收敛半径

探索在课堂这一课题系

幂级数 和^(∞)c_kx ^ K将收敛只为一定值X例如,sum_(K = 0)^(∞)X ^ K收敛1<x<1在一般情况下,总是有一个区间(R,R)在这一个电力 系列收敛,和数R被称为收敛半径 (虽然间隔本身被称为收敛区间的 )。R被称为收敛半径由于情况复杂, 系列功率的系数的值X| X |<r形成一个打开磁盘用半径R

幂级数总是绝对收敛它的收敛半径内。这可以看出,通过固定R = | X |假定存在一个子序列 c_(n_i)这样,| c_(n_i)| R ^(n_i)无界然后电力 系列 sumc_nx ^ n收敛(事实上,条件是无界的)因为它失败了极限 试验因此,对于XR = | X | > R,的 幂级数不收敛,在那里

 C =极限| c_n ^(1 / n)|
(1)
 R = 1 / C,
(2)

极限表示上 极限

相反,假设R≤R然后 任意半径SR<S<r的条款, c_nx ^ n满足

 | c_nx ^ N | <(S/R)^ n
(3)

N足够大的(取决于S)。这是足够的 固定值S在之间RR因为S/R<1,电力 系列是由一个收敛为主几何级数 因此,。幂级数绝对收敛的限比较试验

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