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Erfc公司

Erfc是互补误差函数，通常表示为erfc（z），是一个整体功能由定义

erfc（z）=1-erf（z）
(1)
=2/（平方（pi））int_z^inftye^（-t^2）dt。
(2)

它在Wolfram语言作为Erfc公司[z（z）].

请注意，一些作者（例如，Whittaker和Watson 1990，p.341）定义了erfc（z）没有主导因素2/sqrt（pi）.

对于z> 0个,

erfc（z）=（伽马（1/2，z^2））/（sqrt（pi）），
(3)

哪里伽马（a，x）是不完整的伽马函数.

导数由下式给出

d/（dz）erfc（z）=-（2e^（-z^2））/（sqrt（pi）），
(4)

和不定积分

interfc（z）dz=zerfc（z）-（e^（-z^2））/（sqrt（pi））+C。
(5)

它具有特殊的价值

erfc（-infty）=2
(6)
erfc（0）=1
(7)
erfc（infty）=0
(8)

它满足了身份

erfc（-x）=2-erfc（x）。
(9)

它有确定的积分

int_0^inftyerfc（x）dx=1/（平方米（pi））
(10)
int_0^inftyerfc^2（x）dx=（2平方（2））/（平方（pi））
(11)
int_0^inftysin（x^2）erfc（x）dx=（pi-2sinh^（-1）1）/（4sqrt（2pi））。
(12)
错误界限

对于x> 0个,erfc（x）以为界

2/（平方位（π））（e^（-x^2））/（x+sqrt（x^2+2））<erfc（x）<=2/（平方位pi）（equ（-x2））/。
(13)
ErfcReImAbs公司
分钟 马克斯
重新
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如上图所示，Erfc也可以扩展到复杂平面。

Erfci公司

从电流变液控制微分方程

（d^2y）/（dz^2）+2z（dy）/（tz）-2ny=0
(14)

（Abramowitz和Stegun 1972年，第299页；Zwillinger 1997年，第122页）。一般的解决方案是

y=空气_ n（z）+Berfc_ n（-z），
(15)

哪里erfc_n（z）是重复的erfc积分。对于整数n> =1,

erfc_n（z）=int_z^infty。。。int_z^infty_（）_（n）erfc（z）dz
(16)
=-2/（sqrt（pi））int_z^infty（（t-z）^n）/（n！）e^（-t^2）dt
(17)
=（e^（-z^2））/（sqrt（pi）n！）[γ（1/2（n+1））_1F_1（1/2（n+1）；1/2；z^2）-nz_1F_1（1+1/2n；3/2；z^ 2）]
(18)
=2^（-n）e^（-z^2）[（_1F_1（1/2（n+1）；1/2；z^2
(19)

（阿布拉莫维茨和斯特根1972年，第299页），其中_1F_1（a；b；z）是一个汇合的第一类超几何函数和伽玛（z）是一个伽马函数.前几个值由以下定义扩展n=-1和0，由下式给出

erfc_0（z）=erfc（z）
(20)
erfc_1（z）=（e^（-z^2））/（sqrt（pi））-zerfc（z）
(21)
erfc-2（z）=1/4[（1+2z^2）erfc（z）-（2ze^（-z^ 2））/（sqrt（pi））]。
(22)

另请参见

Erf公司,Erfc微分方程,误差函数,小时功能,逆Erfc

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Erfc/

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《误差函数的重复积分》第7.2节手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第299-300页，1972年。阿夫肯，G。数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第568-569页，1985出版社，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和韦特林。“不完整Gamma函数，误差函数，Chi-Square概率函数，累积泊松函数。“§6.2数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第209-2141992页。斯潘尼尔、J.和奥尔德姆，英国。“错误功能erf（x）及其补码erfc（x）“和”经验（x）和erfc（平方码（x））和相关功能。“Chs.40和41英寸一个函数图谱。华盛顿特区：《半球》，第385-393和395-403页，1987E.T.惠塔克。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。D.茨威林格。手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第122页，1997

参考Wolfram | Alpha

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Erfc.”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Erfc.html

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