| 方法 |
证书的效力 |
存在的证书 |
验证证书的时间 |
找到证书的时间 |
| 用因式分解证明复合性：如果b除以n且1<b<n，则n是复合的 |
证明复合性 |
每个复合n |
（lgn）^{1+o（1）} |
非常慢；但（lgn）^{O（1）}表示大多数n |
| 用费马证明复合性：如果n不是b-prp，即不除以b^n-b，则n是复合的 |
证明复合性 |
几乎每个复合物n；然而，有无限多的复合材料n都是b-prp(1994年阿尔福德-格兰维尔-波梅兰斯) |
（lgn）^{2+o（1）} |
随机（lgn）^{2+o（1）} |
| 如果n不是b-sprp，即，不划分b^n-b的任何最明显因子，那么n是复合的（1966年Artjuhov） |
证明复合性 |
每个复合n |
（lgn）^{2+o（1）} |
随机（lgn）^{2+o（1）}（1976年拉宾，独立1980年莫尼尔，独立1982年阿特金·拉尔森；下变异体：1976年Lehmer，1977年Solovay Strassen；其他变体：1998年格兰瑟姆,2001年格兰瑟姆,2001年米勒，2003年Damgard Frandsen) |
| 推测测试素性：如果n是1到（ceil（lgn））^2之间的每个质数b的b-sprp，那么n似乎是素数（基本思路：1975年米勒) |
推测性地证明原始性；GRH（1984年巴赫；1979年欧斯特宣布35（cell（lgn））^2；O（ceil（lgn））^2，不带显式O常量：1952年安肯尼，1964年王，1971年蒙哥马利，1978年维鲁） |
每个素数n |
（lgn）^{4+o（1）} |
瞬间 |
| 如果n是前2个cell（lgn）素数b的b-sprp，那么n似乎是素数（民俗学；提供基本功率的简单变量：1995年Lukes Patterson Williams) |
推测证明了素性 |
每个素数n |
（lg n）^｛3+o（1）｝ |
瞬间 |
| 如果n是2-sprp并通过了类似的二次检验，那么n似乎是素数（1980年Baillie Wagstaff，1980年蓬梅兰斯·塞弗里奇·瓦格斯塔夫) |
推测性地证明原始性；对于非常大的n，这个猜想是不可信的(1984年Pomerance),但没有已知的反例 |
每个素数n |
（lgn）^{2+o（1）} |
瞬间 |
| 用单位群因子证明素性：如果b^（n-1）=1 in Z/n，并且b^（（n-1）/q）-1在Z/n中不为零对于n-1的每个素因子q，那么n是素数（1876年Lucas，除了从‘除数q>1’切换到‘素数q’之外来自1927年的Lehmer，与1914年的Pocklington相似） |
证明素性 |
每个素数n
| 至多（lgn）^{3+o（1）}；通常（lgn）^{2+o（1）} |
非常慢；但对无穷多个n猜想为（lgn）^{O（1）} |
| 如果b^（n-1）=1 in Z/n，F是n-1的除数，b^（（n-1）/q）-1是Z/n中的单位对于F的每个素因子q，那么n的每个除数都在{1，F+1,2F+1，…}中，所以如果（F+1）^2>n，那么n是素数（1914年波克林顿）；F的类似测试约为n^（1/4） |
证明素性 |
每个素数n
| 至多（lgn）^{3+o（1）}；通常（lgn）^{2+o（1）} |
非常慢；但对于更多的n’s比以上更快；无穷多n的（lgn）^{O（1）}(1989年平茨·斯泰格·斯泽梅雷迪;变体：1992 Fellows Koblitz；另一种变体：1997年Konyagin Pomerance) |
| 具有Z/n二次扩张的Pocklington型检验（1876年卢卡斯，1930年莱默，1975年莫里森，1975年塞尔弗里奇·温德利希，1975年布里尔哈特·莱默·塞尔弗里奇） | 证明素性 |
每个素数n
| 至多（lgn）^{3+o（1）}；通常（lgn）^{2+o（1）} |
非常缓慢；但速度比n快 |
| Z/n具有更高程度扩展的Pocklington型检验（4级和6级：1976年威廉斯·贾德；普通学位：1983年Adleman Pomerance Rumely) |
证明素性 |
每个素数n
| （lg-n）^{O（lg-lg-lgn）}，使用n^d-1的除数分布(1983年Adleman Pomerance Rumely,归于奥德利兹科·波梅兰斯（Odlyzko Pomerance）；弱界：1955 Prachar；最著名的界限：2000 Pelikan Pintz Szemeredi）；有许多可用的加速（1978年威廉斯·霍尔特，1984年科恩·伦斯特拉，1987年科恩·伦斯特拉，1990年Bosma van der Hulst,1997年Mihailescu） |
瞬间 |
| 用椭圆因子证明素性：椭圆曲线的相似检验(1986年Goldwasser Kilian) |
用椭圆曲线大小的界限证明素性（1936年哈斯） |
几乎每个素数n；据推测，每个素数n
| （lgn）^{3+o（1）} |
（lgn）^{O（1）}，使用多项式时间椭圆曲线点计数（1985 Schoof）；许多可用的加速（1990年阿特金，1992年埃尔克斯，1995年莫林） |
| 阶数可被2的大幂整除的椭圆曲线的类似检验（1987年Pomerance） |
用椭圆曲线大小的界限证明素性（1936年哈斯） |
每个素数n
| （lgn）^{2+o（1）} |
非常慢 |
| 第2类超椭圆曲线的Jacobians相似检验(1992年Adleman Huang) |
用雅可比大小的界限证明素性（1940？威尔） |
每个素数n
| 至多（lgn）^{3+o（1）} |
随机（lg n）^{O（1）}，使用素数分布在x（1979年伊瓦尼埃克·朱蒂拉）周围宽度x ^（3/4）的间隔内，雅可比尺寸的分布 |
| 小分辨复ult椭圆曲线的相似检验（1986年？阿特金；特殊情况：1985年博斯马，1986年楚德诺夫斯基-楚德诺夫斯基） |
用椭圆曲线大小的界限证明素性（1936年哈斯） |
据推测，每个素数n
| 至多（lgn）^{3+o（1）} |
最多（lgn）^{5+o（1）} |
| 用小分辨复合椭圆曲线进行类似试验，合并多个判别式的平方计算（1990年Lenstra Lenstra，记入Shallit） |
用椭圆曲线大小的界限证明素性（1936年哈斯） |
据推测，每个素数n
| 至多（lgn）^{3+o（1）} |
至多（lgn）^{4+o（1）}；有许多可用的加速（1989年卡尔托芬·瓦伦特·尤伊，1990年莫林，1993年阿特金·莫林，1998年莫林） |
| 用组合学证明素性：如果我们能写出一个特定子群的许多元素Z/n的素分圆扩张那么n是素数的幂(2002.08阿格拉瓦尔·凯亚尔·萨克塞纳) |
证明素性 |
每个素数n
| （lgn）^{O（1）}，使用分析事实，对于某些c>1/2，许多素数r在r^c上有r-1的素数因子（1969年戈德菲尔德）；最多（lgn）^{12+o（1）}，利用多素数r的解析事实具有r^（2/3）以上的r-1素数因子（1985年福瑞）；推测（lgn）^（6+o（1））；有许多可用的加速 |
瞬间 |
| 使用任意分圆扩展的变体（2002.08伦斯特拉） |
证明素性 |
每个素数n
| 最多（lgn）^{12+o（1）}，使用素数分布的粗糙界（1850年切比雪夫）；最多（lgn）^{8+o（1）}，使用上述分析事实；推测（lgn）^（6+o（1）） |
瞬间 |
| 使用分圆扩展的变量具有更好的群结构界限（2002.12 Macaj，独立于Agrawal） |
证明素性 |
每个素数n
| 最多（lgn）^{10.5+o（1）}，使用素数分布的粗糙界（1850年切比雪夫）；最多（lgn）^{7.5+o（1）}，使用上述分析事实；推测（lgn）^（6+o（1）） |
瞬间 |
| 使用随机Kummer扩展的变体(2003.01伯恩斯坦;想法和双功率度案例：2002.11白俄罗斯;素数级情况：2003.01程) |
证明素性 |
每个素数n
| （lgn）^{4+o（1）}，使用n^d-1的除数分布（过度杀戮：奥德利兹科·波梅兰斯） |
随机（lgn）^{2+o（1）} |
| 使用高斯周期的变量（2003.03 Lenstra Pomerance） |
证明素性 |
每个素数n
| （lgn）^{6+o（1）}，使用各种分析事实 |
瞬间 |
| 如果n未通过这些方法中的任何Fermat类型测试那么n是复合的 |
证明复合性 |
每个复合n |
至多（lgn）^{4+o（1）}，使用上述分析事实 |
至多（lgn）^{6+o（1）}，使用上述分析事实 |