为什么研究向量束很有用？

Question

我有一个来自早些时候的问题乔初的职位那里的一些答案，特别是David Lehavi的答案，是绘制类比束和变量与模块和环。所以我只是想知道，为什么对束的研究会提供有关品种的信息，有什么大的原因吗？（我想，就这件事而言，我真的应该用流形来代替变种吗？）

我听说过一些不变量，比如复杂流形的Picard群。但考虑到我在这些概念上缺乏经验，我真的不知道为什么它们应该很重要。因此，对于那些正在考虑“编造不变量”的人，我们将不胜感激地对它们为什么有用进行一些更详细的解释（希望还有一些基本示例！）。谢谢！

Answer 1

在代数几何中，有几个原因：

1） 子变量：取一个向量束，看一个截面，它在哪里？许多子品种以这种方式出现（并非全部，请参阅这个问题)但一般来说，我们可以从向量束中获得关于子变种的大量信息。

2） 空间不变量：线束的Picard群和更一般的Grothendieck群/环是一个有用的不变量，用于区分空间和间接分析几何。事实上，在光滑空间上，向量丛的复数可以用来完全替换相干带轮（我相信是通过Syzygy定理）。

3） 映射到投影空间：这个是特定于线束的。假设$V\to\mathbb{P}^n$是任何嵌入，那么$\mathcal{O}（1）$的回调是$V$上的一个行束。好的方面是，这个线束的全局部分由映射决定（我们可以通过子空间得到退化映射，但我们暂时忽略它，以及基本位置）。事实证明，我们可以定义一个线束是充分的，这是束上的一个条件，这足以说明它的幂可以给$\mathbb{P}^n$一个态射，所以理解射影空间中的映射与研究一个簇上的充分线束是一样的。

希望能有所帮助，还有很多，但这是我首先想到的三件事。

Answer 2

我认为许多其他答案归结为相同的基本思想：向量束的部分是流形/变体/任何东西上的“广义函数”或“扭曲函数”。

例如，Charles提到了子变种，它们大致是“功能的零位点”。然而，在射影变种上不存在非常常全纯全局函数。那么我们如何讨论射影簇的子簇呢？好的，我们确实在局部有非恒定的全纯函数，所以我们仍然可以在局部定义子变种为函数的零位点。但是在一个开放集$U$上定义子簇的函数$f_i$和在另一个开放集中$V$上定义子簇的函数$g_i$不一定在$U\cap V$上一致。我们需要某种“扭曲”才能使$f_i$和$g_i$在$U\cap V$上匹配。这样做之后，我们得到的全局对象不是全局函数（因为没有非恒定的全局函数），而是“扭曲”的全局函数，换句话说，是向量束的一部分，其过渡函数由这些“扭曲”描述。

类似地，向量束和线束是讨论极点函数的好方法。然后亚纯函数就变成了一个线束的简单部分，这很好，因为它使我们可以避免讨论$\infty$。这就是为什么线束与投影空间$X\to\mathbb{P}^n$的映射相关的根本原因；直观地说，$X$上的线束的$n+1$段与$X$中的$n+1$亚纯函数相同，这与映射“$X\to（\mathbb{C}\cup\infty）^{n+1}$”相同，它在我们“projectivise”之后成为映射“$X \to\mathbb{P}^n$”。

将向量束及其部分视为流形/簇的不变量的一种方法是将它们视为描述流形/族上可能存在的“广义”或“扭曲”函数。

将向量束的截面视为“扭曲函数”的观点对物理学也很有用，例如大卫的答案。例如，假设我们有一个流形，我们认为它是一个粒子在其中运动的空间。流形上有局部坐标，用于描述粒子的位置。因为我们是在流形上，所以局部坐标之间的转换很重要。我们可能也有兴趣研究，例如，在空间中运动的粒子的速度或动量（或加速度等）。在局部图表上，我们可以用局部坐标轻松地描述这些动量，但对于全局描述，我们需要在这些动量的局部描述之间进行转换，就像我们需要在局部坐标之间进行转换以全局描述流形一样。动量的局部描述之间的转换与局部坐标之间的转换不同（尽管前者取决于后者）；用不同的措辞，我们在流形上得到了一个非平凡（好的，不总是非平凡的，但通常是非平凡的）向量丛。

Answer 3

虽然不是这个问题的完整答案，但让我指出向量束有时是强加给你的。

例如，可以从定义在组$G$作用的流形$M$上的诚实函数$f$开始。为了简单起见，我们假设$G$的行为方式是商$M/G$是流形。如果函数在群下是不变的，它将在商上定义一个诚实函数。但是如果函数是“几乎”不变的，比如$$f（g^{-1}x）=\alpha（g）f（x）$$对于g$中的$g\和M$中的$1x\，如果$\alpha$是$g$的某个字符，则$f$仅在商上定义（同质）线束的一部分。

更一般地说，如果$f:M\到V$，其中$\rho:G\to\mathrm{GL}（V）$是$G$的表示，并且假设$$f（g^｛-1｝x）=\rho（g）f（x）$$然后在商$M/G$中，$f$定义了（齐次）向量束的一部分。

另一种情况是，有一个固定向量空间$V$的自同态族$\phi（x）\in\mathrm{End}（V）$，由流形$M$参数化。然后$\phi（x）$的核是$V$的向量子空间，假设其维数不随$x$变化，定义$M$上的向量丛。

还有一些有趣的不变量需要考虑向量束。例如，拓扑K-理论是指数定理的自然背景，是向量丛理论。

最后，向量丛对规范理论至关重要，规范理论反过来又在拓扑学中提供了非常有用的结果：80年代Donaldson关于4流形拓扑的早期工作，20世纪90年代中期的Seiberg-Write理论，。。。

Answer 4

另一个强制使用束的例子是，如果您想区分流形上的函数。（这可能是上面一句话的特例——我写的是一个完全不专业的人。）如果你在R^n上微分一个实值函数，你会得到一个取R^n中的值的函数：如果你在n维流形上微分一一个实数函数，那么它取切线束中的值。这并不能真正解释为什么它们是如此强大的概念，但至少它表明了它们是一个自然的概念。

Answer 5

它们易于处理，自然发生，但编码了大量信息。它们还提供了不同数学技术之间的联系。一个很好的比较是在向量束上求解杨-米尔斯方程和在黎曼流形上求解爱因斯坦方程。

K-理论表明，它们包含着大量的拓扑信息。

Hitchin Kobayashi通信连接微分和代数技术，Atiyah Singer指数定理连接分析和拓扑。平面连接和曲率连接几何和表示理论。托雷利定理和唐纳森的工作利用它们揭示了关于精细结构的信息（分别是代数和可微的）。它们自然地出现，切线束和法向束明显地存在，但也存在射影嵌入。

希钦的论文Riemann曲面上的自对偶方程将其中许多完美地结合在一起。

Answer 6

以下是从几何量化角度出发的一些动机。在这个理论中，人们通常考虑辛流形上的向量丛。辛流形表示“经典机械系统”的状态空间，例如，在粒子沿直线运动的情况下，辛流形为$\mathbb{R}^2$粒子位置和动量的空间。

经典力学中的运动方程（哈密尔顿方程）在状态空间坐标下通常是非线性的，因为它们是从泊松括号中获得的。这个问题的量子版本考虑了“经典”辛空间上的线束。这些束的截面代表粒子的“波函数”。在量子力学中，运动方程是线性的（薛定谔方程）。这种“线性化”是通过对具有本质线性结构的线束进行工作来实现的，而诱导演化算子在截面空间上线性地作用。

线束的许多性质在这里也有重要意义。例如，线束部分定义嵌入的投影空间就是投影量子力学希尔伯特空间。

对向量束的推广用于描述具有“内部自由度”的粒子，如自旋。

矢量束的谐波分析用于量子力学的谱问题。

Answer 7

根据Gowers的回答（这是我想写的）和Siu的回答，在我看来，过去50年的数学研究中的一个共同主题大致如下：

1） 从示例中提取抽象数学对象的定义（黎曼曲面、代数簇、向量束等）

2） 定义所有这些抽象对象的集合或空间，并寻找在此空间上自然存在的某种结构，通常是代数或拓扑结构。如有必要，施加一个等价条件（同胚、同位、同源）

3） 通过分析和分类这些空间（可能取决于参数），对最初导致抽象定义的原始示例形成新的见解。

因此，回到向量丛，一旦你有了分类和区分不同类型向量丛的理论，你就可以将其应用于流形或簇上自然定义的丛，并获得分类和区分此类空间不同类型的新结果。

向量丛特别有吸引力，因为它们代表了流形和变种的非线性结构的“线性化”。因此，在许多方面，它们比基本空间更容易使用。

Answer 8

研究向量丛在数学的几个领域都非常有用，其中切线丛是一种特殊情况，原因如下4。

1. 向量束产生了一些有趣的例子：首先，平凡的束，$V=X\次\mathbb{R}^R$哪里X美元$是一个拓扑空间，我们看到的是维数的实向量空间美元$在这里。对于每个点$x\以x表示$我们定义$V_x=x\次\mathbb{R}^R$。我们也可以使用向量束来研究mobius带：这是向量束用于分类曲面和检测曲面矛盾程度的更大想法的一部分（以下第四点）。向量丛在研究代数几何中有限生成的射影模时非常重要：射影模对应于我们正在研究的代数簇上的秩-1向量丛或线丛。

2. 给定一个向量束V美元$，我们可以讨论向量束的截面V美元$这些部分给出了拓扑空间上向量值函数的推广X美元$。所以特别是，如果我们考虑切丛，截面将是向量场。在代数几何中，很少有全局定义的函数，所以我们需要代数几何这个更一般的概念。以射影空间映射中的部分为例：它们允许您映射$\mathbb{C}\mathbb{P}^1$到$\mathbb{C}\mathbb{P}^2$以规范的方式。

3. 研究向量丛很重要的第三个原因是当研究两个拓扑空间时X美元$和Y美元$和X美元$沉浸在Y美元$说它们是多歧管。正常束N美元$在X美元$由定义$N_x=T_x Y/T_x x$对于每个$x\以x表示$零截面由$\pi:X\到N$是一级近似X美元$坐在Y美元$:$\rho:X\到Y$，这样你就可以通过记录无穷小的信息来研究流形的子流形X美元$坐在里面Y美元$.

4. 向量束打开X美元$给我们一个学习的方法X美元$考虑以下定理：如果X美元$是紧的，Haussdorf和可压缩的，然后是每个向量束X美元$是微不足道的。因此，上向量丛的同构类集合X美元$测量距离收缩的距离X美元$这给了我们一个研究拓扑空间的不变量X美元$这导致了对千美元$-理论，数学的一个重要领域。

Answer 9

在非常精确的意义上，向量丛是基本几何对象M的“表示”，即拓扑空间，或拓扑流形、可微流形、复流形、解析流形、代数流形等，其中每一个都具有适当类型函数的代数特征。然后，该代数的表示是投射模，每个投射模同构于某个向量簇的截面模。（拓扑、光滑、代数、解析等）因此，这样的向量丛在whitney和和张量积下的环是M的一个非常重要的不变量。另一方面，对于个别特定的向量丛，截面的模在几何问题中自然出现，例如，光滑情况下函数的导数，黎曼结构的研究或微分几何，或射影空间中代数簇的映射，简而言之，向量束代表几何的某些方面，而v.b的集合代表基的更基本的几何结构。。。

Answer 10

欧几里德的几何学是冻结物体的几何学（因此罗素将数学描述为“至高无上的美——一种冷峻的美”）。微分学是移动的欧几里得几何，即具有变化率的几何对象。任何移动子品种$X\子集Y$[地图$\varphi\colon X\到Y$]在中具有派生$\varphi^*TY/TX美元$[第节$T^*X\otimes\varphi^*TY$]向量束[向量束的一部分]。因此，非线性对象（映射等）的一阶变形是向量子束[向量束的部分]。类似地，高阶变形。所以当我们移动物体（地图、子变量）时，向量束就是我们进行微积分、进行线性近似的地方。

Answer 11

在镜像对称中，特别是同调镜像对称中稳定全纯向量丛的镜像是特殊的拉格朗日子流形。

辛几何中

A-brane=拉格朗日子流形+平坦向量丛•

在全纯几何中

B膜=复子流形+全纯丛

自反Sheaf和向量丛之间有一个关系，在研究可拓学以寻找规范度量时使用了向量丛

反身束$F（美元）$，关于卡勒品种X美元$在余维至少3之外是全纯向量丛，

在向量丛的直线丛直接映象的正性理论研究中。

例如，与Fano流形上的K稳定性和Kähler-Einstein度量相关的CM-束的正性

Answer 12

微积分是通过切线丛从向量空间扩展到流形的。这是一种非常特殊的向量束。微分形式的Cartan演算和物理学家钟爱的旧Ricci演算都是建立在它之上的。这已经证明向量束是有价值的。但更进一步，正如爱因斯坦通过广义协方差的概念教给我们的那样，观察物体包括其同构是有价值的，因此我们不应该只看切线束，还应该看与之同构的所有向量束。这样的束用于GR的规范解释，比如说，圈内量子引力。