范畴理论

范畴理论在当代已经占据了中心地位数学和理论计算机科学，也适用于数学物理。粗略地说，这是一个关于结构和结构体系。由于范畴理论仍然存在不断发展，其功能也在相应地发展、扩展和乘法。至少，它是一种强大的语言或概念框架，使我们能够看到给定类型的结构，以及不同类型的结构是如何相互关联。范畴理论是哲学研究，以及潜在的强大形式化工具对空间、系统和甚至真相。它可以应用于逻辑系统的研究，其中格范畴理论被称为“范畴主义”句法、证明理论和语义层面。范畴理论甚至导致了不同的集合理论概念，因此，成为标准集理论基础的可能替代品用于数学。因此，它提出了许多关于数学的问题本体论和认识论。因此，范畴理论为哲学家提供了和逻辑学家有很多值得使用和思考的东西。

• 1.一般定义、示例和应用
  • 1.1定义
  • 1.2示例
  • 1.3理论的基本概念
• 2.简要历史素描
• 3.哲学意义
• 参考文献
• 学术工具
• 其他互联网资源
• 相关条目

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1.一般定义、示例和应用

1.1定义

范畴是具有许多互补性质的代数结构，例如，几何、逻辑、计算、组合，就像组一样是多面的代数结构。艾伦伯格和麦克 车道（1945）以纯粹的辅助方式引入了类别，如为他们所说的函子和自然做准备转换。类别的定义随着时间的推移而演变，根据作者选择的目标和元数学Eilenberg&Mac框架 莱恩起初给了一个纯粹的范畴的抽象定义，遵循公理组的定义。其他，从格罗森迪克（1957）和弗雷德（1964），因实用性而当选，以定义类别用集合理论的术语。

另一种方法是Lawvere（1963、1966），开始于描述类别类别的特征，然后规定类别是那个宇宙的对象。此方法，未激活各种数学家、逻辑学家和数学的发展物理学家，导致了现在所谓的“高维类别”（Baez 1997，Baez&Dolan 1998a，Batanin 1998，Leinster2002年，赫米达等. 2000, 2001, 2002). 定义本身一个范畴的重要性不无哲学意义，因为反对将范畴理论作为基本框架的理由是声称由于类别定义作为集合，类别理论不能为数学。我们将简要介绍其中的一些定义，从Eilenberg's&Mac开始 莱恩（1945）代数定义。然而，在进一步讨论之前需要定义。

作为Eilenberg&Mac 巷及时评论，物打一个次要角色，可以从定义中完全省略。然而，这样做会导致对应用程序的操作不太方便。它实际上是合适的，也许心理上更容易从映射和物体。Eilenberg使用了术语“聚合”&雨衣 莱恩自己，大概是为了保持中立尊重人们想要采用的背景集理论。

艾伦伯格和麦克 1945年车道定义类别的原因非常严格。正如他们所指出的：

首先应该注意的是，类别的整个概念是本质上是辅助的；我们的基本概念基本上是函子和自然变换（…）。关于只有每个功能都应该对于范畴是作为函子的域和范围提供的。因此人们可以完全放弃类别概念，采用更多直觉观点，其中函子如“Hom”是未在“所有”组的类别中定义，但用于可以给出的每一对特定的群。立场对应用来说已经足够了，因为我们没有任何开发将涉及对类别的详细构造他们自己。（1945年，第1章，第6段，第247页）

在接下来的十年中，当分类开始时，情况发生了变化用于代数拓扑和同调代数。雨衣 莱恩，Buchsbaum、Grothendieck和Heller正在考虑以下类别两个固定对象之间的形态集合有一个额外的结构。更具体地说，给定任意两个对象\（X\）和\类别\（\mathbf{C}\）的（Y\）设置\（\mathbf{Hom}（X，Y）\）的态射\（X）到（Y）构成阿贝尔群。此外，对于同调和上同调理论的相关原因是联系起来，类别的定义必须满足另一个形式属性（我们暂时搁置）：它必须自我双重。这些要求导致以下定义。

这是大多数教科书中对类别的定义理论。因此，它明确地依赖于一个既定的理论背景和语言。Lawvere在早期提出的另一种选择60年代，是为了开发一个适当的语言和背景框架用于类别类别。我们不提供正式框架在这里，因为这将使我们远离我们的主要关注点，但基本思想是定义所谓的弱类别（和弱类别），以及所谓的类别将被称为弱1-范畴（集合将是弱的0类）。（例如，参见Baez 1997、Makkai 1998、Leinster2004年，贝兹和2010年5月，辛普森2011年）

同样在六十年代，兰贝克建议将类别视为演绎系统。这从一个概念开始图表,由两个类组成箭头和物体、和它们之间的两个映射，\（\boldsymbol{s}:\Arrows\rightarrow\对象\）和\（\粗体符号{t}:\箭头\右箭头\对象\），即源映射和目标映射。箭头通常是称为“定向边”和对象“节点”或“顶点”。在此之后，一演绎系统是带有指定箭头的图形：

（R1）\（\mathbf{id}_X（_X）：X\右箭头X\），

以及对箭头的二进制操作：

（R2）给定\（\boldsymbol{f}:X\rightarrow Y\）和\\（\boldsymbol{g}\）是\（（\bodsymbol{g}\circ\boldsymbol{f}）：X\rightarrow Z.）

当然，演绎系统的对象通常被认为是作为公式，箭头被认为是证据或扣除额，对箭头的操作被认为是推理规则.A型类别然后定义因此：

因此，通过在证明上施加适当的等价关系演绎系统可以转化为一个范畴。因此将类别视为演绎系统。这种现象已经为逻辑学家所熟知，但可能并没有达到最大程度。这样一个例子代数编码是Lindenbaum-Tarski代数，一种布尔代数对应于经典命题逻辑。自布尔值代数是偏序集，也是范畴。（请注意布尔值在它们之间具有适当同态的代数形成另一个逻辑中有用的类别。）到目前为止，我们只有一个变化词汇表。当一级订单和考虑了高阶逻辑。Lindenbaum-Tarski代数这些系统如果执行得当，有时会产生类别称为“概念范畴”或“句法范畴”（Mac Lane和Moerdijk，1992年，Makkai和Reyes，1977年，Pitts2000).

1.2示例

几乎所有已知的数学结构的例子适当的structure-preserving映射生成一个类别。

1. 类别设置对象集和态射功能。这里有一些变体：可以考虑部分函数或者是内射函数，或者是满射函数。在每个在这种情况下，这样构建的类别是不同的。
2. 类别顶部对象拓扑空间和态射连续函数。同样，可以将形态限制为打开连续函数并获得不同的类别。
3. 类别hoTop公司对象拓扑空间和同伦函数的态射等价类。此类别是它不仅在数学实践中很重要，而且是代数拓扑，但它也是一个范畴的基本示例其中语态是不结构保持功能。
4. 类别Vec公司使用对象向量空间和形态线性地图。
5. 类别差异带有对象微分流形和形态平滑贴图。
6. 类别波尔德和PoSet软件使用对象前序和偏序集，以及单调的态射功能。
7. 类别纬度和布尔带对象晶格和布尔代数，以及保持形态结构同态，即\（（\top，\bot，\wedge，\vee）\）同态。
8. 类别海特具有对象Heyting代数和\（（\top，\bot，\wedge，\vee，\rightarrow）\）同态。
9. 类别周一具有对象的单胚和态射的单胚同态。
10. 类别AbGrp公司对象阿贝尔群和语态组同态，即（1，times，（-）^{-1}）同态。
11. 类别组使用对象组和变形组同态，即\（1，\次，（-）^{-1}）同态。
12. 类别戒指带对象环（带单元）和态射环同态，即\（（0，1，+，\次）\）同态。
13. 类别领域使用对象字段和变形字段同态，即\（（0，1，+，\次）\）同态。
14. 具有对象公式和形态的任何演绎系统证据。

这些例子很好地说明了范畴理论是如何处理以统一的方式理解结构。请注意，类别是以它的形态为特征，而不是以它的对象为特征。因此具有开映射的拓扑空间的范畴不同于具有连续映射或更多映射的拓扑空间范畴从这点上讲，后者的范畴属性不同于前者的那些。

我们应该再次强调一个事实，即并非所有类别都是确定的具有结构保护映射的结构化集。因此，任何预先订购的set是一个类别。对于给定的两个元素预序集合，存在一个态射\（\boldsymbol{f}:p\rightarrow q\）当且仅当\（p\leq.）因此，预序集是一个类别，其中有在任意两个对象之间最多是一个态射。任何幺半群（因此任何组）可以被视为一个类别：在这种情况下，类别具有只有一个对象，并且它的态射是monoid的元素。态的合成对应于幺半群的乘法元素。幺半群公理对应于范畴公理是易于验证。

因此，范畴的概念泛化了前序和幺半群。我们还应该指出，广群有一个非常简单的范畴语境中的定义：它是一个范畴同构是一种同构，即任何同构\（粗体符号{f}:X\右箭头Y\），有一个形态\（\boldsymbol{g}:Y\rightarrowX\），这样\（\boldsymbol{f}\circ\boldsymbol{g}=\mathbf{id}_X（_X）\)和\（\boldsymbol{g}\circ\boldsymbol{f}=\mathbf{id}_Y。\)

1.3理论的基本概念

范畴理论以两种不同的方式统一了数学结构。首先，正如我们所见，几乎所有集合都是理论上定义的具有适当同态概念的数学结构生成一个类别。这是提供的统一在内部一套理论环境。第二，也许更重要的一次一种结构类型已经定义，必须确定如何可以用给定的结构建造新的结构。例如，给定两个集合（A）和（B），集合论允许我们构造它们的笛卡尔积（A乘以B）确定如何将给定结构分解为更基本的子结构。例如，给定一个有限Abelian组，如何将其分解为其特定的分组？在这两种情况下，都有必要了解某些种类可能结合在一起。这些组合的性质可能会出现从一个纯粹的场景来看，会有很大的不同理论视角。

范畴理论揭示了这些结构中的许多实际上是类别中的某些对象具有“通用属性”。事实上，从范畴的观点来看，集合论中的笛卡尔积群的直积（阿贝尔或其他）拓扑空间和演绎命题的连接系统是分类产品的所有实例，其特征是普遍属性。正式地说，a产品两个对象的\类别中的（X）和（Y）是一个对象\（Z\），共\（\mathbf{C}\）在一起有两种形态，称为投影，\（\粗体符号{p}:Z\右箭头X\）和\（粗体符号{q}:Z\右箭头Y\）这是所有人的普遍属性带形态的对象\（W\）\（\粗体符号{f}:W\右箭头X\）和\（粗体符号{g}:W\右箭头Y\），有一个唯一的态射\（\boldsymbol{h}:W\rightarrow Z\）这样\（\boldsymbol{p}\circ\boldsymbol{h}=\boldsimbol{f}\）和\（\bolsymbol{q}\cicr\boldsembol{h}=\bold symbol}.g}.\）

注意，我们已经为（X）和\（Y\）和否这个（X）和（Y）的乘积事实上，具有通用属性的产品和其他对象只定义了一个（唯一的）同构。因此，在范畴理论中，构成某种结构的元素的性质是无关紧要。重要的是一个对象与另一个对象的关联方式类别的对象，即进入的语态和语态的发展，或者换言之，某些结构如何映射到给定对象以及给定对象如何映射其将结构转换为其他同类结构。

范畴理论揭示了不同类型的结构彼此相关。例如，在代数拓扑中，拓扑空间与中的群（以及模、环等）有关各种方法（如同调、上同调、同伦、K-理论）。如前所述上面，具有群同态的群构成了一个范畴。艾伦伯格&Mac电脑 莱恩发明范畴理论正是为了澄清并比较这些连接。重要的是形态在范畴之间，由函子给出。非正式地，函子是类别之间的结构-保护映射。给定两个类别\（\mathbf{C}\）和\（\mathbf{D}\），来自的函子\（F\）\（\mathbf{C}\）到（\mathbf{D}\）发送的对象\（\mathbf{C}\）到\（\mathbf{D}\）的对象，以及\（\mathbf{C}\）以这种方式转换为\（\mathbf{D}\）的形态（mathbf{C}）中的态射合成被保留，即。，\（F（黑体符号{g}\circ\boldsymbol{F}）=F（黑体字{g}）\圆圈F（粗体符号{F}），并且保持了同一态射，即。，\（F（\mathbf{id}_X（_X））=\mathbf{标识}_{FX}.\）紧接着就是函子保持了图在范畴之间的交换性。同调、上同调、同伦、K-理论都是函子。

功率设置操作提供了一个更直接的例子根据集的类别产生两个函子定义其对函数的操作。因此给定一个集合\（X，\wp（X）是\（X）的常用子集集，并且给定一个函数\（\boldsymbol{f}:X\rightarrow Y，\wp（\bodsymbol{f}）：\wp（X）\rightarrow\wp（Y）\）取一个子集\（X\）的（A\）并将其映射到\（\boldsymbol{f}\）限制为\（X\）It中的\（A\）很容易验证，这定义了一个范畴为设置为自身。

一般来说，在两个给定的范畴之间有许多函子，并且它们是如何联系在一起的问题不言自明。例如，给定类别\（\mathbf{C}\），总是有来自\（\mathbf{C}\（\mathbf{C}\）到自身的对象/形态。特别是在那里是集合范畴上的恒等函子。

现在，恒等函子以自然的方式与幂集函子相关如上所述。实际上，给定一个集合\（X\）和它的功率集\（\wp（X）\），有一个函数\（\mathbf{h} X（_X）\)它接受一个元素\（x\）的（x\）并将其发送到单例集合\（\{x\}\），\（X\）的子集，即\（\wp（X）.\）的元素这个函数实际上属于由集合范畴的对象\（\{\mathbf{h} 是（_Y）：Y\rightarrow\wp（X）|Y\text{in}\mathbf{Ob（Set）}\}.\）此外，它满足以下交换性条件：给定任意函数\（\boldsymbol{f}:X\右箭头Y\）恒等函子产生相同的函数\（\boldsymbol{Id}（\bodsymbol{f}）：\粗体符号{Id}（X）\rightarrow\boldsymbol{Id}（Y）。\）交换性条件因此成为：\（\mathbf{h} 是（_Y）\circ\boldsymbol{Id}（\boldsymbol{f}）=\wp\电路\mathbf{h} _X。\)因此，函数家族\（\boldsymbol{h}（{\text{-}}）\）将两个函子以自然的方式。这样的态射族称为自然变换在函子之间。同样，自然理论模型之间的转换产生了通常的结果传统集合论中的结构同态框架。

上述概念虽然重要，但并不是类别的基础理论后一个标题可以说包括以下概念限制/限制；反过来，这些都是范畴理论的基石，伴随函子的概念，1956年由丹尼尔·菅直人首次定义，1958年出版。

伴随函子可以被认为是概念上的逆函子。这可能最好用一个例子来说明。让\（U:\mathbf{Grp}\rightarrow\mathbf{Set}\）成为健忘函子，也就是发送给每个函子的函子组\（G\）其基础集元素\（U（G）\）和到组同态\（\boldsymbol{f}:G\rightarrow H\）基础集函数\（U（粗体符号{f}）：U（G）\右箭头U（H）。\）换句话说，（U）忘记了群结构，忘记了语态是群的事实同态。类别\（\mathbf{Grp}\）和\作为类别，（\mathbf{Set}\）与彼此之间。（一个简单的参数运行如下：类别\（\mathbf{Grp}\）有一个零对象，而\（\mathbf{Set}\）不会。）因此，在通常情况下，我们肯定找不到相反的代数意义，对于函子（U）来说在给定集合上定义组结构的非同构方法\（X），人们可能希望在这些结构中至少一个是函子，与函子（U）系统相关什么是与遗忘所有群理论结构与集合的获得？它是为了构造一个仅基于群的概念从集合中分组没有其他内容，即没有无关的关系或数据。这样的群体“自由”建造；也就是说，除了理论公理强加的那些。换句话说，所有这些在从给定集构造组的过程中记住结果结构必须是一个组。这样一个建筑存在；它是函数的，它产生所谓的自由群换句话说，有一个函子\（F:\mathbf{Set}\rightarrow\mathbf{Grp}\），向任何集合\（X）分配自由组\（X）上的（F（X）），以及每个函数\（\boldsymbol{f}:X\右箭头Y\），组同态\（F（\boldsymbol{F}）：F（X）\rightarrow F（Y）\），在明显的方式。情况可以这样描述：我们有两个概念语境、群体理论语境和集合理论上下文，以及两个函子从一个上下文系统地移动到其他方向相反。其中一个函子是初等函子，即健忘函子没有信息。另一个函子在数学上很重要重要。令人惊讶的事实是，（F）与\（U）根据一个简单的规则，在某种意义上，它来自\（U.）伴随情况的一个显著特征是正是基本数学和逻辑构造是由给定的且通常是基本的函子产生的。

（U）和（F）是概念上的反比其形式表达如下：首先应用\（F\），然后则\（U \）不会产生原始集合\（X \），但存在是（X）和\（UF（X）.\）事实上，有一个函数\（\eta\）：\（X\右箭头UF（X）\），称为的单位附加，它只将\（X\）的每个元素发送到自身在\（UF（X）\）中，此函数满足以下要求普遍性质：给定任何函数\（\boldsymbol{g}:X\rightarrow U（g）\），有一个唯一的群同态\（\boldsymbol{h}:F（X）\rightarrow G\），这样\（U（\bolssymbol}h}）\circ\eta=\boldsymbol{g}.\）换句话说，\（UF（X）\）是插入元素问题的最佳解决方案\（X）分组（在数学术语）。在相反的顺序，我们得到一个态射（xi:FU（G）\右箭头G\），称为附加词,满足以下普遍性质：任意群同态\（\boldsymbol{g}:F（X）\rightarrow g\），有一个唯一的函数\（\boldsymbol{h}:X\右箭头U（G）\），这样\（\xi\circF（\boldsymbol{h}）=\boldsymbol{g}\）。换句话说，\（FU（G）\）是找到问题的最佳解决方案将（G）表示为自由群的商。如果\（U\）和\如果（F）是彼此之间的简单代数逆，我们将得到以下标识：\（UF=I_{mathbf{Set}}\）和\（FU=I_{mathbf{Grp}}），其中\（I_{mathbf{Set}}\）表示身份（\mathbf{Set}\）和（I_{mathbf}Grp}\）标识上的functor（\mathbf{Grp}.\）上的函子在这种情况下当然不成立。然而，有些身份确实存在：它们最好借助于交换图来表达：

\（\开始{数组}{rcl}U&\xrightarrow{\eta\，\circ\，U}UFU（&U）\\&\searrow&\downarrow\scriptsize{U\circ\xi}\\&使用（&U）\结束｛array｝\）

\开始{array}{rcl}F&\xrightarrow{F\，\circ\，\eta}（&F）\\&\serrow&&\向下箭头\scriptsize｛\xi\circ F｝\\&F（&F）\结束{数组}

其中对角箭头表示适当的自然身份转换。

这只是一个非常常见的情况：结构可以描述为由适当的健忘引起的两个充分选择的范畴之间的函子。的数量可以描述为伴随词的数学结构很简单惊人的。尽管这些结构的细节各不相同相当重要的是，它们都可以用相同的语言说明了数学概念和数学思维。在我们给出更多示例之前伴随函子的抽象定义是有序的。

下面是关于伴随函子的一些重要事实。首先，伴随词在同构之前是唯一的；剩下的任意两个函子\（G\）的邻接点\（F\）和\（F'\）是自然同构的。其次，伴随的概念是形式上的等价于普遍态射（或构造）的概念，并且表示函子的值。（请参见，例如Mac 车道1998年，第四章）这些概念中的每一个都表现出给定情况的方面。第三，左伴随保留了所有存在于其领域中的结肠炎，以及对偶的右伴随保留其域中存在的所有限制。

我们现在给出一些伴随情况的例子来说明概念的普遍性。

1. 而不是让健忘的函子进入在某些情况下，只会忘记结构的一部分。这里有两个标准示例：
   • 有一个明显的健忘函子\（U\）：AbGrp公司\（向右箭头）抗体Mon从阿贝尔范畴群到交换幺半群范畴：（U）忘记逆运算。函子\（U\）有左伴随\（F\）：抗体Mon\（向右箭头）AbGrp公司如果给定一个交换幺半群\（M\），给它赋值一个可能的最佳交换幺半组\（F（M）\），以便\（M\）可以嵌入\（F（M）\）作为子单体。例如，如果\（M\）是\（\mathbb{N}\），然后是\（F（\mathbb{N{）\）“是”\（\mathbb{Z}\）与\（\mathbb{Z}.\）同构
   • 同样，有一个明显的健忘函子\（U:\mathbf{Haus}\rightarrow\mathbf{Top}\）从Hausdorff拓扑空间的范畴到忘记了Hausdorff条件的拓扑空间。再一次，这里是函子\（F:\mathbf｛Top｝\rightarrow\mathbf｛Haus｝\）使得\（F\dashv U.）给定一个拓扑空间\（X，F（X）生成最佳Hausdorff空间\（X\）：它是\（X\）与对角线的\（\overline{\Delta}_X\subseteq X\ times X\），这是一个等价关系。在与前面的例子相比，我们有一个嵌入，这个当我们得到原始结构的商时。
2. 现在考虑一下契约Hausdorff空间千瓦时和健忘函子\（U\）：千瓦时\（\rightarrow\mathbf{Top}\），它忘记了紧凑性属性和分离属性。左边与这个相邻\（U）是Stone-Cech压实。
3. 有一个健忘函子\（U：\文本bf{模式}_R\右箭头\）AbGrp公司从\（R\）-模块类别到交换群的范畴，其中\（R\）是交换环带装置。函子\（U\）忘记\（R\）对的操作群（G.）函子（U）有左和右伴随。左边的伴随词是\（R\otimes-\）：AbGrp公司\（\rightarrow\mathbf{模式}_R\)它发送一个阿贝尔组\（G\）到张量积（R\ otimes G\），右伴随由函子给出\（\mathbf{Hom}（R，-）\）：AbGrp公司\（\右箭头\mathbf{模式}_R\)分配给任何组\（G\）线性映射的模\（\mathbf{Hom}（R，G）。）
4. 类别\（\mathbf{C}\）和\（\mathbf｛D｝\）是偏序集，在这里值得特别注意。伴随词此上下文中的函子通常称为加洛瓦连接.设\（\mathbf{C}\）为偏序集。考虑一下对角线函子\（Delta:\mathbf{C}\rightarrow\mathbf{C}\times\mathbf-{C}\），其中\（Delta（X）=\langle X，X\范围\）和代表\（\粗体符号{f}：X\rightarrow Y，\Delta（\boldsymbol{f}）=\langle\boldsymbol{f}，\粗体符号{f}\rangle:\langle X，X\rangle\rightarrow\langle Y，Y\rangle.）在在这种情况下，\（\Delta\）的左伴随是副积，或sup，和\（\ Delta \）的右边伴随的是产品或inf。伴随情况可以用以下特殊形式描述：\[\压裂{X\vee Y\le Z}{X\le Z，Y\le Z}\Updownarrow\qquad（平方米）\压裂{Z\leX\楔形Y}{Z\le Y，Z\leX}\Updownarrow\]

   其中垂直双箭头可以解释为规则双向推理。

5. 也可以介绍含义。考虑一个带有参数：\（-\楔形X）：\mathbf{C}\rightarrow\mathbf{C}。\）它可以很容易地验证，当\（\mathbf{C}\）是偏序集时函数\（-\楔形X）\）是保序的，因此函子。（-\wedge X）的右伴随是函子它产生\（\mathbf{C}\）的最大元素，因此带\（X\）的下确界小于\（Z.）此元素为有时称为\（X\）或更多的相对伪补码通常含义。它表示为X \（\右箭头\）Z轴或通过\（X\supset Z.）附加词可以表示如下：\[\压裂{Y\wedge X\le Z}{Y\le X\Rightarrow Z}\Updownarrow\]
6. 可以从最后一个附加词。实际上，让\（Z\）是的底部元素\（\bot\）格子。然后，由于\（Y\wedget X\le\bot\）始终为true，因此如下所示\（Y\le X\Rightarrow\bot\）也总是正确的。但由于\（X\Rightarrow\bot\le X\）总是这样，我们得到了分子因此，（X\Rightarrow\bot\wedget X）为与\（X.\）不相交的最大元素。因此，我们可以将\（\neg X=_{def}X\Rightarrow\bot.\）
7. 极限、结肠炎和范畴理论可以描述为伴随词。因此，产品和副积是伴随，均衡器、协均衡器、回调也是伴随和外推等。这就是为什么伴随是中心范畴理论本身：因为范畴理论产生于伴随情境。
8. 安范畴的等价性是的特例相邻性。的确，如果在上述三角形恒等式中箭头\（eta:I_{mathbf{C}}\右箭头GF\）和（xi:FG\右箭头I_{mathbf{D}\）是天然的同构，然后是函子\（F\）和\（G\）构成等效类别的。实际上，它是重要而非范畴同构的概念。

直接从附加词。例如，考虑暗示。设\（Z=X\）然后我们得到分子\（Y\楔形X\ le X\），这在偏序集中总是正确的（很容易验证）。因此，\（Y\le X\Rightarrow X\）也适用于所有\（Y\），只有当\（X\Rightarrow X=\top\）是晶格的顶部元素时才可能。不仅如此逻辑运算可以描述为伴随吗作为基本操作的伴随出现。事实上，可以使用伴随词定义各种结构、分配格、Heyting代数，布尔代数等（见Wood，2004。）从前面简单的例子：如何使用伴随形式给出各种逻辑的句法表示理论。此外，这是一个关键要素，即标准普遍量词和存在量词可以表现为与替换操作相关。因此，量词位于与其他逻辑操作相当，与逻辑的其他代数方法。（例如，参见Awodey 1996或雨衣 Lane&Moerdijk 1992年。）更一般地说，Lawvere表示伴随函子如何将句法和语义联系起来。（见Lawvere1969年b）

二元性在数学中起着重要作用借助类别之间的等价性进行描述。在其他单词，许多重要的数学定理可以翻译为关于伴随函子存在性的陈述，有时满足附加属性。这有时被视为表达概念的定理的内容。考虑以下基本情况：让\（\mathbf{C}\）成为类别其对象是局部紧阿贝尔群和态射是连续群同态。然后，蓬特里亚金二重性定理相当于声称范畴（mathbf{C}）是等价于类别\（\mathbf{C}\）°，即相反的类别。当然，准确的说法要求我们描述函子\（F:\mathbf{C}\rightarrow\mathbf{C}\）°和\类别。

斯通在年发现了另一个众所周知的重要二元性三十多岁，现在以他的名字命名。在一个方向上布尔代数产生一个拓扑空间，而在另一个方向，来自a（紧凑的Hausdorff和完全断开的）拓扑空间，得到布尔代数。此外，这通信是函数的：任何布尔同态都被发送到拓扑空间的连续映射，反之，任何连续映射空间之间的映射被发送到布尔同态。在其他单词，在布尔代数和布尔空间范畴的对偶（也是称为石头空间）。（见Johnstone 1982介绍和更多发展。）类别之间的连接代数结构与拓扑范畴的对立面由斯通定理建立的结构只是一个例子这是一个普遍现象，它确实吸引了很多人类别理论家的大量关注。分类研究对偶定理仍然是一个非常活跃和重要的领域很大程度上受到斯通的结果的启发。（对于最近的逻辑应用，例如，见Makkai 1987，Taylor 2000，2002a，2002b，Caramello 2011。）

2.简要历史素描

很难公正地看待字段。特别是，不可能提及所有为其快速发展做出了贡献。带着这句谨慎的话顺便说一下，我们将看看一些主要的历史线索。

范畴、函子、自然变换、极限和共线几乎是凭空出现在艾伦伯格的一篇论文中&雨衣 莱恩（1945），题为“自然的一般理论等价物。”我们说“几乎”是因为他们早期的论文（1942年）包含工作中的特定函子和自然变换，仅限于团体。希望澄清和抽象他们1942年的结果领导Eilenberg&Mac 设计范畴理论的路径。这个正如标题所示，当时的中心概念是自然转化。为了给出后者，他们借用卡尔纳普的术语定义了函子，并在为了定义functor，他们借用了category这个词来自亚里士多德、康德和皮尔斯的哲学，但是从数学上重新定义它。

在他们1945年的论文之后，还不清楚类别的概念理论将不仅仅是一种方便的语言；这确实是保持了大约15年的现状。范畴理论是Eilenberg&Steenrod（1952）在关于代数拓扑学基础的有影响力的书，作者Cartan&Eilenberg（1956），在一本关于同调代数。（奇怪的是，尽管艾伦伯格和斯蒂恩罗德定义了类别，Cartan&Eilenberg只是假设了它们！）这些书籍让新一代数学家学习代数拓扑和同调代数，掌握图解法。的确，如果没有追寻图表，这两本书中的许多结果似乎不可思议，或者至少需要一个相当复杂的演示。

随着格罗森迪克（1957）的地标性建筑，情况发生了根本性的变化题为“阿尔盖布雷同源点”的论文作者在本质上使用了类别来定义和构建更一般的理论，然后他（格罗森迪克1957）应用于特定领域，例如代数几何。菅直人（1958）证明了伴随函子包含极限的重要概念和结肠炎，并可以捕获其他领域的基本概念（他的案例，同伦理论）。

在这一点上，范畴理论变得更加方便语言，凭借两个发展。

1. 运用公理方法和范畴语言，Grothendieck（1957）定义为抽象的时尚类型类别，例如加法类别和阿贝尔类别，展示了如何在这些类别中执行各种构造，并证明结果。（应该指出的是，Mac Lane1950年的一篇论文曾尝试过引入某个键想法，例如使用箭头来定义某些基本概念Buchsbaum基本上引入了以“exact”为名独立的阿贝尔范畴类别”。）简而言之，Grothendieck展示了如何在抽象环境中开发同调代数的一部分排序。从那时起，特定类别的结构，例如拓扑空间\（X\）上的滑轮类，可以看作某一类型的抽象范畴的标记，例如阿贝尔式类别。因此，人们可以立即看到，例如，同调代数可以应用于代数几何图形。此外，寻找其他类型的抽象类别，这些类别将封装基本的各种数学领域的形式方面阿贝尔范畴封装了同调的基本方面代数。
2. 很大程度上要感谢Freyd和Lawvere的努力理论家逐渐认识到伴随函子。不仅给定的伴随词的存在函子允许定义抽象类别（大概通过这种方式定义的人具有特权地位），但作为我们在前面提到过各种字段可以被视为等同于特定字段的存在特定类别之间的函子。到20世纪70年代初伴随函子的概念被视为范畴的核心理论。

随着这些发展，范畴理论成为一个独立的领域研究，可以发展纯范畴理论。事实上，它作为一门学科，它确实发展迅速，但在应用方面，主要是在其源上下文中，即代数拓扑和同调代数，也可以在代数几何和后代数的出现Lawvere的普适代数博士论文。本论文也构成了该领域历史上的里程碑提出类别的类别作为类别的基础理论，集合论，因此，整个数学，以及使用范畴研究的逻辑方面数学。

在20世纪60年代，Lawvere概述了基本框架对于逻辑和基础的全新方法数学。他取得了以下成就：

• 公理化了集合的范畴（Lawvere 1964）和范畴的范畴（Lawvere 1966）；
• 对独立于句法选择和逻辑完备性定理概述系统可以通过分类方法获得（Lawvere 1967）；
• 特征化笛卡尔闭范畴并显示其与逻辑系统和各种逻辑悖论的联系（劳弗尔1969);
• 表明量词和理解方案可以捕获为给定初等运算的伴随函子（Lawvere1966, 1969, 1970, 1971);
• 认为伴随函子通常应该演奏大调通过“范畴主义”概念的基础性作用（Lawvere 1969）。

与此同时，Lambek（196819691972）从以下方面描述了类别演绎系统和使用的范畴方法证明理论目的。

由于格罗森迪克和他的学校：一所地形。尽管地形出现在20世纪60年代，在代数几何的背景下，再次从思想上在格罗森迪克，这当然是劳弗尔和蒂尔尼（1972）的作品推动拓扑的基本公理化获得基础地位。非常粗略地说，基本拓扑是具有足够丰富的逻辑结构以发展的范畴大多数“普通数学”，也就是说教给数学本科生。因此，基本拓扑可以被认为是集合的范畴理论。但它也是一个广义拓扑空间，从而提供直接连接在逻辑和几何之间。（更多关于分类的历史逻辑，见Marquis&Reyes 2012，Bell 2005。）

20世纪70年代，地形概念在许多不同的方向。最早的外部应用程序代数几何是集合论中的一门学科，在集合论中，各种独立性结果根据地形进行了重铸（Tierney 1972，Bunge 1974，但还有Blass&Scedrov 1989，Blass&Scedrov 1992，Freyd 1980，雨衣 Lane&Moerdijk 1992，Scedrov 1984）。与的连接人们注意到了直觉主义和更普遍的建构主义数学早期，地形仍然用于研究各种模型直觉主义和建构主义的各个方面（Lambek和Scott，1986年，雨衣 Lane&Moerdijk 1992年，Van der Hoeven&Moerdijk1984年a、1984年b、1984年c、1984年Moerdijk、1995年a、1998年，Moerdijk和Palmgren 1997年，Moerdij和Palmgren 2002年，Palmgrem2012年，Palmgren 2018年。有关拓扑理论历史的更多信息，请参见McLarty 1992和Bell 2012）。

最近，拓扑理论被用于研究各种建构数学或集合论的形式（Joyal和Moerdijk1995、Taylor 1996、Awodey 2008）、递归性和模型一般的高阶类型理论。介绍所谓“有效拓扑”及其公理的探索合成域理论值得一提（Hyland 1982，Hyland1988年、1991年，海兰德等1990年，麦克拉蒂1992年，雅各布斯1999年，Van Oosten 2008年，Van-Oosten2002年和参考文献其中）。Lawvere的早期动机是提供一个新的基础微分几何是一个活跃的研究领域，现在被称为“合成微分几何”（Lawvere 20002002，Kock 2006，Bell 1988，1995，1998，2001，Moerdijk&Reyes1991). 这只是冰山一角；地形可能被证明是对于21世纪来说，就像李集团对于20世纪一样。

从20世纪80年代至今，范畴理论有了新的发现应用。在理论计算机科学中，范畴理论现在是根深蒂固，为发展做出贡献新的逻辑系统和编程的语义。（皮特斯2000、Plotkin 2000、Scott 2000以及其中的参考文献）。它数学的应用越来越多样化，甚至令人感动论理论物理的高维范畴理论-这是对范畴理论的什么高维几何就是平面几何——研究所谓的“量子”群”和量子场论（Majid 1995，Baez&Dolan 2001和其他这些作者的出版物）。

3.哲学意义

范畴理论从两个方面挑战哲学家必然相互排斥。一方面，它肯定是哲学的任务是澄清一般认识论和范畴和范畴方法的本体论地位数学实践和基础景观。上另一方面，哲学家和哲学逻辑学家可以利用范畴理论与范畴逻辑探讨哲学与哲学逻辑问题。我现在依次简要地讨论这些挑战。

范畴理论现在是数学家的常用工具工具箱；这一点很清楚。同样显而易见的是，范畴理论组织和统一了许多数学。当代数学如果没有范畴理论，领域就不会是现在的样子，因为实例代数拓扑、同调代数、同伦理论和同伦代数、表示论、算术几何和代数几何。（例如，请参见Mac 1971、1998车道或没有人会否认这些简单的事实。此外，现代数学的很大一部分现在依赖于在很大程度上依赖于对新的图形符号，一方面，在不同的层次上另一方面，抽象。不仅仅是范畴理论在该框架内发展起来的数学学科使用交换图，尽管这本身会导致一些有趣的哲学探索，例如在德托弗利2017年，但类别理论家已经看到了发展系统化的必要性和正式的图形语言直接表达各种形式的论证。（例如，参见Joyal&Street 1993；Joyal，Street&Verity 1996年；Fong&Spivak 2019，其他互联网资源。）鉴于自布尔巴吉，数学是在年“同构”完成的在某些情况下，现在已“达到等效”或“双等效”，甚至达到“n-等价”。（为了澄清这些抽象层次意味着，见《马奎斯2014》和《马奎斯特2016》。）

在分类框架中做数学几乎总是与在集合理论框架（使用布尔拓扑的内部语言时例外；只要拓扑不是布尔的，那么主要的区别在于逻辑是直觉的). 因此，按现状通常，当采用不同的概念框架时关于研究对象性质、性质的基本问题所涉及的知识和所用方法的性质必须重新评估。我们将依次讨论这三个方面。

范畴内数学对象性质的两个方面必须强调框架。首先，对象总是在类别。对象存在于环境中并依赖于环境类别。此外，物体的特征是形态进入它和/或从它出来的形态。第二，对象是总是以同构为特征（在最好的情况下，达到独特的同构）。例如，不存在这样的事情这个自然数。然而，可以说像这样的事情概念自然数。事实上自然数的概念可以通过Dedekind-Peano-Lawvere公理，但这个概念在具体情况取决于解释的背景，例如，集合的类别或拓扑上的槽的拓扑空间。因此，在分类语境。很难抗拒这样的诱惑范畴理论体现了结构主义的一种形式，它描述了作为结构的数学对象，因为后者大概是总是以同构为特征。因此，这里的关键是在一个范畴内工作的身份标准框架以及它与为以下对象指定的任何标准的相似性通常被认为是形式。标准反对意见之一与这个观点相反的是，如果对象被认为是结构和仅作为摘要结构，这里的意思是它们与任何特定或具体的表示分离，然后在数学世界中找不到它们。（请参见Hellman 2003，针对反对意见的标准表述，McLarty1993年，Awodey 2004，Landry&Marquis 2005，Shapiro 2005，Landry2011年，Linnebo&Pettigrew 2011年，Hellman 2011年，Shapiro 2011年，McLarty 2011，Logan 2015，获取有关该问题的相关材料。）

制作方式略有不同情境感是将数学对象视为类型有不同的代币上下文。这与人们所发现的情况截然不同集合论，其中数学对象是唯一定义的它们的参考文献是直接给出的。虽然可以腾出空间通过等价类或同构类型在集合论中的类型一般来说基本的其中的身份标准框架由可拓性公理给出，因此，最后，参考特定的集合。此外，它可以我们认为类型与其标记之间的关系是不由成员关系充分代表。A类标记不属于类型，它不是类型的元素，但相反，它是它的一个实例。在范畴框架中，一个人总是指的是代币类型，以及理论直接特征是类型，而不是标记。在这个框架中，不必定位类型，但它的标记至少在认识论要求的数学。这只是反射抽象和具体之间的相互作用认识论意义（而非后者的本体论意义表达式。）（参见Ellerman 1988、Ellerman-2017、Marquis 2000、Marquiss2006年，马奎斯2013年）

范畴理论的历史为探索并考虑到历史敏感性数学认识论。例如，很难想象如何代数几何和代数拓扑现在没有分类工具。（例如，参见Carter 2008，Corfield 2003、Krömer 2007、Marquis 2009、McLarty 1994、McLarty2006年）范畴理论导致了各种概念的重新概念化基于纯粹抽象基础的数学领域。此外，当在分类框架中开发时，传统边界学科之间被打破并重新配置；只提一句重要的例子是，拓扑理论在代数几何和逻辑代数几何直接转化为逻辑，反之亦然。起源于几何的某些概念更为清晰作为逻辑（例如，相干拓扑的概念）。代数拓扑也潜伏在背景中。（例如，见Caramello2018年，对地形作为桥梁的理念进行了系统开发数学方面。）在一个不同但重要的方面，可以进行辩论数学和元数学之间的区别是不可能的以过去的方式表达出来。所有这些问题都必须重新考虑和重新评估。

更接近数学实践，范畴理论允许已经改变和继续改变的方法的发展数学的面貌。可以说范畴理论代表着一个最深刻和最强大的二十世纪数学思想的发展趋势：探索给定的情况。从这个意义上说，范畴理论是Dedekind-Hilbert-Noether-Bourbaki传统，强调公理方法和代数结构。（对于不同的阅读，请参阅Rodin 2014。）用于描述特定数学领域，范畴理论揭示了它的框架区域建成后，整体结构保持稳定，力量和连贯性。此特定区域的结构，在理智，可能不需要依赖于任何东西，也就是说，依赖于某些固体土壤，因为它很可能只是更大网络的一部分没有任何阿基米德点，就像漂浮在太空中一样。要使用众所周知的隐喻：从分类的角度来看，纽拉斯的这艘船已经变成了宇宙飞船。

然而，范畴理论是否应该“在同一平面，“可以说，作为集合论，它是否应该被视为作为数学基础的集合论的一个重要替代方案，或者从另一个角度来看它是否是基础性的。（那个这个问题更有力地适用于拓扑理论不会耽搁我们。）

Lawvere从一开始就提倡一个类别的概念可以用作基础框架。（见Lawvere 19641966。）这项建议现在部分取决于高维范畴，也称为弱范畴。（例如，见Makkai 1998。）拓扑学理论在七十年代带来了新的可能性。雨衣 Lane建议某些地形被视为数学。（参见Mac Lane 1986。）Lambek提出了所谓的自由拓扑是最好的框架，从这个意义上说尽管如此，具有不同哲学观的数学家可能同意采用。（参见Couture&Lambek 1991、1992、Lambek1994年）他还认为没有地形可以彻底满足一位古典数学家的要求。（见Lambek 2004）（关于更多关于范畴理论家的各种基本观点，参见Landry&Marquis 2005年）

支持和反对范畴理论的论据已经提出基本框架。（Blass 1984调查了范畴论和集合论。费弗曼1977年、贝尔1981年和赫尔曼2003年反对范畴理论。快速查看Marquis 1995概述和提案以及2004年迈凯轮和2004年Awodey的回复Hellman 2003）这场辩论进展缓慢，但毫无疑问。一直以来认识到有可能在范畴理论的语言，无论是以初等形式集合范畴理论Makkai抽象数学结构主义基础，SFAM。因此，社区似乎不再质疑逻辑和使用术语时，这些方法的概念自主性Linnebo&Pettigrew于2011年推出。主要问题似乎是一个人是否能为其中一个框架。（参见Hellman 2013，Landry 2013，Marquis 2013b，迈凯轮2018。）

事实上范畴理论本身尚待澄清。因为可能有很多思考高维范畴宇宙的不同方式作为数学基础。可以肯定地说，我们现在有了很好地理解所谓的类别和重要性已经在该框架中获得了数学结果例如，Cisinski 2019的演示。）适合的语言任意高维范畴的宇宙仍然必须与数学的明确公理一起呈现。（请参见Makkai 1998为此类语言的简短描述。一个不同的基于同伦理论但具有闭合连接的方法Voevodsky等人提出了高维范畴并正在大力追查。看这本书同伦类型理论Awodey等人，2013年）

使用范畴理论进行研究是一个既定事实逻辑和哲学。事实上，范畴逻辑，通过分类方法已经实施了大约40年，现在仍然如此充满活力。在分类逻辑是：

• 范畴学说的层次：规则范畴，相干范畴、Heyting范畴和Boolean范畴；全部的这些对应于定义良好的逻辑系统，以及演绎系统和完备性定理；他们认为这符合逻辑概念，包括量词，自然地以特定的顺序出现并不是随意组织的（见沃尔什2017哲学运用范畴理论和Halvorson&Tsementzis 2018从以下角度看科学理论）；
• 乔亚尔对直觉主义Kripke-Beth语义的推广层语义逻辑（Lambek&Scott 1986，Mac 车道&Moerdijk 1992）；
• 所谓的连贯和几何逻辑，其实用性和概念意义尚待探索（Makkai和Reyes1977年，Mac 莱恩·莫迪耶克1992年，约翰斯通2002年，卡拉梅尔2011年b月、2012年a月）；
• 一般模型的概念和理论的拓扑分类（Makkai&Reyes 1977年，Boileau&Joyal 1981年，Bell 1988年，Mac Lane&Moerdijk 1992，Johnstone 2002，Caramello 2012b）；
• 强概念完整性的概念及其相关定理（Makkai&Reyes 1977，Butz&Moerdijk 1999，Makkai-1981年，皮特斯1989年，约翰斯通2002年）；
• 连续统假设独立性的几何证明以及集合论的其他强大公理（Tierney 1972，Bunge 1974，Freyd1980、1987、Blass&Scedrov 1983、1989、1992、Mac 车道&Moerdijk 1992）；
• 建构数学的模型和发展（参见参考书目如下）；
• 合成微分几何，标准和非标准分析（Kock 1981，Bell 1998，2001，2006）；
• 所谓有效地形的建造，其中自然数上的函数是递归的（McLarty 1992，Hyland 1982年、1991年、Van Oosten 2002年和Van Oosten 2008年）；
• 线性逻辑、模态逻辑、模糊集和一般高阶类型理论（Reyes 1991，Reyes&Zawadoski1993年，Reyes&Zolfaghari 1991年，1996年，Makkai&Reyes 1995年，Ghilardi&Zawadowski 2002年，Rodabaugh&Klement 2003年，Jacobs1999年，Taylor 1999年，Johnstone 2002年，Blute&Scott 2004年，Awodey&Warren 2009、Awodey等人2013、Kishida 2018、Cockett&Seely 2018）；
• 一种称为“草图”的图形语法（Barr&Wells1985、1999、Makkai 1997a、1997b、1997c、Johnstone 2002）。
• 量子逻辑，量子物理和量子的基础场论（Brunetti et al.2003，Abramsky&Duncan 2006，Heunen et al.2009，Baez&2010年入住，2011年Baez&Lauda酒店，2011年Coecke酒店和2011年Isham酒店，Döring 2011，Eva 2017，Coecke&Kissinger 2018）。

逻辑中的分类工具提供了相当大的灵活性事实证明建构主义和直觉主义数学可以用适当的分类设置。同时，标准集理论概念，例如塔斯基的语义，已经找到了自然的概括在类别中。因此，范畴逻辑的根源在于逻辑本身在二十世纪发展起来的，同时提供了功能强大、新颖的框架，与数学。

范畴理论也涉及更一般的哲学问题。从前面的讨论中可以明显看出理论和范畴逻辑应该对几乎所有人产生影响从同一性的本质看逻辑哲学中的问题替代逻辑问题的标准，范畴理论总是对这些主题有了新的认识。当我们转向本体，特别是形式本体：部分/整体关系、系统边界、空间观念等。Ellerman（1988）勇敢地试图表明范畴理论构成了共性理论，其性质与集合论，也被视为普适理论。正在从移动从本体论到认知科学，MacNamara和Reyes（1994）尝试过使用范畴逻辑来提供不同的逻辑参考。特别是，他们试图澄清计数名词与量词的关系。其他研究人员正在使用范畴理论研究复杂系统、认知神经网络和类比。（例如，参见Ehresmann 2018，Ehresman&Vanbremeersch 1987、2007、Healy 2000、Healy&Caudell 2006、，Arzi-Gonczarowski 1999，Brown&Porter 2006。）最后，科学哲学家已经转向范畴理论，以摆脱一种新的关于结构主义在科学中的相关问题。（请参阅，以了解例如，Brading&Landry 2006，Bain 2013，Lam&Wüthrich2015年，Eva 2016年，Lal&Teh 2017年，Landry 2007年，2012年，2018年。）

范畴理论提出了许多哲学挑战希望在未来的几年内，它将被采用。

参考文献

读者可能会发现以下内容很有用：

程序阅读指南

本指南和上述文本中的引文都可以是在下面的列表中找到。

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其他互联网资源

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• 类别理论邮件列表（有许多链接和有用信息）
• n类咖啡馆，一个关于高维类别、物理学和哲学的博客
• nLab（关于类别和高维类别的开放存取资源）
• 逻辑问题彼得·史密斯的逻辑博客。它包含一个关于范畴理论的页面，其中有许多参考和讨论。
• Catsters的范畴理论视频，介绍范畴理论的基本概念
• 数学3Ma一个数学博客，介绍了范畴理论、集合理论和其他数学主题的主要概念

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