幂级数

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一个变量的幂级数Z是无限的总和 形式的

 SuMui:(i=0)^

在哪里?阿阿伊整数实数复数或给定类型的任何其他数量。

P.Lya猜想,如果功能具有幂级数整数 系数收敛半径1,那么功能理性的单位圆是一个自然边界(p<Lya 1990,pp. 43和46)。这一猜想是由波利亚在1916提出的,并被切斯特·弗罗伊德·卡尔森(1921)证明是正确的,其结果是现在被认为是二十世纪初的经典。复分析.

对于任何幂级数,下列之一是正确的:

1。该系列仅收敛于Z=0.

2。该系列绝对收敛于所有。Z.

三。该系列绝对收敛于所有。Z在某些有限开区间中(-R,R)发散如果Z<RZ> R. 在要点上Z=RZ=R级数可以绝对收敛,有条件收敛或发散。

为了确定收敛的间隔,应用比值试验绝对收敛并解决Z. 幂级数可以在收敛区间内被区分或积分。收敛幂级数可以乘和除以(如果没有除以零)。

 SuMuik(k=1)^ fTyk^ ^(-p)

收敛如果P>1发散如果0<P<1.

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