史蒂芬和理查德在MAA MathFest
斯蒂芬·肯尼迪（卡尔顿学院）的这篇致敬文章，AMS/MAA新闻采访，最初出现在最新一期的MAA焦点并以权限共享。
理查德·盖伊去世的消息是一个打击。不仅因为他是一个好朋友，而且因为我知道他上一本书的出现，组合数学的统一性当我几十年前第一次见到理查德的时候，我对他太敬畏了，以至于无法真正交谈，我们之间的点头微笑关系已经持续了很长一段时间。大约15年前，情况发生了变化。我坐在机场门口，离开JMM回家，理查德穿着他熟悉的棕色粗花呢夹克，配上他经常出现的Peace is a Disarming Concept翻领按钮，坐在我旁边，问我膝盖上便笺上的数学问题。当时我刚刚发现了Geometer的Sketchpad，并利用其结合欧几里德几何和运动的能力来生成本科生的研究问题，例如：共享一个外接圆的所有三角形的质心轨迹是什么？使用Geometer的Sketchpad，您可以制作一部小电影，实时观察生成的轨迹。观看真是令人激动。
我不清楚自己在机场门口遇到了什么问题，但这与上面所说的差不多，理查德仔细听着，我们花了一个小时交换想法和图片。很明显，他对几何学的了解是我的一千倍，而且他的大脑工作速度是我的两倍。但面对他的善良和谦逊，我的敬畏消失了。他真的对我的想法感兴趣，也对共同解决这个问题感兴趣。他也有剃须刀般的机智，在开完一个玩笑后，他会咧嘴一笑，让人放下武器，但那是魔鬼般的。和他一起做数学很有趣。最后他开始告诉我灯塔的问题[2]：两个旋转灯塔光束的交点的轨迹是什么？引用的论文是了解理查德的数学方法和体验他的幽默感的好地方。要快速体验后者，请查看MAA Review of探究性问题解决者理查德的另一个自我，迪克·费罗。
当我到家时，我收到了理查德的一封电子邮件，里面有关于我的问题的更多想法。我们继续了一段时间的电子邮件通信。他总是好意地假装我懂几何；我认为我很喜欢这本书对他来说已经足够了。几年后，我在卡尔加里拜访理查德，谈论一本关于组合游戏的书。我和他呆了一个星期，每天早上我们都会去他在卡尔加里大学的办公室。他教我斯普拉格-格兰迪理论，我们一起分析了几十个游戏。每天晚上，我们都会回到他家，吃一个他晚饭喜欢吃的可怕的冷冻馅饼，然后再回去工作。有一段时间，我以为我能理解三辆车的Dodgerydoo，理查德对我很有礼貌，认真考虑了我这样做的可能性。（当然，我没有。我想他可能一直都这么怀疑，但他太礼貌了，不敢这么说。）我们从来没有把这本书放在一起。尽管如此，这是我一生中最棒的数学周之一。
组合数学的统一是MAA Carus系列的最新一卷，其起源是Richard于1995年发表的一篇同名论文。理查德对这样一种看法作出了反应，即组合学只不过是解决玩具问题的一组不连贯的聪明技巧。今天很明显，组合学是一门成熟的数学学科，有着深刻的问题、微妙的结果，以及与数学其他领域的有趣联系。25年前，这一点还不清楚，组合数学与娱乐数学的联系让它看起来有点声名狼藉和轻浮。这本书最初是由唐·阿尔伯斯（Don Albers）构思的，他鼓励理查德扩展他的文章，并招募巴德·布朗（Bud Brown）为合著者。这一结果反映了两位作者的个性、他们的数学兴趣和他们迷人的解释技巧。阅读是一种纯粹的乐趣；理查德的温和机智、巴德的从容不迫、热情好客，以及两位作者对组合景观的深刻了解和绝对的喜悦，完美结合在一起。
让我尝尝。假设您想查找五-的元素子集十一-元素集$\{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，X\}$，具有每对元素正好一起出现的属性两次。至少对我来说，这样的收藏是不可能的。快速计数——55对出现两次的每对都是110对，一个五元素的集合包含10对——这会告诉你任何这样的集合都包含11对。但这无助于找到它，甚至证明它是可能的。它只是让你放心，这显然不是不可能的。Brown-Guy示例如表1所示，但我们鼓励您在浏览之前尝试构建自己的示例。
这也不明显为什么？你想这样做。令人尊敬的答案是，这是一个$（11.5,2）$对称块设计的例子，是农业统计实验设计中出现的对象。（参数对应于前一段中的粗体数字。）这个轻浮的答案显然与柯克曼的女学生问题相似。您当然想知道$（v，k，\lambda）$的哪些值实际上对应于可实现的对称设计。你应该读第七章。我现在对跟进$11,5,2）$更感兴趣。Brown和Guy称此小工具为双翼飞机。值得了解原因。
假设我们不会要求每对元素出现两次，而是满足于一个外观。如上所述，共有55对，每个五元组包含10个，因此$（11.5,1）$未通过明显的可分性测试，因此不存在此类对象。但是，举一个例子，$（91，10，1）$并没有失败，因此，这显然不是不可能的。（这些数字是发生了什么的线索，但你可能不知道。）如果我们将元素视为点，我们将寻找十点子集，这样每对点正好位于一个子集中。将“子集”替换为“线”，就可以识别有限射影的描述飞机第九道。因此，$（11，5，2）$双翼飞机。更重要的是，也许你开始看到布朗·古伊的《团结》
布朗在[1]中问自己，他如何才能画出一幅有用的$（11,5,2）$双翼飞机的图片。他想让这幅画反映出设计的一些对称性。例如，请注意，两个五周期$（1，3，9，5，4）（2，6，7，X，8）$的乘积是原始五阶集合的置换。请注意，它保留了块结构，例如，2456X变为61478。这对应于图中的五重旋转对称。事实上，正如Brown和Guy所示，双翼飞机的对称群实际上有660阶，可以显示为$PSL（2,11）$。图1中可以直接看到许多对称性。
最后一次统一观察。值得注意的是，$2^｛11｝=1+\binom｛23｝｛1｝+\binom｛23｝｛2｝+\binom｛23｝｛3｝$。众所周知，这个等式正是完美的三纠错二进制码存在所需要的。字母表有23个符号，密码长度为12。类似地，事实上$1+2\cdot\binom{11}{1}+2^2\cdot\binom{11}}{2}=3^5$意味着存在一个完美的二元纠错码。在这种情况下，字母表有11个字母，码字长度为6。这些代码中的每一个都可以实现为特定矩阵的行空间$关联矩阵对于$（11.5,2）$双平面，如果元素$i$位于双平面的子集$j$中，则在$（i，j）$条目中输入1，否则输入0。（注意：子集由表1中列出的第一个元素索引。）对于每个代码，此关联矩阵作为子矩阵存在于代码矩阵中。我们邀请您探讨原因。
以上所有内容仅摘自布朗古伊的一章，我们已经学习了统计学、群论、线性代数、编码理论、娱乐数学和射影几何。也许《组合数学的普遍性》是一个更好的标题。无论我们怎么称呼它，它都充满了奇迹，充满了理查德的精神。它是对一位数学巨人的恰当纪念，我们有幸拥有他103年。
******************
[1] 埃兹拉·布朗，《神奇（11，5，2）双平面》，《数学》。杂志，77:2，
87–1002004年，内政部：10.1080/0025570x.2004.11953234。
[2] 理查德·盖伊，《灯塔定理》，莫利和马尔法蒂-
《矛盾预算》，艾默尔。数学。每月，114:2，
97–1412007年，内政部：10.1080/00029890-2007.11920398。
