的循环$C$是可扩展的，如果e存在循环$C'$在$G$中，使得$V（C'）$包含$V（C）$和$|V（C'）|=|V（C)|+1. 图形$G$是循环可扩展，如果它包含至少一个循环和every非哈密顿量循环是可延长的。在这次演讲中，我们展示了每个计划ar哈密顿的弦图是可循环扩展的。

“组合卡技巧”

考虑两位搭档Alice和颂歌。当卡罗尔离开房间时，爱丽丝给了鲍勃一个N卡组D，让Bob选择任何一个n牌手H。Alice然后点了H面朝下放在桌子上。在这一点上，卡罗尔·雷图rns到房间里，翻出第一张n-1张牌，然后宣布最后一张牌没有翻过来。我们称之为（N，N）-技巧。解决（52.5）-技巧是一个令人愉快的难题。（8，3）诀窍是更具挑战性。我们表明，对于任意n（n！+n-1）-技巧可以由Alice和Carol在n中的时间和空间多项式中执行。更正式地说，我们证明了N=N+n-1，存在双射e:C（D，n）->P（D，n-1）与逆D:P（D、n-1）->C（D、n-1）这样（1）对于C（D，n）中的所有手H，e（H）的范围为包含在H和（2）e（H）和d（H）中可以在时间和空间上计算n中的多项式，其中C（D，n）表示D的n个子集的集合，P（D，n-1）表示D的n-1置换的集合，并且置换（a_1，…，a_n）的范围是{a_1…，a_n}。

“代数定义图的一些族的应用”

一些代数定义的图族可以用来提供最佳的极值图论中一些问题的已知上下界。在这次演讲中，我将讨论最后获得的六个此类应用程序几年了。所有这些主要基于讨论的结构在A.J.Woldar之前的演讲中。

哈密顿圈、韧性和弦图

具有哈密顿圈的图中k个顶点的删除无法将图形断开连接到k个以上的连接组件。在图的“韧性”项可能会产生充分条件哈密顿循环的存在性。此类型的一些结果将讨论特定图形族（除其他外，弦图）。一般的问题，即Chvatal的猜想，仍处于打开状态。

“图的长循环和循环空间”

摘要：阿德里安·邦迪（Adrian Bondy）观察到，任何已知且合理的条件都会迫使图要有一个长循环，就应该迫使图有很多长循环。我工作过主要是在我称之为Dirac-type的条件下。有很多方法可以量化这个概念许多长周期。我早先的一篇论文表明，该图必须通过任何循环两个指定的顶点。另一个显示，通过查找循环集合，存在一个长循环以及集合中循环平均长度的下限。另一种展示方式有大量的长循环是为了说明它们生成了循环空间。对于我们的目的，循环空间是偶数（欧拉）子图的向量空间，具有对称性与0或1的加法运算和标量乘法相比，差异相当明显。它也是很明显，循环产生了循环空间。猜想（邦迪）。设G是3-连通的具有至少d个最小度和至少2d个顶点的图。那么G的每个循环就是奇数个周期的总和，每个周期的长度至少为2d-1。我设法用（1985年）证明了这一点G是非哈密顿量的附加假设，并放宽了奇数的要求使用的循环数。“奇怪”的情况将在与滕女士的联合文件中得到纠正聪，我的硕士生，以及哈特曼定理的类似扩展。这个在与我的博士生马克的联合论文中，“非哈密尔顿”条件将被削弱巴罗维奇。

“无星图中的顶点不相交圈”

让$p$表示图中的顶点数，让$q$表示边的数量。图中的两个圈是{\it不相交}，如果它们没有共同的顶点。Pos’a证明了任何图$q\ge 3p-5$包含两个不相交的循环。马修斯和萨姆纳显示了如果一个图是无爪的，那么只有$p+6$边需要确保图有两个不相交的圈。在这个我们对这些结果进行了推广。特别是，在$K_{1，r}$-free图（$r\ge4$）中，只有需要$p+2r-1$条边才能有两条不相交循环。此外，一个无爪图$q\ge p+（3k-1）（3k-4）/2+1$将包含$k$不相交循环。（这是与G.Chen、R.H.Schelp和H.S.Snevily的联合工作）

最小度大于的简单哈密顿图或等于4有第二个哈密顿电路“

待定

“芒果和蓝莓”

鄂尔多斯和哈伊纳尔推测，每千美元一个$f（k）$，使得如果$G$的每个子图$H$都包含一个稳定集大小为${|V（H）|\超过2}-k$，则最多存在一组$X$$f（k）$顶点，使$G-X$是二部的。我们简述了这一点可以用排除的次结构定理证明猜想由于罗伯逊和西摩。我们还获得了$g（k）$这样，如果$F$没有$k$奇数循环的半整数包装，那么它有一个大小不超过$g（k）$的奇数周期封面。

待定

“多面体图的轻子图”

Fabrici和Jendrol’证明了每个具有k个顶点的路径的3连通平面图都包含一条具有k个点的路径，使得每个顶点的度最多为5k。此外，他们还证明了每个至少有k个顶点的3连通平面图在k个顶点上包含一个连通子图，因此每个顶点的度对于每个k至少3个。两个边界都很锋利。与St.Jendrol’I共同推广这些结果适用于紧2-流形上的多面体映射以及嵌入紧二维流形中的3-连通图和3-连通多图。在演讲中，我将报告我们在二维流形上多面体映射的结果。

“警察、抢劫犯和可拆卸图形”

固定一个（有限的，连通的）图G并考虑下面的游戏由“警察”和“强盗”扮演。首先，警察选择G的一个顶点作为她的起始位置（警察局），然后劫匪选择了一个顶点作为他自己的起始位置（犯罪现场）。然后是追逐开始：cop沿着边移动到相邻顶点，然后抢劫犯的动作类似，等等。如果警察“抓住”了强盗，即可以设法在同一时间占据同一顶点；如果劫匪能永远避免被捕，他就赢了。每个玩家都能看到正在发生的事情，所以游戏完全结束了确定性和一方或另一方必须有一个获胜的策略。警察在哪些图表上获胜？事实证明，这些“可拆”的图形，首先表现为理查德·诺瓦科夫斯基（Richard Nowakowski）1984年的一篇论文刚刚重新出现在工作中Graham Brightwell受统计力学问题的激励。我们将介绍可分解图的一些奇怪特性。

“代数定义的一般性质图形”

在过去几年中，一些代数结构图的出现在文献中。其中许多建筑由极值图理论的问题驱动，以及图表获得的主要兴趣在于一个特别的极值问题。在以下引用的结构中很快就会变成显然，得到的图有许多有趣的地方属性{它超越}那些激励他们建设的人。此外，这些图的结构中保持不变的性质其中是更为普遍。在我们的谈话中，我们定义了这些广义图（二部分和普通版本）并讨论其属性，包括{平行光，嵌入光谱，}和$K_n$——和$K_｛nn｝$——可分解性如下所示：，拉泽布尼克教授将讨论我们的一个特殊案例建筑物这导致图形具有许多额外的有趣的属性。
参考文献：F.~Lazebnik、V.A.~Ustimenko和A.J.~Woldar，一个新的稠密系列高周长图形，{\it Bull.AMS}{\bf32}(1)(1995),73--79.

“关于二部图的k阶Hamilton性”

对于正整数k，如果对于k个顶点的每个有序序列，都有一个循环以给定的顺序遇到序列的顶点，则图G是k有序的。如果循环是哈密顿的，那么G被称为k阶哈密顿。我们给出了非相邻顶点的度和条件，这意味着二部图是k阶哈密顿量。

“图形中的漫游”

图中的k-walk是访问每个顶点的闭合walk至少一次最多k次。因此，一次步行只是一个哈密尔顿循环。我们将讨论k-游动存在的条件。