模型定义

根据这篇文章阿尔伯特&悉达多(1993)，一个可能的模型假设存在与我们使用以下命题观测到的二进制变量：

• 提议

\[\开始{对齐}&z_{ij}=\alpha_i X_i'\beta_j+W_i'\λ_j+\ε{ij}\\&\文本{with}\epsilon_{ij}\sim\mathcal{N}（0,1）\\forallij\text{和例如：}\\&y{ij}=\开始｛个案例｝1&\text｛if｝z_｛ij｝>0\\0&\text{否则。}\结束｛个案例｝\结束{对齐}\向右箭头\开始{cases}y{ij}|z{ij{sim\mathcal{B} 厄努利（\theta_{ij}）\text{with}\\\theta_{ij}=\Phi（\alpha_i+X_i'\beta_j+W_i'\slambda_j）\\\text{其中}\Phi\text{对应于重新分区函数}\\\文本{简化中心正态分布。}\结束{cases}\]

• 证明

\[\开始{对齐}\mathbb{P}（y_{ij}=1）&=\mathbb{P}（z_{ij}>0）\\&=\mathbb{P}（\alpha_i+X_i'\beta_j+W_i'\ lambda_j+\ε{ij}>0）\\&=\mathbb{P}（\epsilon_{ij}>-（\alpha_i+X_i'\beta_j+W_i'\lambda_j）\）\\&=\mathbb{P}（\epsilon_{ij}\leq\alpha_i+X_i'\beta_j+W_i'\lambda_j）\\&=\Phi（\alpha_i+X_i'\beta_j+W_i'\ lambda_j）\\\结束{对齐}\]

以同样的方式：

\[\开始{对齐}\mathbb{P}（y_{ij}=0）&=\mathbb{P}（z_{ij}\leq 0）\\&=\mathbb{P}（\epsilon_{ij}\leq-（\alpha_i+X_i'\beta_j+W_i'\lambda_j）\）\\&=\mathbb{P}（\epsilon_{ij}>\alpha_i+X_i'\beta_j+W_i'\lambda_j）\\&=1-\Phi（\alpha_i+X_i'\beta_j+W_i'\ lambda_j）\\\结束{对齐}\]

具有以下参数和优先级：

• 潜在变量：\（W_i=（W_{i1}，\ldots，W_{iq}）\）哪里\（q\）是潜在变量的数量考虑，这必须由用户修复（默认情况下q=2）。我们假设\（W_i\sim\数学｛N｝（0，I_q）\）并且我们定义相关联的系数：\（\lambda_j=（\lampda_{j1}，\ldot，\lambda_｛jq｝）'\）。我们使用事先分配\（\mathcal{N}（\mu_{\lambda}，V_{\λ}）\）对于每个与约束无关的lambda\(0\)关于上对角线和严格到对角线上的正值。

• 解释变量：

  • 每个地点的生物气候数据。\（X=（X_i）_{i=1，\ldots，nsite}）具有\（X_i=（X_{i0}，X_{1}，\ldots，X_}ip}）\in\mathbb{R}^{p+1}\）哪里\（p\）是考虑的生物气候变量的数量\（对于所有i，x{i0}=1）.
  • 每个物种的特征数据。\（T=（T_j）{j=1，\ldots，nspecies}）具有\（T_j=（T_{j0}，T_{j1}，\tots，T_{jq}，\T ots，T_{jnt}）\mathbb{R}^{nt+1}\）哪里\（nt\）是考虑的物种特定性状的数量，以及\（t{j0}=1，对于所有j）.

• 每个物种对应的回归系数\（j）注意：\（\beta_j=（\beta _{j0}，\beta _{j1}，\ ldots，\beta_{jp}）'\）哪里\（\beta{j0}\）代表物种截距\（j）哪个是假设是一个固定的效果。

  • 在缺乏物种特征数据的情况下，物种的影响\（j）:\（\beta_j\）; 遵循相同的一先验的高斯分布，如下所示\（β_j\sim\数学的{无}_｛p+1｝（\mu_｛\beta｝，V_｛\beta｝）\），每个物种。
  • 如果提供了物种特征数据，物种的影响\（j）:\（\beta_j\）; 跟随先验的高斯分布，如下所示\（\beta_j\sim\马查尔{无}_{p+1}（\mu{\beta_j}，V{\beta}），其中\（\mu_{\beta_{jk}}=\sum_{r=0}^{nt}t{jr}。\gamma{rk}\）对于\（k=0，\ldots，p\），对采用不同的值每个物种。我们假设\（\gamma_{rk}\sim\mathcal{N}（\mu_{gamma_{rk}}，V_{gamma{rk}）如前所述分配。

• \（\alpha_i\）代表场地随机效应\（i）例如\（\alpha_i\sim\数学{N}（0，V_{\alpha}）我们假设\（V_{\alpha}\sim\mathcal{IG}（\text{shape}=0.5，\文本{rate}=0.005）\）默认情况下为先前的分发。

共轭先验

吉布斯采样器原理

在贝叶斯框架中，吉布斯算法产生了参数\（\theta=（\theta_1，\tots，\theta_m））根据后部法律\（\π（\θ\ | \ x）\）只要我们在能够表达条件法则：\（\Pi（\theta_i|\θ_1，点，θ{i-1}，θ_{i+1}，点和θ_m，x）对于\（i=1，\ldot，m）.

吉布斯采样包括：

• 初始化：任意选择\（\theta^{（0）}=（\theta_1^{（0）}，\dots，\theta_m^{.

• 迭代\（t\）：通用额定值\（\theta^{（t）}\）作为跟随：

  • \（\theta_1^{（t）}\sim\Pi\left（\theta _1\|\theta_2^{（t-1）}，\点，\theta_m^{\右）\）

  • \（θ_2^{（t）}\sim\Pi\左（（theta_2\|\（theta_1^{（t）}，\θ_3^{（t-1）}，\ldots，\theta_m^{

  • \（\theta_m^{（t）}\sim\Pi\left（\theta _m\|\\theta_1^{（t）}，\ldot，\θ{m-1}^{（t）}，x\右）

该算法的连续迭代生成马尔可夫链\（{\theta^{（t）}，t>0\}\)到中的值\（\mathbb{R}^{m}\），我们展示了这条链接受一个不变度量，即后部法律。

对于足够大的迭代次数，向量\（\θ\）因此，可以将获得的结果视为联合体的实现后部法律\（\Pi（\theta\|\x）\）.

因此，吉布斯采样器的实现需要对后部每个参数有条件地转换为模型的其他参数，可以在probit的情况下，从共轭先验公式推导模型，但在logit或使用日志链接功能。

使用共轭先验函数的吉布斯采样器

中使用的算法jSDM_二项式循环（）函数到因此，probit模型的参数估计如下：

• 定义常量\（N_{Gibbs}\）,\（N_{burn}\）,\（N_{薄}\）这样的话\（N_{Gibbs}\）对应于吉布斯采样器进行的迭代，\（N_{burn}\）迭代次数需要老化或预热时间，以及\（N_{samp}=\dfrac{否_{吉布斯}-N_{burn}}{N_{thin}}\）估计的数量为每个参数保留的值。实际上，估计参数是在特定迭代中记录，以便获得\（N_{samp}\）值分布依据这个\（后验）分配每个参数。

将所有参数初始化为\(0\)例如，除了\（\Lambda\）在初始化\(1\)和\（V_{\alpha}^{（0）}=1\）.

• 吉布斯采样器：每次迭代时\（t\）对于\（t=1，\ldots，N_{Gibbs}\）我们重复每个这些步骤：

  • 生成潜在变量 \（Z^{（t）}=\左（Z_{ij}^{这样的话\[Z_{ij}^{（t）}\sim\开始{cases}\数学{N}\左（\alpha_i^{（t−1）}+X_i\beta_j^{+W_i^{（t−1）}\lambda_j^{&\text{if}y_{ij}=0\\\数学{N}\左（\alpha_i^{（t−1）}+X_i\beta_j^{+W_i^{（t−1）}\lambda_j^{&\text{if}y_{ij}=1\结束{cases}\]，则在根据这些中心法线生成第一次迭代法律。

  • 如果提供了物种特征数据，则生成影响物种特异性特征对物种反应的影响 \（\gamma^{（t）}=\left（\gama_{rk}^{例如：\[\gamma_{rk}^{（t）}\|\beta{1k}^{（t-1）}，\ldots，\beta{Jk}^}{（t1）}\sim\mathcal{N}（m^\星，V^\星）\text{，with}\] \[m^\star=（V_{gamma_{rk}}^{-1}+T_r'T_r）^{-1}（V_{\gamma_{rk}}^{-1{\mu_{\gamma_{rc}}+T_r\left（\beta_k^{（T-1）}-\sum\limits_{r'\neq-r}T_{r'}\gamma_{r'k}^{（t-1）}\右）\text{和}V^\星=\左（V_{\gamma_{rk}}^{-1}+T_r'T_r\right）^{-1{

  • 生成固定物种效应 \（\beta_j^{（t）}=（\beta{j0}^{，\ldot，\beta{jp}^{（t）}）'\）对于\（j=1，\ldot，j）例如：\[\beta_j^｛（t）｝\|\Z^｛（t）｝，W_1^｛（t-1）｝，\alpha_1^{（t-1）}，\ldot，W_I^{，，\lambda_｛j1｝^｛（t-1）｝，\ldots，\lambda_｛jq｝^｛（t-1）｝\sim\马查尔{无}_{p+1}（m^\星，V^\星）\text{，带}\] \[m^\star=（V_{\beta}^{-1}+X'X）^{-1}（V_{\beta}^{-1{\mu_{\beta_j}+X'Z^\star_j）\text{和}V^\星=\左（V_{\beta}^{-1}+X'X\右）^{-1{，\] \[\text{where}Z_j^\星号=（Z_{1j}^\星，\ldots，Z_{Ij}^\star）'\text{例如}Z^\star_{Ij}=Z_{ij}^{（t）}-W_i^{-\字母_i^{（t-1）}.\]

  • 生成与潜伏期有关的负荷因素变量 \（\lambda_j^{（t）}=，\λ{jq}^{（t）}）对于\（j=1，\ldot，j）例如：\[\lambda_{jl}^{（t）}\|\Z^{，\alpha^{（t-1）}，W^{，\λ{l-1}^{（t-1）}，λ\sim\mathcal{N}（m^\星，V^\星）\text{，带}\] \[m^\star=（V_{\lambda}^{-1}+{W_l^{（t-1）}}'W_l_^{+{W_l^{（t-1）}}'Z^\star_j）\text{和}V^\star=\左（V_{\lambda}^{-1}+{W_l^{（t-1）}}'W_l|{（t-1）}\右）^{-1{，\] \[\text{where}Z_j^\星号=（Z_{1j}^\星，\ldots，Z_{Ij}^\star）'\text{例如}Z^\star_{Ij}=Z_{ij}^{（t）}-X_i\beta_j^{l} W_{il'}\lambda_{jl'}.\]为了约束对角线值\（\Lambda=\left（\lambda_{jl}\right）_{j=1，\ldot，j}^{l=1，\ ldot，q}\）到正值并使矩阵下三角\（\lambda_j^{（t）}\）被模拟根据以下条件：\[\lambda{jl}^{（t）}\sim\开始{cases}P\text｛such｝\mathbb｛P｝（\lambda_{jl｝=0）=1&\text｛if｝l> j、\\\mathcal{N}（m^\星，V^\星）\text{左截断}0&\text{如果}l=j\\\mathcal{N}（m^\星，V^\星）&\text{if}l<j。\结束{cases}\]

  • 生成潜在变量（或未测量预测因素）\（W_i^{（t）}\）对于\（i=1，\ldots，i）根据：\[W_i^{（t）}\|\Z^{，\beta^{（t）}，\alpha_i^{{无}_{q} \左（（I_q+{\Lambda^{（t）}}'\Lambda ^{+{\Lambda^{（t）}}'\Lambda（t）{）^{-1}\右），\] \[\text{where}Z_i^{\星号}=（Z_{i1}^{\star}，\ldots，Z_{iJ}^{star}）\text{例如}Z_{iJ}^{\star}=Z_{ij}^{（t）}-\alpha_i^{

  • 生成随机场地效应 \（\字母_i^{（t）}\）对于\（i=1，\ldots，i）赛隆：\[\alpha_i|\Z^{（t）}，\lambda^{，\β{（t）}，W_i^{（t）}\sim\mathcal{N}\left（\dfrac{\sum_{j=1}^jZ_{ij}^{（t）}-X_i\beta_j^{-W_i^{（t）}\lambda_j^{(\裂缝{1}{V{\alpha}^{（t-1）}}+J\右）^{-1}\右）\]

  • 生成随机场地效应方差 \（V_\alpha^{（t）}\）根据：\[V_\alpha^{（t）}\|\\alpha_1^{（t）}，\ldot，\alpha_I^{(\text｛shape｝=0.5+\frac｛I｝｛2｝，\text｛rate｝=0.005+\分数｛1｝｛2｝\sum\limits_｛i=1｝^i\左（\alpha_i^{（t）}\right）^2\right）\]

模型定义

与probit模型相同，logit模型可以是通过潜在变量定义：\（Z_{ij}=\alpha_i+X_i\beta_j+W_i\lambda_j+\ε{ij}\）对于\（i=1，\ldots，i）et（等）\（j=1，\ldot，j），使用\（\epsilon_{ij}\sim\mathrm{logistique}（0,1）\） iid公司例如：\[y{ij}=\开始{cases}1&\text{if}Z_{ij}>0\\0&\text{else}\结束{cases}\]然而，在这种情况下先验的潜在变量和参数的分布不是共轭的，我们不能使用共轭的性质因此，使用潜在变量建模是不相关的。
在这种情况下，假设\[y_{ij}\|\θ{ij}\sim\mathcal{B} 诺米亚的（n_i，θ{ij}），使用\（\mathrm{probit（\theta{ij}）}=\alpha_i+X_i\beta_j+W_i\lambda_j）和\（n_i\）现场访问次数\（i）.
因此，该模型的参数将通过估计进行采样他们的条件后部使用自适应分布大都市算法。

使用的优先级

安先验的为的每个参数确定分布模型：
\[\开始{数组}{lll}V_{\alpha}&\sim&\mathcal{IG}（\text{shape}=0.5，\text{rate}=0.005）\text{with}\mathrm{rate{=\frac{1}{\mathrm{scale}}，\\\beta{jk}&\sim&\begin{cases}\mathcal{N}（\mu_{\beta_{jk}}，V_{\beta_{k}}）\text{表示}j=1，\ldots，j\如果物种特征数据为提供}\\\文本{where}\mu{\beta{jk}}=\sum{r=0}^{nt}t{jr}。\伽玛{rk}\文本{和}\gamma{rk}\sim\数学{N}（\mu_{\gamma_{rk}}，V_{\gamma_{ker}}）&\\\文本{表示}r=0、\ldots、nt\text{和}k=0、\ ldots，p.&\\\mathcal{N}（\mu_{\beta_{k}}，V_{\beta_{k}}）\text{表示}j=1，\ldots，j\text{和}k=0，\ldot，p，&\text{如果物种特征数据不是提供}\\\结束{cases}\\\lambda{jl}&\sim&\begin{cases}\数学{N}（\mu_{\lambda_{l}}，V_{\lambda_}}）&\text{if}l<j\\\mathcal{N}（\mu_{\lambda_{l}}，V_{\lambda_}}）\text{左截断}0&\text{if}l=j\\P\text{例如}\mathbb{P}（\lambda_{jl}=0）=1&\text{if}l> j个\结束{cases}\\\quad&\quad&\text{for}j=1，\ldots，j\text{and}l=1，\ldot，q。\结束{数组}\]

自适应Metropolis算法原理

该算法属于MCMC方法，允许获得参数的实现\（\theta=（\theta_1，\tots，，\theta_m））根据他们的条件后部分配\（\Pi（\theta_i|\θ_1，点，θ{i-1}，θ_{i+1}，点和θ_m，x）,对于\（i=1，\ldots，m\）已知乘法常数。
它被称为自适应，因为条件的方差使用的仪器密度根据最后一次迭代中的接受。

• 初始化:\（\theta^{（0）}=（\theta_1^{（0）}，\tots，\theta_m^{任意设置验收编号\（（（n^A{i}）{i=1，\ldots，m}）已初始化在\(0\)和差异\（（sigma^2_i）{i=1，\ldots，m}）是在初始化\(1\).

• 迭代次数t：用于\（i=1，\ldot，m）

  • 生成\（\theta_i^\star\simq（θ_i^{（t-1）}，.），带条件仪器密度\（q（θ_i^{（t-1）}，θ_i ^星号）对称，我们将选择一个定律\（\mathcal{N}（\theta_i^{（t-1）}，{\sigma^2_{i}}）例如。

  • 计算接受概率：\[\gamma=最小\左（1，\dfrac{\Pi\左（\theta_i^\star\ | \\θ_1^{（t-1）}，点，θ{i-1}^{，x\右）}{\Pi\左（\theta_i^{（t-1）}\|\\θ_1^{（t-1）}，\点，\θ{i-1}^{（t-1）}，\theta_{i+1}^{（t-1.

  • \[\theta_i^{（t）}=\开始{cases}\theta_i^\星&\text{概率}\gamma\\&\文本{如果我们是在这种情况下，接受号变为：}n^A_{i}\左箭头n^A{i}+1\\\theta_i^{（t-1）}&\text{概率}为1-\gamma\\\结束｛case｝\]

• 老化期间，每\（\mathrm{DIV}\）迭代，使用\[\mathrm{DIV}=\begin{cases}100&\text{if}N_{Gibbs}\geq 1000\\\dfrac{N_{Gibbs}}{10}&\text{else}\\\结束{cases}\]，其中\（N_{Gibbs}\）是的总数执行的迭代。
  差异根据验收编号的函数进行修改，如下所示如下所示\（i=1，\ldot，m）:

  • 验收率计算如下：\（r^A_{i}=\dfrac{n^A_i}{\mathrm{DIV}}\）.

  • 差异根据接受率和固定常数\（R_{opt}\）:\[\sigma_i\leftarrow\begin{cases}\sigma_i\左（2-\dfrac{1-r^A_i}{1-r{opt}}\右）&\text{if}r^A_{i}\geqR_{opt}\\\\\dfrac{\sigma_i}{2-\dfrac{1-r^A_i}}{1-r_{opt}}&\text{else}\结束{cases}\]

  • 我们重置了验收编号：\（n^A_i\左箭头0\）.

• 每\（\dfrac{N_{Gibbs}}{10}\）迭代，计算并显示平均接受率\（百万美元）=\dfrac{1}{m}\sum\limits_{i=1，\ldots，m}r^A_i\）.

使用自适应Metropolis算法的Gibbs采样器

使用自适应Metropolis算法对模型进行采样根据其条件的参数后部估计在一个乘法常数内的分布。

首先，我们定义\（f）功能其将模型的可能性计算为估计参数：
\[f:\lambda_j，\beta_j，\alpha_i，W_i，X_i，y_{ij}，n_i\右箭头f（\lambda_j，\beta_j，\ alpha_i，W_i，X_i，y_{ij}，n_i）=\mathrm{L}（\theta_{ij}）\]-计算\（\mathrm{logit}（\theta_{ij}）=\alpha_i+X_i\beta_j+W_i\lambda_j\）.

• 计算\（\theta{ij}=\dfrac{1}{1+\exp\left（-\mathrm{logit}（\theta{ij}）\right）}\）.

• 返回\（\mathrm{L}（\theta_{ij}）=p（y{ij}，ni）=\dbinom{ni}{y{ij}}（theta{ij{）.

我们重复这些步骤\（i=1，\ldots，i）et（等）\（j=1，\ldot，j），然后我们定义\（θ=\左（θ{ij}\右）{i=1，\ldots一} ^{j=1，\ldots，j}）.
这使我们能够计算模型的可能性：\（\mathrm{L}（\theta）=\prod\limits_{\substack{1\leqi\leqI\\1\leqj\leqI}}\mathrm{L}（theta_{ij}）.

根据贝叶斯公式，我们有\[\mathrm{p}（\theta\|\Y）\propto\Pi（\ttheta）\矩阵{L}（θ）因此，我们使用以下关系来接近条件后部每个参数\（\Pi（.）\）这个与其对应的密度先验的法律。\[\开始{对齐}&p（\beta{jk}\\beta{j0}、\beta{j1}、\ ldots、\beta{jk-1}，\ beta{jk+1}、\t、\ beta，\lambda_j，\alpha_1，\ldot，\alfa_I，W_1，\ ldot，W_I，Y）\propto\Pi（\beta_{jk}）\prod\limits_{1\leqi\leqI}\mathrm{L}（\theta_{ij}）\\&p（\lambda_｛jl｝\|\\lambda_｛j1｝，\ldots，\lambda_｛jl-1｝，\lambda_｛jl+1｝，\ldots，\lambda_｛jq｝，\beta_j、\alpha_1、\ldots、\alfa_I、W_1、\ ldots，W_I、Y）\propto\Pi（\lambda_{jl}）\prod\limits_{1\leqi\leq一} \mathrm{L}（\theta_{ij}）\\&p（W_{il}\|\W_{i1}，\ldot，W_{il-1}，\λ_J，Y）\propto\Pi（W_{il}）\prod\limits_{1\leq J\leqJ} \mathrm{L}（\theta_{ij}）\\&p（\alpha_i\|\W_i，\beta_1，\ldots，\beta _J，\lambda_1，\ ldots，\lambda_j，V_{\alpha}，Y）\propto\Pi（\alpha_i\|\V_{\ alpha}）\prod\limits_{1\leq-j\leq-j}\mathrm{L}（\theta_{ij}）\\&\text{，对于$i=1、\ldot、i$、$j=1、\ ldot、j$、$k=1、\t、p$和$l=1，\ldots，q$。}\结束{对齐}\]

算法在中实现jSDM_二项式逻辑（）在的基础罗森塔尔(2009)和罗伯茨和罗森塔尔(2001)文章，以估计logit模型的参数如下：

• 常数的定义\（N_{Gibbs}\）,\（N_{burn}\）,\（N_{薄}\）和\（R_{opt}\）这样的话\（N_{Gibbs}\）对应于算法执行的迭代，\（N_{burn}\）迭代次数老化或预热时间所需，
  \（N_{samp}=\dfrac{否_{吉布斯}-N_{burn}}{N_{thin}}\）对应于为每个参数保留的估计值的数量。事实上，我们记录了为了获得\（N_{samp}\）价值观，让我们能够代表一\（后验）分配每个参数。
  我们设置了\（R_{opt}\）最优的实现的自适应Metropolis算法中使用的接受率模型的每个参数。

• 将所有参数初始化为\(0\)例如，除了对角线值属于\（\Lambda\）在初始化\(1\)和\（V_{\alpha}^{（0）}=1\）.验收编号每个参数的\(0\)以及它们的条件方差仪器密度取值\(1\).

• 吉布斯采样器每次迭代时\（t\）对于\（t=1，\ldots，N_{Gibbs}\）我们重复每个这些步骤：

  • 生成随机场地效应 \（\字母_i^{（t）}\）对于\（i=1，\ldots，i）根据自适应模拟的Metropolis算法\（\alpha_i^\star\sim\数学{N}（\alpha_i^{（t-1）}，\sigma_{\alpha_i}^2）\）然后如下计算接受率：
    \[\gamma=最小\left（1\\dfrac{\Pi\left（\alpha_i^\star\|\V_｛\alpha｝^｛（t-1）｝\right）\prod\limits_{1\leqj\leqJ} \左（\alpha_i^\星，W_i^{（t-1）}，\beta_J^{，X_i，y_{ij}，n_i\right）}{\Pi\left（\alpha_i^{（t-1）}\|\V_{\alpha}^{（t-1）}\right）\prod\limits_{1\leq-j\leqJ} f\左（\alpha_i^{（t-1）}，W_i^}，\lambda_j^{（t-1）}，X_i，y_{ij}，n_i\右）}\右）

  • 生成随机场地效应方差 \（V_\alpha^{（t）}\）根据：\[V_\alpha^{（t）}\|\\alpha_1^{（t）}，\ldot，\alpha_I^{(\text{shape}=0.5+\frac{I}{2}，\text{rate}=0.005+\裂缝{1}{2}\sum\limits_{i=1}^i\左（\alpha_i^{（t）}\right）^2\right）\]

  • 生成潜在变量（或未测量预测因素）\（W_{il}^{（t）}\）对于\（i=1，\ldots，i）和\（l=1，\ldot，q）根据自适应模拟的Metropolis算法\（W_{il}^\星\sim\mathcal{N}（W_}il}^{（t-1）}，\西格玛{W{il}}^2）然后计算验收率为跟随：

\[\gamma=min\left（1\\dfrac{\Pi\left（W_{il}^\star\right）\prod\limits_{1\leq j\leqJ} f\左（W_{il}^\星，\alpha_i^{（t）}，\beta_J^{，\λ_j^{（t-1）}，X_i，y_{ij}，n_i\右）}{\Pi\左（W_{il}^{（t-1）}\右）\prod\limits_{1\leqj\leqJ} f\左（W_{il}^{（t-1）}，\alpha_i^{，\lambda_j^{（t-1）}，X_i，y_{ij}，n_i\右）}\右）*如果物种提供特性数据，生成的影响物种反应的物种特异性特征 \（\gamma^｛（t）｝=\left（\gamma_｛rk｝^｛（t）｝\right）^｛r＝0，\ldots，nt｝_｛k＝0，\ldots，p｝\）例如：\[\gamma_｛rk｝^｛（t）｝\|\beta{1k}^{（t-1）}，\ldots，\beta{Jk}^}{（t1）}\sim\mathcal{N}（m^\星，V^\星）\text{，with}\] \[m^\star=（V_{gamma_{rk}}^{-1}+T_r'T_r）^{-1}（V_{\gamma_{rk}}^{-1{\mu_{\gamma_{rc}}+T_r\left（\beta_k^{（T-1）}-\sum\limits_{r'\neq-r}T_{r'}\gamma_{r'k}^{（t-1）}\右）\text{和}V^\星=\左（V_{\gamma_{rk}}^{-1}+T_r'T_r\right）^{-1{

• 生成固定物种效应 \（\贝塔{jk}^{（t）}\）对于\（j=1，\ldot，j）和\（k=0，\ldots，p\）使用自适应大都市模拟的算法\（\beta_{jk}^\星\sim\mathcal{N}（\beta_{jk}^{（t-1）}，\sigma_{\beta_2k}}^2）和然后计算验收率如下：

\[\伽马射线=min\左（1，\dfrac{\Pi\左（\beta_{jk}^\star\right）\prod\limits_{1\leqi\leq公司一} f \左（\beta{j0}^{（t）}，\小{\ldots}，\beta_{jk-1}^{（t）{，\beta_{jk}^\星，\beta _{jk+1}^}（t-1）}，\β{jp}^{（t-1）}，\lambda_j^{，\alpha_1^{（t）}，W_1^{（t）{，\小{\ldots}，\ alpha_I^{{\Pi\左（\beta_{jk}^{（t-1）}\右）\prod\limits_{1\leqi\leq一} f \左（\beta{j0}^{（t）}，\小{\ldots}，\beta_{jk-1}^{（t）{，\beta_{jk}^{[t-1）}，\β{jp}^{（t-1）}，λ，\小{\ldots}，\alpha_I^{（t）}，W_I^{（t）{，X_I，y_{ij}，n_I\右）}\右）

• 生成与潜势有关的载荷系数变量 \（\lambda_{jl}^{（t）}\）对于\（j=1，\ldot，j）和\（l=1，\ldot，q）根据自适应的Metropolis算法\（l \leq j）,模拟\（\lambda_{jl}^\star\sim\数学｛N｝（\lambda_｛jl｝^｛（t-1）｝，\sigma\｛\lambda_｛jl｝^ 2）\）和则如下计算接受率：\[\伽马射线=min\left（1，\dfrac｛\Pi\left（\lambda_{jl}^\star\right）\prod\limits_{1\leqi\leq公司一} f \左（\lambda_{j1}^{（t）}，\小{\ldots}，\lambda _{jl-1}^}（t，\λ{jq}^{（t-1）}，\alpha_1^{（t）}，W_1^{（t）{，\小{\ldots}，\ alpha_I^{{\Pi\左（\lambda_{jl}^{（t-1）}\右）\prod\limits_{1\leqi\leq一} f \左（\lambda_{j1}^{（t）}，\小{\ldots}，\lambda _{jl-1}^}（t，\λ{jq}^{（t-1）}，\alpha_1^{（t）}，W_1^{（t）{，\小{\ldots}，\ alpha_I^{在以下情况下\（l>j），我们把\（\lambda{jl}^{（t）}=0\）.

模型定义

根据这篇文章回族(2016)，我们可以使用泊松多元丰度数据分析的分布使用贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗进行估计方法。

在这种情况下，假设\[y{ij}\模拟\mathcal{P} 伊森（θ{ij}），使用\（\mathrm{log}（\theta_{ij}）=\alpha_i+X_i\beta_j+W_i\lambda_j\）.

因此，我们考虑了带有响应变量的丰富数据：\（Y=（Y_{ij}）^{i=1，\ldot，nsite}_{j=1，\ ldots，nsp}\）例如：

\[y_｛ij｝=\开始｛案例｝0&\text{如果现场没有观察到物种$j$$i$}\\n&\text{如果$j$物种的$n$个体在现场$i$}观察到。\结束{cases}\]

使用自适应Metropolis算法的吉布斯采样器

在这种情况下，我们不能使用共轭先验的性质，因此，该模型的参数将通过估计进行采样他们有条件的后部使用自适应分布Gibbs采样器中的Metropolis算法，与logit模型。

我们通过替换logit链接使用与之前相同的算法对数链接函数和二项式分布用泊松定律计算函数中模型的似然jSDM_poisson_log（）.