二项式系数是拾取方式的数量 无序的结果来自可能性,也称为结合或组合数。符号和用于表示二项式系数,有时读作“ 选择 ."
因此给出了k个-子集可能的从一组不同的项目。例如,的2个子集这六双是吗,,,,,以及,所以此外格子路径来自起源 到某一点)是二项式系数(希尔顿和佩德森,1991年)。
二项式系数的值非负整数 和具有由提供
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(格雷厄姆等。1989年,第157页),其中表示阶乘的.填充在值中(按行), 1, ...,用于增加给予帕斯卡三角形.
编写阶乘的作为一个伽马函数 允许将二项式系数推广到非整数参数(包括复杂的和)作为
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这个罗马系数(Roman 1992,Loeb 1995)是二项式系数的推广。每当二项式系数定义,则罗马系数同意然而罗马系数已定义对于二项式系数不是的值。
的二项式系数非负整数 给出多项式
哪里是一个Pochhammer符号.这些有理系数有时被称为“广义二项式系数”
使用伽马函数对称公式
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对于整数,和复杂,这个定义可以扩展到负整数参数,使其连续除了负整数和非整数,在这种情况下,它是无限的(Kronenburg,2011年)。该定义由
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对于负整数和整数与二项式定理相一致,与组合身份,但有一些特殊的例外(Kronenburg,2011年)。
二项式系数在Wolfram语言作为二项式[n个,k个],它遵循从版本8开始的上述约定。
绘制二项式系数-平面图(Fowler 1996)展示了上图中美丽的情节,它有一个非常复杂的图表对于消极的 和因此很难使用标准绘图进行渲染程序。
对于正整数 ,的二项式定理给予
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这个有限差分这种身份的模拟称为Chu-Vandermonde身份.类似的公式适用于负整数,
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有很多优雅二项式和.
二项式系数满足恒等式
二项式系数的乘积由下式给出
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哪里是一个超阶乘的和是一个阶乘的.
如库姆1852年所示,如果是首要的 这就分裂了,其中和是非负整数,那么是的数字携带发生的什么时候已添加到在底座中(格雷厄姆等。1989年,练习5.36,第245页;Ribenboim 1989年;瓦尔迪1991年,第68页)。Kummer的结果也可以表示为一首要的 划分由整数的数量给出对于其中
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哪里表示小数部分属于这个不等式可以简化为指数的研究总和,哪里是Mangoldt函数。这些估计Jutila(1973、1974)给出了总数,但最近的改进是Granville和Ramare(1996年)。
相对湿度。高斯珀证明了这一点
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为所有人素数并推测它成立只有对于素数当Skiena(1990)发现它也适用于复合数 瓦尔迪(1991年,第63页)随后表明是一种解决方案是一个韦伊费列治素数和如果具有是一个解决方案,那么也是这使他能够表明唯一的解决方案对于混合成的 是5907,,以及,其中1093和3511为威弗里奇素数.
考虑二项式系数前几位是1、3、10、35、126、,…(OEIS)A001700号). 这个生成功能是
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这些数字是无平方的只为, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 36, ... (组织环境信息系统A046097号),没有其他人知道。事实证明可被4整除,除非属于2-自动装置 ,恰好是一组数字谁的二元的表示包含最多两个1:1,2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18, ... (组织环境信息系统A048645号).类似地,可被9整除,除非属于3-自动设置 ,由数字组成其中在里面三元的完全由0s和2s(可能除了一对相邻的1s)。的初始元素是1、2、3、4、6、7、9、10、11、12、13、18、19、21、22、27。。。(组织环境信息系统A051382号).如果那么是平方自由的必须属于。很可能是有限的,但没有已知的证明。现在,大于4和9也可能分开但仅通过消除这两个因素对于是1、2、3、4、6、9、10、12、18、33、34、36、40、64、66、192、256、264、272、513、,514、516、576、768、1026、1056、2304、16392、65664、81920、532480和545259520。除最后一项外,所有这些都已经过检查,确定没有其他这样的话是平方自由的.
Erdős表明二项式系数具有是一个权力的整数对于单个案例(《狮子座》1983年,第48页)。二项式系数是正方形什么时候是一个三角形数,发生于, 6, 35, 204, 1189, 6930, ... (组织环境信息系统A001109号). 这些值具有相应的值, 9, 50, 289, 1682, 9801, ... (组织环境信息系统A052436号).
二项式系数被称为中心的二项式系数,其中是楼层功能,尽管系数子集有时也有这个名字。Erdős和Graham(1980年,第71页)推测中心的二项式系数 是从未 无平方的对于,这有时被称为Erdős公司无平方猜想.萨科齐的定理(Sárkőzy 1985)提供了部分解决方案,其中指出二项式系数永远不会无平方的对于都足够大(瓦尔迪,1991年)。Granville和Ramare(1996)证明了这个只有 无平方的值为和4。桑德(1992)随后表明也永远不会无平方的足够大的只要不是“太大”
对于,,和不同的素数,然后是函数(◇) 满足
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(瓦尔迪1991年,第66页)。
大多数二项式系数具有有一个主要因素和拉坎帕涅等。(1993)推测这种不平等对所有人来说都是真实的,或更强烈地认为任何此类二项式系数有最小素因子 或除了例外,,,对于其中第19、23、29页(盖伊1994年,第84页)。
二项式系数(mod 2)可以使用异或操作异或,制作帕斯卡三角形mod2很容易构建。
Sondow(2005)和Sondow and Zudilin(2006)指出了不平等
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对于一正整数和一个实数。