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连续分数常数

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可以获得许多闭合形式常数广义连分式有特别简单的部分分子和分母.

这个Ramanujan连分数提供了一类有趣的连续分式常数。这个特洛特常数是意外常数，其部分分子和分母对应于它们的十进制数字（尽管为了实现这一点，有必要允许一些部分分子等于0）。

一系列其他著名的连分式常数中的第一个是无穷大正则连分式

C_1=K_（n=1）^（infty）1/n
（1）
=1/(1+1/(2+1/(3+1/(4+1/(5+...))))).
（2）

前几个收敛A _ n/B _ n常数的值为0、1、2/3、7/10、30/43、157/225、，972/1393, 6961/9976, ... （组织环境信息系统A001053号和A001040号).

两者都有分子 自动（_n）和分母 B_n（B_n）满足重现关系

f（n+1）=nfn+f（n-1），
(3)

哪里自动（_n）具有初始条件A_1=0,A_2=1和B_n（B_n）具有初始条件B_0=0,B_1=1。这些问题可以精确求解，从而得出

自动（_n）=（I_n（-2）K_1（2）-I_1（-2
(4)
=2[（-1）^nI_n（2）K_1（2
(5)
B_n（B_n）=（I_n（-2）K_0（2）-I_0（-2
(6)
=[（-1）^（n-1）I_n（2）K_0（2，
(7)

哪里I_n（x）是一个修正贝塞尔函数第一类和K_n（x）是一个被改进的第二类贝塞尔函数因此，作为n->不完整，无穷大的连续分数由下式给出

C_1=lim_（n->infty）（A_n）/（B_n）
(8)
=（I_1（2））/（I_0（2
(9)
=0.697774658...
(10)

（组织环境信息系统A052119号; Lehmer 1973，Rabinowitz 1990；博尔文等。2004年，第35页）。

由广义的连分数

C_2=K_（n=1）^（infty）无
(11)
=1/(1+2/(2+3/(3+4/(4+5/(5+...)))))
(12)

有n个第个收敛公式如下

（A_n）/（B_n）=[（伽玛（n+2））/（！（n+1））-1]^（-1），
(13)

哪里伽马（n）是伽马函数和!n个是次级因子. The前几个收敛 A _ n/B _ n因此是1、1/2、3/5、11/19、53/91、103/177。。。（组织环境信息系统A053557号和A103816号).作为n->不完整,这给出了值

C_2=1/（e-1）
(14)
=0.581976...
(15)

（组织环境信息系统A073333号).

另一个可以用闭合形式计算的类似连分式常数是

C_3号=1+K_（n=1）^（infty）n/1
（16）
=1+1/(1+2/(1+3/(1+4/(1+5/(6+...)))))
(17)
=平方根（2/（epi））[电流变系数（2^（-1/2））]^（-1）
(18)
=1.5251352...
(19)

（组织环境信息系统A111129号)，其中电流变液控制是互补误差函数。收敛没有已知的闭合形式，但为了n=1,2, ..., 前几个收敛是1，1/3，2/3，4/9，7/12，19/39，68/123。。。（组织环境信息系统A225435型和A225436型).

另一个闭式连分数由下式给出

C_4号机组=1+K_（n=1）^（infty）（2n）/（2n+1）
(20)
=1+2/(3+4/(5+6/(7+8/(9+(10)/(11+...)))))
(21)
=（平方（e）-1）^（-1）
(22)
=1.5414940...
(23)

（组织环境信息系统A113011号). 前几个收敛点是5/3、29/19、233/151、2329/1511、27949/18131、78257/50767。。。（组织环境信息系统A113012号和A113013号).

一般无穷连分式[b_0；b_1，b_2…]部分商在算术进展由提供

[A+D，A+2D，A+3D，…]=（I_（A/D）（2/D））/（I_
(24)

（施罗佩尔1972）真实A类和D=0.

Perron（1954-57）讨论了具有比算术级数更一般的项的连分式，并将其与各种特殊函数联系起来。他确实如此然而，似乎没有特别考虑方程式(24).

另请参阅

续分数,e（电子）,广义续分数,黄金比例,被改进的第一类贝塞尔函数,被改进的第二类贝塞尔函数,嵌套根式常数,圆周率,兔子常量,Ramanujan连分式,Thue-Morse常数,特洛特常量

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Borwein，J。；Bailey，D。；和Girgensohn，R。数学实验：发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，第34-35页，2004年。芬奇，S.R。“Euler-Compertz常量。”§6.2英寸数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第423-428页，2003盖伊，R.K。《评论：柏拉图学院的数学》阿默尔。数学。每月 97, 440-443, 1990.莱默，D.H。“包含算术级数的连分式。”脚本数学。 29,17-24, 1973.O.佩伦。模具Lehre von den Kettenbrüchen，3岁。动词。und erweiterte澳大利亚。斯图加特，德国：Teubner，1954-57。Rabinowitz，S.问题E3264。“渐进式连续分式收敛的估计。"阿默尔。数学。每月 97,157-159, 1990.Schroeppel，R.，Beeler，M.中的第99项。；Gosper，R.W。；和Schroeppel，R。哈克姆。马萨诸塞州剑桥：麻省理工学院人工智能实验室，备忘录AIM-239，第36页，1972年2月。http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/cf.html#item99.斯隆，新泽西州。答：。序列A001040号/M2863中，A001053号/M1783，A052119号,A053557号,A073333号,A103816号,A111129号,A113011号,A113012号,2013年1月13日,A225435型,和A2类225436，在线百科全书整数序列。"

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“续分数常数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ContinuedFractionConstants.html

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