素数计数函数

素数计数函数是给出了素数小于或等于给定数字（Shanks 1993年，第15页）。例如，没有素数,所以.只有一个质数（2），所以.有两个素数（2和3），所以等等。

符号因为素数计数函数有点不幸，因为它什么都没有与常数有关这个符号是由数学家引入的埃德蒙·兰道（Edmund Landau）于1909年问世，现在已成为标准。用德比郡的话说（2004年，第38页），“对此我很抱歉；这不是我的错。你只需要忍受吧。”

出租表示第个素数，是一个右反转属于自从

为所有人正整数此外，

若（iff） 是一个素数.

的前几个值对于, 2, ... 是0、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、，…（OEIS）A000720号). 这个沃尔夫拉姆语言为数字提供素数计数功能的命令是PrimePi公司[x个],其最大值为.

符号用于表示模素数计数函数，即素数 表单的 小于或等于（Shanks，1993年，第21-22页）。

下表给出了10的幂（OEISA006880型),扩展其他印刷表格（例如，Hardy和Wright 1979，第4页；Shanks1993年，第242-243页；Ribenboim 1996，第237页；德比郡2004年，第35页）。请注意错误计算为梅赛尔（1885），第56次（哈维尔2003，第171页），哈代和赖特（1979）和哈代（1999）引用的结果，有时（错误地）称为贝塔尔森数. The的值来自Deleglise and Rivat（1996），以及由X.Gourdon于10月27日报道，2000.Oliveira e Silva和X.Gourdon独立计算了和,但在古尔登的计算中发现了一个错误。给定的值由Tomás Oliveira e Silva计算，他使用一组硬件和程序参数（pers.comm。，2008年4月7日）。（的值由Oliveira e Silva和X.Gourdon独立计算已经同意所有10到10的权力.)由Büthe（2014）计算，Staple于2014年（Staple 2015）D.Baugh和K.Walisch（2015）使用这个素数快速素数计数函数实现（Walisch）。

在数论是的渐近形式作为变大。这是由首要的数论，其中指出

哪里是对数积分和是渐进表示.这种关系是高斯在1792年（当时他15岁）首次提出的，尽管直到1849年给约翰·恩克的一封信才被披露，直到1863年才出版（高斯1863; 哈维尔2003年，第176-177页）。

下表比较了素数计数函数,黎曼素数计数函数 、和对数积分 10的幂，即。，上面绘制了相应的差异小的.注意，Hardy（1999年，第26页）为不正确。在下表中，表示最近的整数函数类似的表格比较和由Borwein和Bailey（2003年，第65页）提供。

素数计数函数可以表示为勒让德公式,莱默公式,Mapes公司方法，或迈塞尔公式.简史尝试计算的次数由Berndt（1994）给出。采用下表来自Riesel（1994），其中是渐进表示.

上述洛克·恩斯特（Locker-Enst，1959年；Panaitopol，1999年；Havil，2003年，第179-180页）的近似公式如下所示：

哪里与谐波数 通过。此公式在的实际值。其中的值是1、109、113、114、199、200、201。。。（组织环境信息系统A051046号). Panaitopol（1999）表明数量对所有人都是正数.

的上限由提供

对于,下限为

对于（Rosser和Schoenfeld，1962年）。

哈代和赖特（1979年，第414页）给出了公式

对于,哪里是楼层功能.

素数计数函数的修改版本如下所示

哪里是莫比乌斯函数和是黎曼素数计数函数.

拉马努扬也表明

哪里是莫比乌斯函数（伯恩特1994年，第117页；哈维尔2003年，第199页）。

最小的使得对于,3。。。是2、27、96、330、1008。。。（组织环境信息系统A038625型),和相应的是1、9、24、66、168、437。。。（组织环境信息系统A038626号).解决方案的数量对于, 3, ... 是4、3、3、6、7、6。。。（组织环境信息系统A038627美元).

Ramanujan表明，对于足够大的,

这适用于,9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ... （组织环境信息系统A091886号).已知最大的首要的其中不等式失败是（伯恩特1994年，第112-113页）。相关不等式

哪里

适用于数量也不小（Berndt 1994，第114页）。