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收敛

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“收敛”一词在数学中有许多不同的含义。

最常见的是，它是一个形容词，用于描述收敛序列或收敛级数，在哪里本质上意味着各自的序列或序列接近限制（《天使与西部》2000年，第259页）。

这个有理数通过在连分数也称为收敛。例如，在简单的连分数对于黄金比例,

φ=1+1/（1+1/（1+…）），
(1)

收敛点是

1,1+1/1,1+1/(1+1/1),...=12,3/2,....
(2)

通常表示收敛A _ n/B _ n,p_n/q_n,P_n/Q_n（整数比率），或cn（立方厘米）（a）有理数).

给定一个单连分式 【b_0；b_1，b_2，…】，的n个收敛性由以下比率给出对角矩阵 决定因素:

（A_n）/（B_n）=（|B_0-1 0…0；1 B_1-1…0；0 1 B_2…0；00 1…-1；0 0 0…B_n|）/。
(3)

例如pi=[3；7,15]是

（A_3）/（B_3）=（|3-10；17-1；0115|）/（|7-1；115|）=（333）/（106）。
(4)

在Wolfram语言,收敛点[条款]给出了与指定的连续列表相对应的收敛列表分数项，而收敛点[x个,n个]给出第一个n个一个数的收敛x个.

考虑收敛点c_n=A_n/B_n的单连分式 【b_0；b_1，b_2，…】，并定义

A_（-1）=1
(5)
B_（-1）=0
(6)
A_0（0）=b_0（b_0）
(7)
B_0（B_0）=1
(8)

然后可以根据重现关系

确认（_k）=b_kA_（k-1）+A_（k-2）
(9)
B_ k（_k）=b_kB_（k-1）+b_（k-2）。
(10)

k=1, 2, ...,n个.

对于广义连分式 K_（K=1）^（infty）a_K/b_K，复发概括为

确认（_k）=b_kA_（k-1）+a_kA=（k-2）
(11)
B_ k（_k）=b_kB_（k-1）+a_kB_2（k-2）。
(12)

这个连分式基本递推关系对于简单的连分数是

A_nB_（n-1）-A_（n-1）B_n=（-1）^（n+1）。
(13)

如果b_0=0,

（A_n）/（A_（n-1））=[b_n；b_（n-1），…，b_0]
(14)
（B_n）/（B_（n-1））=【b_n；b_（n-1），…，b_1】。
(15)

此外，

（A_n）/（B_n）=（A_（n+1）-A_（n-1））。
(16)

此外，如果收敛c_n=A_n/B_n>1,然后

（B_n）/（A_n）=[0；B_0，B_1，…，B_n]。
(17)

类似地，如果c_n=A_n/B_n<1,然后b_0=0和

（B_n）/（A_n）=[0；B_1，…，B_n]。
(18)

收敛点A _ n/B _ n也满足

（A_n）/（B_n）-（A_（n-1））/（B _（n-1））=（（-1）^（n+1））/（B_nB_（n-1））
(19)
（A_n）/（B_n）-（A_（n-2））=（b_n（-1）^n）/（b_nB_（n-2））。
(20)
CFC转换剂

上面在半对数刻度上绘制的是cn-pi(n个偶数；左图）和pi-c_n(n个奇数；右图）作为函数n个对于的收敛圆周率一般来说即使收敛c（2n）无限单连的数字的分数x个形成一个递增序列、和古怪的收敛c（2n+1）表格a递减序列（所以任何即使收敛小于任何古怪的收敛）。总结，

c0<c2<c4<<c（2n-2）<c（2n）<<x个
(21)
x<<c（2n+1）<c（2n-1）<c5<c3<c1。
(22)

此外，每个收敛于n> =3位于前两个之间。每个收敛比前一个更接近无穷连分式的值。此外，对于一个数字x=[b_0；b_1，b_2，…],

1/（（b_（n+1）+2）b_n^2）<|x-（A_n）/（b_n）|<1/（b_。
(23)

在搜索过程中连分数身份，Raayoni（2021）和Elimelech等。（2023）注意到收敛的分子和分母p_n/q_n通常是阶乘增长，减少的分子和分母p_n/g_n和qn/gn对于g_n=GCD（p_n，q_n）最多以指数形式增长，即秒^n他们将这种现象称为阶乘的减少并指出，虽然这在总体上极为罕见，但它适用于全部的最初由Ramanujan Machine（Raayoni）发现的身份等。2021).

另请参见

续分数,收敛序列,收敛级数,阶乘减少,广义（续）分数,限制,部分分母,简单连分式 在中探索此主题数学世界教室

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工具书类

D'Angelo，J.P。和D.B.West。数学思维：问题解决与证明，第二版。新泽西州上鞍河：普伦蒂斯·霍尔，2000Elimelech，R。；O.大卫。；De la Cruz Mengual，C。；Kalisch，R。；伯恩特，W。；Shalyt，M。；Silberstein，M。；哈达德，Y。；和Kaminer，I.“算法辅助发现数学常数的内在顺序。“2023年8月22日。https://arxiv.org/abs/2308.11829.利伯曼，H。简单连分式：从初级到研究级的方法。SMD公司股票分析师，第II-9-II-10页，2003年。Raayoni，G；哥特利布，S。；马诺，Y。；Pisha，G。；哈里斯，Y。；Mendlovic，美国。；哈维夫，D。；哈达德，Y。；和卡米纳，I.“用Ramanujan机器生成基本常数猜想”自然 590, 67-73, 2021.

参考Wolfram | Alpha

收敛

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“收敛。”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Convergent.html

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