今年圣诞节，我给自己买了一份有趣的数学礼物：一套10个非及物骰子，即格里姆骰子! 你可以自己买一套在这里.看看他们不切实际的辉煌：
这些骰子具有一个迷人的特性，即它们的获胜关系（在“wining”的意义上=“rolls a higher number>50%of the time”）是非传递的。也就是说，如果骰子A赢了骰子B，骰子B赢了骰C，那么它实际上赢了不一般来说，坚持A赢C。事实上，C可能赢A！
如果我们将格里姆骰子的5种颜色标记为红色、蓝色、黄色、橄榄色和洋红色，则有2个主要的非传递获胜循环：
- 按单词长度：红色打蓝色打橄榄色打黄色打洋红色打红色
- 按字母顺序：蓝色击败洋红色击败橄榄色击败红色击败黄色击败蓝色
这本身很简洁，也不直观，但当你把两个相同颜色的骰子掷在一起时，事情会变得更奇怪：单词长度循环颠倒，而字母周期（几乎）保持不变。
- 按字长（双精度）：红色/红色输给蓝色/蓝色输给橄榄色/橄榄色输给黄色/黄色输给洋红色/洋红色输给红色/红色
- 按字母顺序（双精度）：蓝色/蓝色击败洋红色/洋红色击败橄榄色/橄榄色输给红色/红色击败黄色/黄色击败蓝色/蓝色
使用Mathematica，我们可以计算获胜概率，并可视化循环：
这4个周期是唯一被宣传的周期，但事实证明，只需使用集合中的10个骰子就可以形成更多的周期。
事实上，有298个这样的循环！以下是所有的情节1模循环
和所有2冰循环
和所有3-ie循环
在本文中，我们将详细介绍用于创建这些图和计算完整的可能循环集的Mathematica代码。
骰子建模
第一步是提供不同骰子颜色的简单表示，每个颜色都有一个独特的点状配置：
（*代表骰子、它们的名字和面值*）红色=骰子[“红色”]={{“红色”}，{4,4,4,19}}；蓝色=骰子[“蓝色”]={{“蓝色”}，{2,2,7,7}}；橄榄=骰子[“橄榄”]={{“橄榄”}，{0,5,5,5，5,5}}；黄色=骰子[“黄色”]={{“黄色”}，{3,3,3,18}}；洋红=骰子[“洋红”]={{“洋红“}，{1,6,6,6}}；
为了计算两个骰子中哪一个赢了另一个，以及赢的几率，我们在两个骰之间生成每一个可能的掷骰，并查看哪个骰子更经常出现在顶部：
（*计算两个骰子中哪一个会赢，包括赔率*）（*返回{赢家->输家，赔率}*）compareIce[｛lName_，lVals_｝，｛rName_，rVals_｝]：=(rolls=元组[{lVals，rVals}]；winDiff=总数[rolls/.{l_，r_}->符号[r-l]]；赔率=1/2+Abs[winDiff]/（2*长度[rolls]）；{如果[winDiff>0，rName->lName，lName->rName]，N[bids，3]});
因此，我们可以看到，例如，红色在58%的时间内击败蓝色，黄色在56%的时间里击败洋红。
比较冰[红，蓝]比较器冰[品红色，黄色]（*输出：{{“红色”}->{“蓝色”}，0.583}{{“黄色”}->{“洋红色”}，0.556}*)
非传递循环
我们已经能够用单个骰子验证和量化主要单词长度和字母周期：
byWordLength={{红色，蓝色}，{蓝色，橄榄色}，}橄榄色，黄色}，黄色，洋红}，红色}}；byAlpha={{蓝色，品红色}，{品红色，橄榄色}，}橄榄色，}红色，黄色，}黄色，蓝色}；按字长比较冰@@@通过Alpha比较冰@@@（*输出：{{{“红”}->{“蓝”}，0.583}，{{（蓝）}->}“橄榄”}{{{“蓝色”}->{“洋红色”}，0.667}，{{”洋红色“}->}”橄榄色“}，0.722}，}“橄榄色”}->{“红色”}，0.694}，[{”红色“}->{”黄色“}*)
我们可以表示和比较成对的骰子，就像它们都是一个36面骰子一样，每个面都对应于组成骰子的可能掷骰子的总数。这也让我们计算单词长度和字母双骰子循环的几率：
（*通过组合两个骰子创建一个新的“骰子”*）组合[{name1_，vals1}，{name2_，vals2}]：={Join[name1，name2]，Plus@@@Tuples[{vals1，vals2}]}；double[die_]：=组合[die，die]；compareDice@@@Map[double，byWordLength，{2}]compareDice@@@Map[double，byAlpha，{2}]（*输出{{{“蓝色”，“蓝色”}->{“红色”，“红色”}，0.590}，{{（橄榄色），“橄榄色”}->{“蓝”，“蓝”}“}，0.691}}{{{“蓝色”，“蓝色”}->{“洋红色”，“洋红色“}，0.556}，{{”洋红色“，”洋红色”}->{“橄榄”，“橄榄”}“}，0.556}}*)
绘图
最好是可视化骰子之间的获胜关系，而不是仅仅打印出数据。Mathematica具有出色的绘图和可视化功能，因此这当然是可能的。
图形绘图在这里是个不错的选择。然而，它的默认视觉输出并不十分适合这个问题，因此我们需要进行一些定制。我们可以利用函数公开的各种挂钩，使我们能够指定自定义图形对象来表示关系图的顶点和边。
下面的代码将创建漂亮的图形图，其中顶点由适当颜色的骰子图标表示，边缘指向赢家->输家，并标有赢家的概率。
（*跟踪绘图中应使用的颜色*）colors[“Red”]=红色；colors[“Blue”]=蓝色；colors[“橄榄”]=绿色；颜色[“黄色”]=黄色；colors[“洋红色”]=紫色；（*绘制彩色矩形以表示图形顶点处的骰子*）getVertex[center_，names_]：=(数字骰子=长度@名称;位置={-0.08+#，0.08+#}&/@范围[0.04*（numDice-1）/2，0.04*（numDice-1）/2，004]；转置[{colors/@names，Rectangle[center+#1，center+#2，RoundingRadius->0.02]&@@@positions}]);（*为图形边缘绘制一个格式正确的标记箭头*）获取边缘=（{灰色，如果[#3==0.5，线[#1]，箭头[#1，0.15]]，黑色，插图[#3，平均值[#1]，背景->白色]}&）；（*给定一个骰子对列表，创建一个格式良好的图赢得关系和赔率*）plotDice[对_]：=GraphPlot[compareDice@@@对，顶点渲染功能->获取顶点，EdgeRenderingFunction->获取边缘]；
让我们直观地看一下单循环和双循环：
非常整洁！除了方向和顺序上的各种奇怪之处外，这些情节也很吸引人。顶点的精确位置可以通过GraphPlot的VertexCoordinateRules参数指定，但默认布局足以满足我们的目的。
更多周期
我们使用相同颜色的单骰子和双骰子查看了主要的5色循环。不过，这只是开始。例如，除了5色循环外，还存在各种较小的循环：
这些较小的循环有多少？更大的周期呢？那么，由两种不同颜色组成的双打圈又如何呢？或者甚至由3个骰子组成的循环？我们想计算每个可能的循环可以使用一组中的10个骰子来创建。
我们解决这一问题的总体方法是生成有向图，对特定大小的唯一骰子集（单个骰子、成对骰子或三重骰子）之间的所有获胜关系进行编码，然后在这些图中搜索循环。
需要注意的是（我们不会在这里证明），对于格里姆骰子来说，任何一对骰子都能击败任何一个骰子，任何三重骰子都可以击败任何一对或单个骰子。因此，将此计算拆分为单个骰子、对和三元组的单独桶是可以接受的。就竞争骰子的数量而言，不存在异质循环。
单骰子
人们可能会假设，单骰子的周期最容易计算。事实上，单骰子带来了两个独特的挑战，而双骰子和三骰子则没有。具体来说，在一组10个骰子中，我们可能会发现大小达到10的循环。但由于我们只有5种颜色，一旦一个循环变为长度6或更长，我们就必须在循环中有2个相同颜色的节点。我们需要确保区分每种颜色的两个副本。
为了捕捉到我们手头上每种颜色都有2份的事实，我们将使用一点破解。每种颜色的“第二个”副本将表示为与一个特殊的“白色”模具的组合，该模具具有1个面，并且始终滚动0。
（*虚拟“白色”模具用于区分相同颜色模具的两个实例*）白色=骰子[“白色”]={{“白色”}，{0}}；（*绘制时，只需使白色骰子不可见*）colors[“White”]=透明；（*10个骰子中所有不同的单骰子*）allDice[1]=加入[allColors，组合@@@Tuples[{allColors,{white}}]]；
为了开始构建实际的关系图，我们将定义几个帮助函数。第一个用于创建定向边缘Mathematica在以下情况下使用的值图表在第二个函数中调用。边缘从“获胜di（c）e”指向“失败di（c）e”。
（*请注意，如果两个骰子相等，则此处不返回边*）getGraphEdge[left_，right_]：=({relationship，iods}=compareDice[左，右]；如果[ost！=1/2，relationship/.Rule->DirectedEdge]);（*构建获胜关系图n个骰子元组*）makeGraph[n_]：=图[Cases[getGraphEdge@@@子集[allDice[n]，{2}]，DirectedEdge[__]]]；
现在，我们可以生成单骰子关系的完整图形，并让Mathematica计算最大大小为10的所有循环。在最后一步中，请注意，我们需要对循环列表进行重复数据消除，以消除那些仅因包含虚拟“白色”模具而唯一的循环。
diceGraph[1]=生成图[1]；（*内置函数DeleteDuplicatesBy仅存在在Mathematica 10+*中）deDupeBy[expr_，f_]：=值[GroupBy[expr，f，First]]；（*计算可以由包含的10个骰子制成*）周期[1]=deDupeBy[FindCycle[diceGraph[1]，10，All]，排序[（#/.{e_，“白色”}->{e}）]&]；CountsBy[周期[1]，长度]周期[1]//长度（*输出：<|3 -> 5, 4 -> 5, 5 -> 2, 6 -> 15, 7 -> 20, 8 -> 20, 9 -> 10, 10 -> 3|>80*)
我们看到总共有80个独特的单模周期，大小从3到10不等。
一对骰子
骰子对是最简单的情况。
对于成对（和以上），我们不需要考虑循环中不同的相同节点的可能性。证明：在任何两个相同的节点之间，必须至少有两个其他节点（如果只有一个节点，它将同时被任意一侧的相同节点击败和失去），因此具有相同节点的完整循环的长度必须至少为6（两个相同节点+每侧的两个分离节点）。当每个节点由一对骰子组成时，这需要至少12个骰子。因为我们只有10个骰子，这是不可能的。
这样就不需要假模，也不需要在末端进行重复数据消除。
我们需要考虑的唯一额外问题是，一个计算周期可能包含2个以上特定颜色的骰子。这种循环在我们的场景中是无效的，因为我们只使用了集合中的10个骰子。我们将更新帮助程序并添加一些额外的筛选以消除此类循环。
最后，对于成对，我们只需要搜索长度为5的循环。
（*所有唯一的骰子对*）allDice[2]=扁平[表格[combine@@allColors[[{i，j}]]，{i，1，长度[allColors]}，{j，i，长度[allColors]}]，1]；（*已更新以避免在节点之间创建边组合使用两种以上的任何颜色*）获取图形边缘[left_，right_]：=如果[FreeQ[Tally[Join[left[[1]]，right[[1]]]，{_，count_}/；计数>2]，{relationship，iods}=compareDice[左，右]；如果[ost！=1/2，relationship/.Rule->DirectedEdge]];（*检查给定的完整循环是否使用2个以上任何特定颜色*）有效周期[cyc_]：=FreeQ[Tally[Flatten[cyc/.DirectedEdge[a_，_]：>a]]，{_，count_}/；计数>2]；（*计算能够由包含的10个骰子制成*）diceGraph[2]=生成图[2]；cycles[2]=选择[FindCycle[diceGraph[2]，5，All]，isValidCycle]；计数依据[周期[2]，长度]周期[2]//长度（*输出：<|3 -> 55, 4 -> 89, 5 -> 25|>169*)
有169个使用骰子对的独特循环。
骰子的三倍
三元组是我们需要考虑的最大组。至少需要3个节点才能形成一个循环，如果这些节点每个包含4个或更多骰子，那么我们的10个骰子集就不够了。
类似地，我们只需要在这里搜索长度为3的循环——一个4个三元组的循环需要比我们更多的骰子。
我们首先扩展骰子组合函数来处理三元组，建立所有这些唯一的三元组并生成它们的获胜关系图。请注意，所有3个骰子颜色相同的任何三元组都是无效的，应该进行过滤。
（*扩展到处理三元组*）组合[die1，die2，die3]：=组合[die 1，combine[die 2，die 3]]；（*所有独特的骰子三连*）allDice[3]=选择[扁平[表格[combine@@allColors[[{i，j，k}]]，{i，1，长度[allColors]}，{j，i，长度[allColors]}，{k，j，长度[allColors]}]，2]，长度@接头@#[[1]] != 1 &];diceGraph[3]=生成图形[3]；
从这里开始，计算三个循环应该像再次调用FindCycle一样简单。不幸的是，当人们尝试这样做时，Mathematica（似乎）会无限旋转。三元组的关系图是30个节点和208条边——虽然不算小，但也不算大。我不知道为什么FindCycle会有问题。奇怪的是，如果你只要求1个周期，FindCycley会立即找到1个周期；但如果你只需要2个周期，就有问题了，更不用说全部了。
因此，我们需要手动搜索此图中的3个循环。下面的代码可以做到这一点。
（*对于图中的每条边，收集潜在的第二条边例如，对于边A->B，找到所有对{{A->B、B->X}、{A->B、B->Y}、…}*）边缘空隙=压扁[EdgeList[diceGraph[3]]/。定向边缘[a，b_]：>（{定向边缘[a，b]，#}和/@边列表[diceGraph[3]，定向边[b，_]]），1]；（*找到并验证3个循环的第三个和最后一个边缘。例如，给定{A->B，B->C}，检查C->A是否存在，以及循环A->B->C->A有效*）完整循环[DirectedEdge[a_，b_]，DirectedEdge[c_，d_]]：=(lastEdge=定向边缘[d，a]；如果[MemberQ[EdgeList[diceGraph[3]，lastEdge](cycle={DirectedEdge[a，b]，DirectedEdge[c，d]，lastEdge}；如果[isValidCycle[cycle]，母猪[周期]])]);
这使我们能够计算周期，尽管我们确实需要对其进行重复数据消除（与FindCycle不同，我们的手动代码不够智能，无法实现周期A->B->C->A与周期B->C->A->B相同）。
循环[3]=deDupeBy[Reap[Scan[completeCycle@@#&，edgePirs]][2，1]]，排序]；计数依据[周期[3]，长度]（*输出：<|3 -> 49|>*)
共有49个三向旋回。这使得在一组10粒格里姆骰子中总共有298个独特的非传递周期。
绘制所有循环！
最后，每一个可能循环的有趣部分-制作巨型情节！
为了绘制一个周期，我们只需要稍微修改一下数据，以便它能与早期的plotDice一起工作。
（*“组合”单个模具是no-op*）组合[{name1_，vals1}]：={name1，vals1}；（*绘制单个非及物骰子循环*）打印周期[cyc_]：=plotDice[cyc/.DirectedEdge[l_，r_]：>{combine@@（dice/@l），combine@@（dice/@r）}]；
以下是几个示例图：
要生成文章顶部链接的完整图，我们只需要
（*绘制所有内容！*）plotCycle/@周期[1]plotCycle/@周期[2]plotCycle/@周期[3]
本文中的所有代码都是GitHub要点在这里.这是我的转载原始博客.
