梅森素数是 梅森数 即a 表格编号
那就是 首要的 .为了 成为 首要的 , 本身必须是 首要的 .这个 是真的，因为 混合成的 带因子 和 , . 因此， 可以写为 , 哪个是 二项式数 总是有一个因素 .
前几个梅森素数是3，7，31，127，8191，131071，524287，2147483647。。。 （组织环境信息系统 A000668号 )对应指数 , 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, …（OEIS） A000043号 ).
梅森素数最早被研究是因为每一个梅森素都对应于一个梅森素数 完全数 . L.威尔士保存了大量的梅森数字文献和历史。
人们推测存在无穷多个梅森素数。 将通过原点的线拟合到梅森素数的渐近数 具有 对于前51个（已知的）梅森素数，最适合 行与 , 如上图所示。 如果线不限于通过原点，则 最合适的是 . 据推测（没有任何特别有力的证据） 由提供 , 哪里 是 Euler-Mascheroni常数 （哈维尔 2003年，第116页； Caldwell），结果与 瓦格斯塔夫的 猜想
然而，寻找梅森素数在计算上非常具有挑战性。 例如，1963年发现 is prime是由一种特殊的邮表设计（如上图所示）发布的 伊利诺伊州乌尔班纳。
G.Woltman通过互联网组织了一个分布式搜索程序，称为GIMPS（Great Internet Mersenne Prime search），数百名志愿者使用他们的个人电脑进行搜索。 GIMPS志愿者的努力使这个分布式计算项目成为自1996年末以来发现的所有梅森素数的发现者。 截至2024年2月19日，GIMPS参与者已测试并验证了所有低于6700万的指数，并至少测试了一次所有低于115的指数（GIMPS）。
下表给出了索引 已知梅森素数（OEIS A000043号 ) ，以及位数， 发现年代和发现者。 C.Caldwell编制了类似的表格。 请注意，“ 梅森素数是暂定的 直到所有指数介于 和 （即达到 )已被验证为复合材料（因此 对于其他已知的梅森素数也是暂时的 和 ).
# 数字 年 发现者（参考） 价值 1 2 1 古代 三 2 三 1 古代 7 三 5 2 古代 31 4 7 三 古代 127 5 13 4 1461 Reguis（1536），Cataldi（1603） 8191 6 17 6 1588 加泰罗迪（1603） 131071 7 19 6 1588 卡塔尔迪（1603） 524287 8 31 10 1750 欧拉（1772） 2147483647 9 61 19 1883 佩沃钦（1883），塞尔霍夫（1886） 2305843009213693951 10 89 27 1911 权力 (1911) 618970019642690137449562111 11 107 33 1913 权力（1914） 162259276829213363391578010288127 12 127 39 1876 卢卡斯（1876） 170141183460469231731687303715884105727 13 521 157 1952年1月30日 罗宾逊（1954） 68647976601306097149...12574028291115057151 14 607 183 1952年1月30日 罗宾逊（1954） 53113799281676709868...70835393219031728127 15 1279 386 1952年6月25日 罗宾逊（1954） 10407932194664399081...20710555703168729087 16 2203 664 1952年10月7日 罗宾逊（1954） 14759799152141802350...50419497686697771007 17 2281 687 1952年10月9日 罗宾逊（1954） 44608755718375842957...64133172418132836351 18 3217 969 1957年9月8日 里塞尔 25911708601320262777...46160677362909315071 19 4253 1281 1961年11月3日 赫尔维茨 19079700752443907380...76034687815350484991 20 4423 1332 1961年11月3日 赫尔维茨 28554254222827961390...10231057902608580607 21 9689 2917 1963年5月11日 吉利斯（1964） 47822027880546120295...18992696826225754111 22 9941 2993 1963年5月16日 吉利斯（1964） 34608828249085121524...19426224883789463551 23 11213 3376 1963年6月2日 吉利斯（1964） 28141120136973731333...67391476087696392191 24 19937 6002 1971年3月4日 塔克曼（1971） 43154247973881626480...36741539030968041471 25 21701 6533 1978年10月30日 诺尔和镍（1980） 44867916611904333479...57410828353511882751 26 23209 6987 2月9日， 1979 诺尔（Noll and Nickel，1980） 40287411577898877818...36743355523779264511 27 44497 13395 1979年4月8日 纳尔逊和斯洛文斯基 85450982430363380319...44867686961011228671 28 86243 25962 1982年9月25日 斯洛文斯基 53692799550275632152...99857021709433438207 29 110503 33265 1988年1月28日 科尔奎特和威尔士语（1991） 52192831334175505976...69951621083465515007 30 132049 39751 1983年9月20日 斯洛文斯基 51274027626932072381...52138578455730061311 31 216091 65050 1985年9月6日 斯洛文斯基 74609310306466134368…91336204103815528447 32 756839 227832 1992年2月19日 斯洛文斯基和盖奇 17413590682008709732...02603793328544677887 33 859433 258716 1994年1月10日 斯洛文斯基和盖奇 12949812560420764966...02414267243500142591 34 1257787 378632 1996年9月3日 斯洛文斯基和盖奇 412245773621142867472…312571889760869366527 35 1398269 420921 1996年11月12日 Joel Armengaud/GIMPS公司 81471756441257307514...85532025868451315711 36 2976221 895832 1997年8月24日 戈登·斯彭斯（Gordon Spence）/GIMPS 62334007624857864988...76506256743729201151 37 3021377 909526 1998年1月27日 罗兰·克拉克森/GIMPS 12741168303009336743...25422631973024694271 38 6972593 2098960 1999年6月1日 Nayan Hajratwala/GIMPS公司 43707574412708137883...35366526142924193791 39 13466917 4053946 2001年11月14日 迈克尔·卡梅隆/GIMPS 92494773800670132224...30073855470256259071 40 20996011 6320430 2003年11月17日 迈克尔·沙弗（Michael Shafer）/GIMPS 12597689545033010502...94714065762855682047 41 24036583 7235733 2004年5月15日 乔什·芬德利/GIMPS 29941042940415717208...67436921882733969407 42 25964951 7816230 2005年2月18日 马丁·诺瓦克/GIMPS 12216463006127794810...98933257280577077247 43 30402457 9152052 2005年12月15日 Curtis Cooper和Steven Boone/GIMPS 31541647561884608093...11134297411652943871 44 32582657 9808358 2006年9月4日 Curtis Cooper和Steven Boone/GIMPS 12457502601536945540...11752880154053967871 45 37156667 11185272 2008年9月6日 Hans-Michael Elvenich/GIMPS公司 20225440689097733553...21340265022308220927 46 42643801 12837064 2009年6月12日 奇数Magnar Strindmo/GIMPS 16987351645274162247...84101954765562314751 47 43112609 12978189 2008年8月23日 埃德森·史密斯/GIMPS 31647026933025592314...80022181166697152511 48 57885161 17425170 2013年1月25日 柯蒂斯·库珀/GIMPS 58188726623224644217...46141988071724285951 49? 74207281 22338618 2016年1月7日 柯蒂斯·库珀/GIMPS 30037641808460618205…87010073391086436351 50? 77232917 23249425 2017年12月26日 乔纳森·佩斯（Jonathan Pace）/GIMPS 46733318335923109998...82730618069762179071 51? 82589933 24862048 2018年12月7日 Patrick Laroche/GIMPS公司 14889444574204132554...37951210325217902591
审判庭 通常用于建立 复合性 潜在的梅森素数。 这个 测试立即显示 成为 混合成的 对于 、23、83、131、179、191、239和251（小系数 分别为23、47、167、263、359、383、479和503）。 更强大的首要性 测试 是 卢卡斯·莱默试验 .
如果 是一个 首要的 ，然后 划分 若（iff） 是 首要的 。这也是真的 那个 首要的 的除数 必须具有表单 哪里 是一个 正整数 同时使用任意一种形式 或 （Uspensky和Heaslet，1939年）。
A类 首要的 因素 梅森数的 是一个 韦伊费列治素数 若（iff） 因此，梅森素数是 不 威弗里奇 素数 .
另请参见 Catalan-Mersenne编号 , 卡伦数 , 坎宁安 编号 , 双梅森数 , 埃伯哈特的 猜想 , 费马-卢卡斯数 , 费马 编号 , 费马多项式 , 整数 序列素数 , 卢卡斯·莱默测试 , 梅森 编号 , 新梅森素数猜想 , 完美数字 , 重新命名 , 超完美数 , 泰坦尼克号 底漆 , 瓦格斯塔夫猜想 , 伍达尔 底漆 与Wolfram一起探索| Alpha 工具书类 贝特曼，P.T。； 塞尔弗里奇，J.L。； 和Wagstaff，S.S。 “新梅森猜想。” 阿默尔。 数学。 每月 96 , 125-128, 1989. 球，W.W。 R。 和H.S.科克塞特。 M。 数学 娱乐与论文，第13版。 纽约：多佛，第66页，1987年。 贝勒， A.H.公司。 通道3英寸 娱乐 《数论：数学女王的娱乐》。 纽约： 多佛，1966年。 E.T.贝尔。 数学： 科学女王和仆人。 华盛顿特区：数学。 美国协会。， 1987 考德威尔， 梅森素数：历史，定理和列表 http://www.utm.edu/research/pimes/mersenne/ . 考德威尔， C.K.公司。 “前二十名：梅森素数。” http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/Mersenne.html . 考德威尔， C.“下一个梅森素数在哪里？” http://primes.utm.edu/notes/faq/NextMersenne.html . 科尔奎特， 西北部。 《新梅森首相》 数学。 计算。 56 , 867-8701991年。 康威，J.H。 和Guy，R.K。 “梅森的 数字。 “输入 这个 《数字书》。 纽约：Springer-Verlag，第135-137页，1996年。 德夫林， K.“世界上最大的首相” 重点：数学新闻稿。 美国律师协会。 17 , 1997年12月1日。 Dickson，L.E。 历史 《数论》第1卷：可除性与素数。 纽约： 多佛，第13页，2005年。 弗兰纳里S.和弗兰纳里D。 在 代码：数学之旅。 伦敦：Profile Books，第47-512000页。 加德纳， M。 这个 科学美国人的第六本数学游戏书。 伊利诺伊州芝加哥：大学 芝加哥出版社，第85页，1984年。 Gardner，M.“素数的模式 是强大的小数字定律的线索。 " 科学。 阿默尔。 243 , 1980年12月18日至28日。 D.B.吉利斯。 “三个新梅森素数 和统计理论。 " 数学计算。 18 , 93-97, 1964. GIMPS公司。 “GIMPS里程碑报告。” http://v5www.mersenne.org/report_milestones/ . 伟大的 互联网顶级搜索：GIMPS。 寻找1996年以来的世界大赛。 “列表 已知梅森素数。 " http://www.mersenne.org/primes网站/ . 家伙， R.K.公司。 “梅森素数。声誉。费马数。形状素数 [原文如此]。 “§A3英寸 未解决 数论问题，第二版。 纽约：Springer-Verlag，第8-13页， 1994 Haghhii，M.“使用Cray计算梅森素数 X-MP。” 国际期刊计算。 数学。 41 , 251-259, 1992. 哈代， G.H.公司。 和Wright，E.M。 安 数字理论导论，第5版。 英国牛津：克拉伦登 出版社，第14-16页，1979年。 哈维尔，J。 伽马射线： 探索欧拉常数。 新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，2003年。 克拉奇克， M.“梅森数和完美数”§3.5 数学 娱乐。 纽约：W.W。 诺顿，第70-73页，1942年。 克拉维茨， S.和Berg，M.“卢卡斯的梅森数检验 ." 数学。 计算。 18 , 148-149, 1964 莱默，D.H。 “关于卢卡斯对梅森原始性的测试 数字。 " J.伦敦数学。 索克。 10 , 162-165, 1935. 利兰， 第页。 http://research.microsoft.com/ ~pleyland/因子分解/因子/mersenne.txt . 梅森， M。 Cogitata物理数学。 1644 Noll，C.和Nickel，L。 “第25届和第26届梅森素描。” 数学。 计算。 35 1387年-1390年， 1980 权力，R.E。 “第十个完全数。” 阿默尔。 数学。 每月 18 , 195-196, 1911. 权力，R.E。 “注意 在梅森数上。 " 牛市。 阿默尔。 数学。 索克。 40 , 883, 1934. 罗宾逊， 风险管理。 “梅森和费尔马数字。” 程序。 阿默尔。 数学。 索克。 5 , 842-846, 1954. Shankland，S.“合作计算发现顶级素数” 数量。 “ZDNet新闻：硬件。2003年12月2日。 http://zdnet.com.com/2100-1103_2-5112827.html？tag=zdfd.newsfeed . 斯隆， 新泽西州。 答：。 序列 A000043号 /M0672型 和 A000668号 /M2696，在线百科全书 整数序列的。 " Slowinski，D.“寻找第27个 梅森总理。 " J.重建。 数学。 11 ，258-2611978-1979年。 塔克曼， B.“第24届梅森首相” 程序。 美国国家科学院。 科学。 美国 68 , 2319-2320, 1971. H.S.乌勒。 “调查简史 梅森数和最新的大素数。 " 脚本数学。 18 , 122-131, 1952. J.V.乌斯彭斯基。 和Heaslet，M.A。 小学 数论。 纽约：McGraw-Hill，1939年。 威尔士，L.“马林 梅塞纳。 " http://www.utm.edu/research/primes/mersenne/LukeMirror/mersene.htm . 威尔士的， L.“梅森数与梅森素数参考文献” http://www.utm.edu/research/primes/mersenne/LukeMirror/biblio.htm . 白宫， D.《数字占据首要地位》，2001年12月5日。 英国广播公司新闻在线。 http://news.bbc.co.uk/hi/english/sci/tech/newsid_1693000/1693364.stm . 沃尔特曼， G.“伟大的互联网Mersenne Prime Search。” http://www.mersenne.org/prime.htm . 引用的 关于Wolfram | Alpha 梅森质数 引用如下：
埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。 “梅森总理”摘自 数学世界 --Wolfram Web资源。 https://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html
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