“收敛”一词在数学中有许多不同的含义。
最常见的是,它是一个形容词,用于描述收敛序列或收敛级数,在哪里本质上意味着各自的序列或序列接近限制(《天使与西部》2000年,第259页)。
这个有理数通过在连分数也称为收敛。例如,在简单的连分数对于黄金比例,
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(1)
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收敛点是
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(2)
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通常表示收敛,,(整数比率),或(a)有理数).
给定一个单连分式 ,的收敛性由以下比率给出对角矩阵 决定因素:
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(3)
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例如是
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(4)
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在Wolfram语言,收敛点[条款]给出了与指定的连续列表相对应的收敛列表分数项,而收敛点[x个,n个]给出第一个一个数的收敛.
考虑收敛点的单连分式 ,并定义
然后可以根据重现关系
, 2, ...,.
对于广义连分式 ,复发概括为
这个连分式基本递推关系对于简单的连分数是
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(13)
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如果,
此外,
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(16)
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此外,如果收敛,然后
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(17)
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类似地,如果,然后和
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(18)
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收敛点也满足
上面在半对数刻度上绘制的是(偶数;左图)和(奇数;右图)作为函数对于的收敛一般来说即使收敛无限单连的数字的分数形成一个递增序列、和古怪的收敛表格a递减序列(所以任何即使收敛小于任何古怪的收敛)。总结,
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(21)
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(22)
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此外,每个收敛于位于前两个之间。每个收敛比前一个更接近无穷连分式的值。此外,对于一个数字,
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(23)
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在搜索过程中连分数身份,Raayoni(2021)和Elimelech等。(2023)注意到收敛的分子和分母通常是阶乘增长,减少的分子和分母和对于最多以指数形式增长,即他们将这种现象称为阶乘的减少并指出,虽然这在总体上极为罕见,但它适用于全部的最初由Ramanujan Machine(Raayoni)发现的身份等。2021).
另请参见
续分数,收敛序列,收敛级数,阶乘减少,广义(续)分数,限制,部分分母,简单连分式 在中探索此主题数学世界教室
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工具书类
D'Angelo,J.P。和D.B.West。数学思维:问题解决与证明,第二版。新泽西州上鞍河:普伦蒂斯·霍尔,2000Elimelech,R。;O.大卫。;De la Cruz Mengual,C。;Kalisch,R。;伯恩特,W。;Shalyt,M。;Silberstein,M。;哈达德,Y。;和Kaminer,I.“算法辅助发现数学常数的内在顺序。“2023年8月22日。https://arxiv.org/abs/2308.11829.利伯曼,H。简单连分式:从初级到研究级的方法。SMD公司股票分析师,第II-9-II-10页,2003年。Raayoni,G;哥特利布,S。;马诺,Y。;Pisha,G。;哈里斯,Y。;Mendlovic,美国。;哈维夫,D。;哈达德,Y。;和卡米纳,I.“用Ramanujan机器生成基本常数猜想”自然 590, 67-73, 2021.参考Wolfram | Alpha
收敛
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“收敛。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Convergent.html
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