细节

快照1：样本取自标准均匀分布；蓝线是均匀分布的概率分布函数（PDF）。每个红色曲线都是一个样本范围的PDF：当只有两个观测值时，暗红色曲线是样本范围的PDF。当有3到10个观察值时，浅红色曲线是样本范围的PDF。绿色垂直线是按照深红色PDF的预期绘制的。当均匀分布有两个观测值时，样本范围呈现接近零的小值，概率高于接近一的大值；期望是。对于三个观测值的样本，范围具有较高概率的中间值；期望是。对于四个观测值的样本，范围的期望值为。平均而言，观察次数越多，样本范围的值就越大。例如，对于10个观察值的样本，样本范围很有可能从间隔中获取值，例如，; 期望是.

快照2：样本取自平均值为1的指数分布。两次观测的样本范围分布与原始指数分布相同（蓝线位于暗红色曲线后面）。对于10个观测值的样本，样本范围很有可能采用的值来自于，例如，; 预期为2.83。

快照3：样本来自标准正态分布。两次观测的样本范围分布具有很高的概率值，例如，; 预期为1.13。对于10个观测值的样本，样本范围很有可能采用的值来自于，例如，; 预期为3.08。

演示中考虑的分布如下（如下数学软件输入）：

均匀分布[{0,1}] 贝塔分布[2,1] 指数分布[1] 伽马分布[2,1] 正态分布[0,1] 物流配送[0,1] 极值分布[0,1]

假设样本变量的累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）是和分别为。样本范围的CDF对于大小的样本是[1，第31页]

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该公式用于推导演示中的CDF（变量代码中）。PDF（变量（代码中）是通过区分CDF得出的。然而，对于正态分布无法计算，因此我们使用插值函数近似样本范围的CDF(函数插值). 然后通过微分插值函数计算PDF；演示代码包含InputForm中生成的插值函数。

期望值是以通常的方式精确计算的（精确值可以从代码中找到；在演示中，我们只显示十进制值）。然而，对于正态分布的期望值，我们只使用插值函数和N集成.

参考

[1] B.C.Arnold、N.Balakrishnan和H.N.Nagaraja，订单统计第一课程，费城：SIAM，2008年。