登录
OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000040型 素数。
(原名M0652 N0241)
10564
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
请参见A065091号用于仅涉及奇素数的注释、公式等。有关素数幂的所有信息,请参见A000961号有关“几乎素数”的贡献,请参见A002808年.
一个数字p是素数,当(且仅当)它大于1,并且除了1和p之外没有正除数。
当且仅当一个自然数正好有两个(正)除数时,它才是质数。
一个素数正好有一个正除数1。
Kaoru Motose的论文如下所示:“设q是梅森数2^p-1的素数除数,其中p是素数。那么p是2的阶(mod q)。因此p是q-1和q>p的除数。这表明存在无穷多个素数。”-Pieter Moree,2004年10月14日
1不是素数,因为如果素数包含1,那么自然数n分解为素数乘积的因式分解就不是唯一的,因为n=n*1。
素数(n)和pi(n)是反函数:A000720美元(a(n))=n,a(n(A000720美元(m) )=a(n)。一个(A000720美元(n) )=n,如果(且仅当)n是素数。
1949年5月9日EDSAC电子计算机计算出的第二个序列(见Renwick链接)-俄罗斯考克斯2006年4月20日
每个素数p>3都是前一素数素数(n)与非零系数c(n)和|c(n)|<prime(n)的线性组合-阿玛纳斯·穆尔西,富兰克林·T·亚当斯-沃特斯约书亚·祖克,2006年5月17日;澄清人查伊姆·洛文2015年7月17日
“质数”的希腊音译是“Protos Arithmos”-丹尼尔·弗格斯2009年5月8日[编辑:Petros Hadjicostas公司2019年11月18日]
一个数字n是素数,当且仅当它不同于零且不同于一个单位,并且n的每一个倍数都分解成因子,使得n至少可以除一个因子。这同样适用于整数(一个素数正好有四个除数(除数的定义放宽了,可以是负数)和正整数(素数恰好有两个不同的除数)-彼得·卢什尼2012年10月9日
孙志伟受连续素数交替和表示整数的猜想的启发,对任意正整数n,他猜想多项式P_n(x)=Sum_{k=0..n}a(k+1)*x^k在具有Galois群S_n的有理数域上是不可约的,而且P_n/2.似乎没有关于多项式不可约性的已知准则暗示了这个猜想-孙志伟2013年3月23日
关于a(2n)和Ramanujan素数的问题A233739型. -乔纳森·桑多2013年12月16日
发件人Hieronymus Fischer公司,2014年4月2日:(开始)
只有一个基数b的自然数,使得基数b的交替数字和为0(参见A239707型).
等价地:数字p>1,使得b=p-1是唯一的基数>=1,其中基数b的备用数字和为0。
等价:数字p>1,使所有基数1<=b<p-1的基-b交替数字和<>0。(结束)
整数n>1是素数当且仅当它不是具有公共差2的算术级数中的正整数之和-Jean-Christophe Hervé2014年6月1日
猜想:素数因子<=素数(n+1)的数字是{k|k^f(n)mod primorial(n)=1},其中f(n)=lcm(素数(i)-1,i=1..n)=A058254号(n) 和初生(n)=A002110号(n) ●●●●。例如,没有素因子<=素(7)=17的数字是{k|k^60 mod 30030=1}-加里·德特利夫斯2014年6月7日
Cramer猜想素数(n+1)-素数(n)<C log^2素数(n)等价于不等式(log素数(n+1)/log素(n))^n<e^C,因为n趋于无穷大,其中C是绝对常数-托马斯·奥多夫斯基2014年10月6日
我猜想,对于任何正有理数r,都有有限多个素数q_1,。。。,q_k使得r=Sum_{j=1..k}1/(q_j-1)。例如,2=1/(2-1)+1/(3-1)+1/2(5-1)+1/1(7-1)+1/3(13-1),其中2、3、5、7和13都是素数,1/7=1/-孙志伟2015年9月9日
我还猜想,对于任何正有理数r,都有有限多个素数p_1,。。。,使得r=Sum_{j=1..k}1/(p_j+1)。例如,1=1/(2+1)+1/(3+1)+1/(5+1)+1/(7+1)+1/(11+1)和1/(23+1),其中2、3、5、7、11和23都是素数,10/11=1/-孙志伟2015年9月13日
数字k是这样的((k-2)!!)^2==+-1(mod k)-托马斯·奥多夫斯基,2016年8月27日
不满足本福德定律[Diaconis,1977;Cohen-Katz,1984;Berger-Hill,2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
素数是1-sin(Pi*Gamma(s)/s)/sin(Pi/s)的整数根-彼得·卢什尼2018年2月23日
推测:对数a(n+1)-对数a(n)<1/n-托马斯·奥多夫斯基2023年2月17日
参考文献
M.Aigner和G.M.Ziegler,《书证》,柏林施普林格出版社,第2期。2001年版;见第3页。
T.M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第2页。
E.巴赫和杰弗里·沙利特,《算法数论》,第一章。8, 9.
D.M.Bressoud,因式分解和基本性测试,Springer-Verlag NY 1989。
M.Cipolla,“La determinazione asintotica dell'n-mo numero primo”,伦德。d.R.会计准则。《那不勒斯美术馆》,第3章,第八章(1902年),第132-166页。
R.Crandall和C.Pomerance,素数:计算视角,纽约州施普林格,2001年;见第1页。
Martin Davis,《算法、方程和逻辑》,S.Barry Cooper和Andrew Hodges编辑,第4-15页,《曾经和未来的图灵:计算世界》,剑桥,2016年。
J.-P.Delahaye,《Merveilleux nombres premiers》,《Pour la Science-Belin Paris》,2000年。
J.-P.Delahaye,《Savoir si un nombre est premier:facile》,《Pour La Science》,2003年第303(1)期,第98-102页。
迪亚科尼斯,佩西,《前导数字的分布和均匀分布模1》,《概率论》,51977,72-81,
M.Dietzfelbinger,多项式时间中的素数测试,Springer NY 2004。
M.du Sautoy,《初级音乐》,第四庄园/哈珀柯林斯出版社,2003年;见第5页。
J.Elie,“L'algorithme AKS”,摘自《求积》,第60期,第22-32页,2006 EDP-sciences,Les Ulis(法国);
W.&F.Ellison,《素数》,赫尔曼·巴黎1985
T.Estermann,《现代素数理论导论》,Camb。大学出版社,1969年。
甘地(J.M.Gandhi),《第n次素数公式》。程序。华盛顿州立大学数论委员会,96-106。华盛顿州立大学,普尔曼,华盛顿,1971年。
哈代和赖特,《数论导论》。第三版,牛津大学出版社,1954年,第2页。
彼得·希尔顿和让·佩德森,《数学挂毯:展示数学的美丽统一》,剑桥大学出版社,2010年,第(260-264)页。
H.D.Huskey,Derrick Henry Lehmer[1905-1991]。IEEE历史年鉴。计算。17(1995),第2期,第64-68页。数学。版本96b:01035,参考。http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1336709
赫胥黎,《素数的分布》,牛津大学出版社,1972年。
D.S.Jandu,素数和因子分解,无限带宽出版,加利福尼亚州北好莱坞,2007年。
E.Landau,Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,切尔西,纽约州,1974年。
D.H.Lehmer,通用计算机的筛选问题。数学。表格和其他计算、数学辅助工具。表格和其他计算辅助工具,7,(1953年)。6-14. 数学。版次14:691e
D.N.Lehmer,“从1到10006721的素数列表”,卡内基研究所,华盛顿特区,1909年。
W.J.LeVeque,《数论专题》。Addison-Wesley,雷丁,马萨诸塞州,2卷。,1956年,第1卷,第6章。
H.Lifchitz,《2000万人的提名表》(Tomes I&II),阿尔伯特·布兰查德(Albert Blanchard),巴黎,1971年。
R.F.Lukes、C.D.Patterson和H.C.Williams,《数值筛分设备:历史和一些应用》。Nieuw拱门。威斯康辛州。(4) 13(1995),第1期,113-139。数学。版次96m:11082,cfhttp://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=96m:11082
P.Ribenboim,《素数记录新书》,纽约斯普林格-弗拉格出版社,1995年。
P.Ribenboim,《大素数小书》,纽约斯普林格-弗拉格出版社,2004年。
H.Riesel,《素数和因子分解的计算机方法》,Birkhäuser Boston,Cambridge MA 1994。
B.Rittaud,“31415879。现任总理?“[‘这个数字是素数吗?’],《雷切切报》,第361卷,第70-73页,2003年2月15日,巴黎。
D.Shanks,数论中已解决和未解决的问题,第2版。编辑,切尔西,1978年,第1章。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
D.Wells,《素数:数学中最神秘的数字》,J.Wiley NY,2005年。
H.C.Williams和Jeffrey Shallit,计算机之前的整数分解。计算数学1943-1993:半个世纪的计算数学(温哥华,BC,1993),481-531,Proc。交响乐。申请。数学。,48,AMS,普罗维登斯,RI,1994年。数学。版次95m:11143
链接
M.Agrawal、N.Kayal和N.Saxena,PRIMES以P表示《数学年鉴》。,160:2(2004),第781-793页。[备用链路]
M.阿格拉瓦尔,“PRIMES is in P”简史
J.W.Andrushkiw、R.I.Andrushkuw和C.E.Corzatt,正整数的算术级数和表示《数学杂志》,第49卷,第5期(1976年11月),第245-248页。
匿名者,质数
克里斯蒂安·阿克斯勒,第n素数的新估计,arXiv:1706.03651[math.NT],2017年。
P.T.Bateman和H.G.Diamond,素数的百年阿默尔。数学。月份。,第103(9)卷,1996年11月,第729-741页。
A.Berger和T.P.Hill,什么是本福德定律?、通知、Amer。数学。Soc.,64:2(2017),132-134。
E.R.Berlekamp,对数学心理测量学的贡献,未出版的贝尔实验室备忘录,1968年2月8日[带注释的扫描件]
D.J.Bernstein,区分质数和复合数
P.Berrizbeitia,锐化大数族的“P中的素数”,arXiv:math/0211334[math.NT],2002年。
A.布克,第N个主页
F.Bornemann,普锐斯在P:“普通人”的突破、通知、Amer。数学。《社会》,50:5(2003),545-552。
A.鲍耶,素数公式[断开链接?]
B.M.Bredikhin,质数
J.Britton,素数列表[死链接]
D.巴特勒,前2000个素数
C.K.Caldwell,主页:素数表;小素数列表(从前1000个素数到所有50000000个素数,直至982451653。)
C.K.Caldwell,基本测试
C.K.Caldwell和Y.Xiong,最小的素数是什么?,J.整数序列。15(2012),第9号,第12.9.7条和arXiv:1209.2007[math.HO],2012年。
Chris K.Caldwell、Angela Reddick、Yeng Xiong和Wilfrid Keller,一的基本性的历史:来源的选择《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.9.8号。
埃内斯托·塞萨罗,M.Pervouchine经验表《科学院学报》,第119期(1894年),第848-849页。
Daniel I.A.Cohen和Talbot M.Katz,素数与第一位现象,J.数论18(1984),261-268。
P.考克斯,素数以P表示
P.J.Davis和R.Hersh,《数学经验》,素数定理
J.-P.Delahaye,形式和名义首映
U.达德利,素数公式,数学。Mag.,56(1983),17-22。
皮埃尔·杜萨尔,大会首映式《法国利摩日大学托塞》(1998年)。
皮埃尔·杜萨特,当k>=2时,第k素数大于k(ln k+ln ln k-1)《计算数学》68:(1999),411-415。
西摩·B·麋鹿,生成准凝聚聚苯乙烯规范名称的平面六边形细分的素数赋值,J.化学。Inf.计算。科学。,第34卷(1994年),第942-946页。
David Eppstein,2048年的变革,arXiv:1804.07396[cs.DM],2018年。
利昂哈德·尤勒,Fermat定理及其他素数定理的观察,arXiv:math/0501118[math.HO],2005-2008。
P.Flajolet、S.Gerhold和B.Salvy,关于对数、幂和n阶素函数的非完整性,arXiv:math/0501379[math.CO],2005年。
K.Ford,展览PRIMES以P表示定理。
H.Furstenberg,关于素数的无穷性《美国数学月刊》,第62卷,第5期(1955年5月),第353页(1页)。
L.&Y.Gallot,素数记录年表
P.Garrett,朴素测试
P.Garrett,列出素数
D.A.Goldston、S.W.Graham、J.Pintz和C.Y.Yildirim,素数和几乎素数之间的小间隙,arXiv:math/0506067[math.NT],2005年。
S.W.Golomb,甘地公式的直接解读《数学杂志》,第81卷,第7期(1974年8月至9月),第752-754页。
P.Hartmann,素数证明(德语)
哈斯克尔·维基,质数
詹姆斯·琼斯(James P.Jones)、佐藤大哈奇罗(Daihachiro Sato)、田田秀夫(Hideo Wada)和道格拉斯·温斯(Douglas Wiens),素数集的丢番图表示《美国数学月刊》83,第6期(1976年):449-464。DOI:10.2307/2318339。
N.Kayal和N.Saxena,用于测试数字是否为素数的多项式时间算法,共振11-2002。
E.Landau、Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen、,第一卷第2卷柏林莱比锡,B.G.Teubner,1909年。
W.Liang和H.Yan,素数的伪随机检验,arXiv:math/0603450[math.NT],2006年。
J.Malkevitch,底漆
数学世界头条新闻,基本测试很容易
K.Matthews,生成质数
Y.Motohashi,素数-你的宝石,arXiv:math/0512143[math.HO],2005年。
Kaoru Motose,关于分圆多项式的值。,数学。冈山大学J.Okayama Univ.37(1995),27-36。
J.Moyer,一些素数
C.W.内维尔,欧拉证明中关于素数的新结果,arXiv:math/0210282[math.NT],2002-2003年。
M.A.Nyblom和C.Evans,关于算术级数中带和的分区的计数《澳大利亚组合数学杂志》,第28卷(2003年),第149-159页。
J.J.O'Connor和E.F.Robertson,质数
M.E.O'Neill,埃拉托斯特尼的真正筛子,《函数编程》杂志,第19卷第1期,2009年1月,第95ff页,纽约州立大学
P.Papaphilippou,素数频率图绘图仪(flash对象)【摘自Philippos Papaphilippou(Philippos(AT)safe-mail.net),2010年6月2日】
J.M.Parganin,底漆少于50000
马修·帕克,前10亿素数(7-Zip压缩文件)[一个大文件]
小埃德·佩格。,序列图片《数学游戏》专栏,2003年12月8日。[经许可的缓存副本(仅pdf格式)]
I.彼得森,首要追求
奥马尔·波尔,初始术语说明
奥马尔·波尔,Sobre el patrón de los nümeros primos公司杰森·戴维斯(Jason Davies),交互式伴侣(用于素数2..997)
流行计算(加利福尼亚州卡拉巴萨),筛子:问题43第2卷(第13期,1974年4月),第6-7页。[注释和扫描副本]
Gutenberg Etext项目,前100000个质数
R.Ramachandran,前线19(17)08-2000,最佳解决方案
W.S.Renwick,EDSAC日志.
Barkley Rosser,一些素数函数的显式界,《美国数学杂志》63(1941)211-232。
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld,一些素数函数的近似公式伊利诺伊州J.数学。第6卷,第1期(1962年),64-94。
S.M.Ruiz和J.Sondow,π(n)和第n素数的公式,arXiv:math/0210312[math.NT],2002-2014。
S.O.S.数学,前1000个质数
A.Schulman,素数计算器
N.J.A.斯隆,五十年后的《整数序列手册》,arXiv:2301.03149[math.NT],2023年,第5页。
M.Slone,行星数学。组织,前1000个正素数
孙志伟,关于只取素值的函数《数论杂志》,133(2013),第8期,2794-2812。
孙志伟,关于含有素数的单位分数的一个猜想,2015年预印本。
A.Turpel,素数序列的美学[断开的链接?]
埃里克·魏斯坦的数学世界,素数生成多项式,质数、和基本螺旋线.
维基百科,质数素数定理.
配方奶粉
素数定理是这样一种表述:a(n)~n*log n等于n->无穷大(Hardy和Wright,第10页)。
对于n>=2,n*(log n+log n-3/2)<a(n);对于n>=20,a(n)<n*(log n+log n-1/2)。[Rosser和Schoenfeld]
对于所有n,a(n)>n log n
n log(n)+n(log log n-1)<a(n)<n log n+n log n,n>=6。[Dusart,维基百科文章中引用]
a(n)=n log n+n log log n+(n/log n)*。[Cipolla,另请参阅Cesáro或“素数定理”维基百科文章,以了解扩展中的更多术语]
a(n)=2+Sum_{k=2..floor(2n*log(n)+2)}(1-floor(pi(k)/n)),对于n>1,其中pi(k)的公式在A000720美元(Ruiz和Sondow,2002年)-乔纳森·桑多2004年3月6日
我猜想和{I>=1}(1/(素数(I)*log(素数(I)))=Pi/2=1.570796327。。。;求和{i=1..100000}(1/(质数(i)*log(质素(i)))=1.565585514……它收敛得很慢-米克洛斯·克里斯托夫2007年2月12日
最近,数学研究新闻组讨论了最后一个猜想。大于Pi/2的总和按顺序显示A137245号. -T.D.诺伊2009年1月13日
A000005号(a(n))=2;A002033号(a(n+1))=1-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2009年10月17日
A001222号(a(n))=1-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2009年11月10日
发件人加里·德特利夫斯2010年9月10日:(开始)
猜想:
a(n)={n|n!modn^2=n(n-1)},n<>4。
a(n)={n|n!*h(n)mod n=n-1},n<>4,其中h(n
对于n=1..15,a(n)=p+abs(p-3/2)+1/2,其中p=m+int(m-3)/2),m=n+int((n-2)/8)+int(n-4)/8-蒂莫西·霍珀2010年10月23日
a(2n)<=A104272号(n) n>1时为-2,a(2n)~A104272号(n) 作为n->无穷大-乔纳森·桑多2013年12月16日
推测:序列={5和n<>5|(斐波那契(n)modn=1或斐波那奇(n)moden=n-1)和2^(n-1)modn=1}-加里·德特利夫斯2014年5月25日
推测:序列={5和n<>5|(斐波那契(n)modn=1或斐波那奇(n)moden=n-1)和2^(3*n)mod3*n=8}-加里·德特利夫斯2014年5月28日
a(n)=1+总和{m=1..L(n)}=A000720美元(m) 并且L(n)>=a(n)-1。L(n)可以是满足不等式的n的任何函数。例如,L(n)可以是上限((n+1)*log((n+1*log,n+1)),因为它满足这个不等式-蒂莫西·霍珀2015年5月30日,2015年6月16日
满足a(n)=2*n+Sum_{k=1..(a(n-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月29日
求和{n>=1}1/a(n)^s=P(s),其中P是素数zeta函数-埃里克·韦斯特因2016年11月8日
a(n)=地板(1-对数(-1/2+总和{d|A002110号(n-1)}μ(d)/(2^d-1))/log(2)),其中μ(d)=A008683号(d) ●●●●。Golomb在1974年给出了一个证明:给每个正整数一个概率W(n)=1/2^n,那么数字d的整数倍的概率M(d)等于1/(2^d-1)。假设Q=a(1)*a(2)**a(n-1)=A002110号(n-1),则与Q互素的随机整数的概率为Sum{d|Q}mu。。。所以((Sum_{d|Q}mu(d)/(2^d-1))-1/2)*2^a(n)=1+x(n),这意味着a(n-王金源(Jinyuan Wang)2019年4月8日
MAPLE公司
A000040型:=n->ithprime(n);[seq(ithprime(i),i=1..100)];
#仅供说明:
isPrime:=s->是(1=sin(Pi*GAMMA(s)/s)/sin(Pi/s)):
选择(isPrime,[$2..100])#彼得·卢什尼2018年2月23日
数学
素数[范围[60]]
程序
(岩浆)[2..500]|IsPrime(n)]中的n:n;
(岩浆)a:=func<n|NthPrime(n)>;
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,素数(n))};
(PARI)/*以下函数提供了渐近近似,一个基于上面引用的渐近公式(对于n>10^8,稍有高估),另一个基于pi(x)~li(x)=Ei(log(x))(稍有低估):*/
素数1(n)=n*(log(n)+log
素数2(n)=解(X=n*log(n)/2,2*n*logs(n),实数(eint1(-log(X)))+n)
\\M.F.哈斯勒2013年10月21日
(PARI)表示质数(p=2,10^3,打印1(p,“,”))\\费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2014年6月30日
(PARI)素数(10^5)\\阿尔图·阿尔坎2018年3月26日
(鼠尾草)a=斯隆。A000040型
a.列表(58)#Jaap间谍, 2007
(鼠尾草)素数范围(1300)#零入侵拉霍斯2009年5月27日
(最大值)A000040型(n) :=块(
如果n=1,则返回(2),
return(下一个prime(A000040型(n-1))
)$/*递归,如有可能,将被替换-R.J.马塔尔2012年2月27日*/
(哈斯克尔)另请参阅哈斯克尔维基链接
导入数据。列表(genericIndex)
a000040 n=通用索引a000040_list(n-1)
a000040_list=基数++较大,其中
基数=[2,3,5,7,11,13,17]
较大=p:过滤素数较多
素数n=全部((>0)。mod n)$takeWhile(\x->x*x<=n)较大
_:p:more=滚动$makeWheels基础
滚动(车轮n rs)=[n*k+r|k<-[0..],r<-rs]
makeWheels=foldl-nextSize(轮子1[1])
nextSize(车轮尺寸bs)p=车轮(尺寸*p)
[r|k<-[0..p-1],b<-bs,设r=大小*k+b,模r p>0]
data Wheel=车轮整数[Integer]
(间隙)
A000040型:=已筛选([1..10^5],IsPrime)#穆尼鲁·A·阿西鲁2017年9月4日
(Python)
从sympy导入primerange
打印(列表(素数范围(2272))#迈克尔·布拉尼基2022年4月30日
交叉参考
有关is_prime和next_prime,请参见A010051型A151800型.
囊性纤维变性。A000720美元(“圆周率”),A001223号(质数之间的差异),A002476号,A002808年,A003627号,A006879号,A006880型,A008578号,A233588型.
按词典顺序对比素数:A210757号,A210758号,A210759号,A210760型,A210761号.
囊性纤维变性。A003558号,A179480号(关于希尔顿和佩德森的拟阶定理)。
Boutrophedon变换:A000747号,A000732号,A230953型.
a(2n)=A104272号(n)-A233739型(n) ●●●●。
关键词
核心,非n,美好的,容易的,改变
作者
状态
已批准

查找|欢迎|维基|寄存器|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间:2024年4月25日06:49 EDT。包含371964个序列。(在oeis4上运行。)