具有给定跟踪和子跟踪的四元单词
这里我们考虑长度为$n$个单词$a_1a_2\ldots a_n$的数字$S（n；t，S）$位于字母表$\{0,1，\ldot，k-1\}$上，其中$k=4$具有跟踪$t$和子跟踪$S$。这个追踪$k$-ary单词是其数字mod$k$的总和，即$t=a_1+a_2+\cdots+an\pmod{k}$。这个次径迹是mod$k$中所有$n（n-1）/2$对数字的乘积之和，即$s=sum{1\leqi\ltj\leqn}a_ia_j$。
|
| （跟踪，子跟踪） |
| n美元$ | (0,0) | (0,1)
(2,3) | (0,2) | (0,3)
(2,1) | (1,0)
(3,0) | (1,1)
(3,1) | (1,2)
(3,2) | (1,3)
(3,3) | (2,0) | (2,2) |
| 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
|---|
| 2 |
2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 |
|---|
| 三 |
4 | 6 | 0 | 6 | 6 | 0 | 6 | 4 | 4 | 0 |
|---|
| 4 |
8 | 24 | 8 | 24 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 0 |
|---|
| 5 |
56 | 80 | 40 | 80 | 40 | 80 | 56 | 80 | 56 | 40 |
|---|
| 6 |
272 | 272 | 240 | 240 | 192 | 320 | 192 | 320 | 272 | 240 |
|---|
| 7 |
1184 | 896 | 1120 | 896 | 896 | 1184 | 896 | 1120 | 1184 | 1120 |
|---|
| 8 |
4763 | 3584 | 4480 | 3584 | 4096 | 4096 | 4096 | 4096 | 4608 | 4608 |
|---|
| 9 |
17536 | 15360 | 17536 | 15360 | 17536 | 15360 | 17536 | 15360 | 17536 | 17536 |
|---|
| 10 |
65792 | 65280 | 65280 | 65792 | 69632 | 61440 | 69632 | 61440 | 65792 | 65280 |
|---|
示例
跟踪0、子跟踪3和长度2的两个4元字符串是$\{13、31\}$。跟踪0、子跟踪0和长度3的四个四元字符串是$\{00002220220}$。跟踪2、子跟踪0和长度3的四个四元字符串是$\{002、020、200、222\}$。枚举（OEIS）
- 数字$S（n；t，S）$可以从以下递归关系中计算出来\开始｛align｝S（n；t，S）&=S（n-1；t，S）+S（n-1；t-1，S-（t-1））+S（n-1；t-2，S-2（t-2））+S（n-1；t-3，S-3（t-3））\\&=S（n-1；t，S）+S（n-1；t+3，S+3t+1）+S。\结束{对齐}
- $S（n；1，S）=S（n；3，S）$来自双射，该双射将字符串的每个数字与其否定进行交换。
- 看起来$S（n；0,1）=S。证据？
- 每列是一个序列，其普通生成函数是有理的，分母$D=（4z-1）（8z^2-4z+1）（16z^4+1）（2z-1）$。
- 列（0,0）为OEIS A068620公司.普通生成函数的分子是$1+32z^2+48z^4+352z^6-576z^7-56z^3-104z^5-9z+320z^8$。
- 列（0,1），（2,3）为OEIS公司A068711.
- 列（0,2）为OEIS公司A068774.
- 列（0,3），（2,1）为OEIS公司A068777.
- 列（1,0），（3,0）为OEIS公司A068786.
- 列（1,1），（3,1）为OEIS公司A068778.
- 第（1、2）、（3、2）列为OEIS公司A068787.
- 柱（1,3），（3,3）为OEIS公司A068788.
- 列（2,0）为OEIS公司A068789.
- 第（2,2）列为OEIS公司A068790.
- 这些数字的定义和使用在文献[MR04a]和[MR04b]中更加通用。
工具书类
- [MR04a]C.R.Miers和F.Ruskey。使用给定的基本对称函数求值对字符串进行计数。I.$Z_p$以上的字符串与$p$prime。SIAM J.离散数学。，17(4):675–685, 2004.
- [MR04b]C.R.Miers和F.Ruskey。使用给定的基本对称函数求值对字符串进行计数。二、。循环字符串。SIAM J.离散数学。，18(1):71–82, 2004.