向量丛

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的(无限大)M bius带ö是一个线丛1-sphere S局部周围的每一个点S,它看起来像 U × R(在哪里U是一个开放的弧包括点),但总的束是不同的S × R(这是一个圆柱相反)。

进入数学,一个向量丛是一个拓扑建设,使精确的家庭观念向量空间由另一个空间 X(例如X可能是一个拓扑空间,一个流形,或代数簇每一个点):X的空间X我们认为(或“附加”)一个向量空间vX)在这样一种方式,这些向量空间结合在一起形成一个空间的相同X(例如一个拓扑空间,流形,或代数簇),然后被称为向量丛上的 <i>X</i>

最简单的例子是,向量空间的家庭是不变的,即有一个固定的向量空间v这样,vX = )v所有X进入X:在这种情况下,有一份v对于每个X进入X这张组合在一起形成的向量丛X × v结束X这样的向量丛称为琐碎的一个更复杂的(原型)类的例子是切丛属于光滑流形(或微):对这种流形的每一点我们高度切空间在这一点上的歧管。切丛都没有,在一般情况下,平凡的捆绑:例如,球面的切丛是非平凡的毛球定理一般来说,一个流形称为并行当且仅当它的切丛是平凡的。

向量丛几乎总是需要局部平凡,然而,这意味着他们的例子纤维束同时,向量空间通常都必须在实数或复数,在这种情况下,向量丛称为实数或复数向量丛(分别)。复向量丛可以被看作是额外的结构实向量丛。在下面,我们重点在实向量丛拓扑空间的范畴

定义和后果编辑]

一个<b>实向量丛的</b>组成:

  1. 拓扑空间<i>X</i>(<i>底空间</i>)和<i>E</i>(<i>总空间</i>)
  2. 连续的 满射π :EX束投影
  3. 对于每一个X进入X,一个结构有限维 真实 向量空间光纤π−1({X})

在下面的兼容性条件满足:每点P进入X,有一个开邻域UX属于P,一个自然数 K,和一个同胚

使得对所有的<i>x</i>∈<i>U</i>,

  • 所有向量v进入RK,和
  • 地图是一个向量空间之间的线性同构RK和π−1({X})。

开邻域U连同同胚被称为局部平凡化的向量丛。当地化显示局部图π“看起来像”的投影U×RK打开(放)U

每一根纤维π−1({X})是一个有限维实向量空间,因此有一个维度KX当地trivializations表明功能 XKX局部常数因此,和不变的每个连接组件属于X如果KX等于一个常数K在所有的X,然后K被称为等级的向量丛,和E据说是一个向量组的秩<i>K</i>往往一个向量丛的定义包括的等级是非常明确的,所以KX是恒定的。秩1向量丛称为线丛,而那些2级不通常称为平面束。

这个笛卡尔积 X×RK,配备投影X×RKX,称为平凡丛K结束X

转移函数编辑]

给定一个向量丛<i>E</i> → <i>X</i>秩<i>K</i>,和一条街区的束<i>U</i>和<i>V</i>通过淡化

复合函数

定义良好的重叠,并满足

对于一些GL(<i>K</i>)值函数

这些被称为<b>转换函数</b>(或<b>坐标变换</b>)的向量丛。

转移函数的集合形成一个ČECH上循环在这个意义上,

所有UvW在这束平凡。因此,数据(EX,π,RK)定义纤维束的附加数据;G紫外指定一个GL(K)结构组,对纤维的作用是GL的标准动作(K)。

反之,给定一个纤维束(EX,π,RK)与GL(K)上循环作用在标准方式对纤维RK,有相关向量丛。这有时是作为一个向量丛的定义。需要的引证]

向量丛态射编辑]

态射从向量丛π :EX对向量丛π :EX通过对连续的地图F :EEG :XX这样,

  • G ∘ π ∘ F
bundlemorphism-01.png
  • 对于每一个X进入Xπ,地图−1({X→π})−1({GX)})引起的F是一个线性映射向量空间之间。

请注意,G是由F(因为π是满的),和F然后说盖<i>G</i>

所有向量丛与丛态射的课堂形式多类别限制向量丛的空间流形(和束投影是光滑映射)和光滑的束射得到光滑向量丛的分类。向量丛态射是一个概念的一个特例包图之间纤维束,也常被称为(矢量)束同态

一束同态EE具有逆也是丛同态(从EE)称为(矢量)丛同构,然后EE都说是同构向量丛。同构的(等级K)向量丛E结束X与平凡丛(秩K结束X)称为庸俗化属于E,和E就说是琐碎的(或trivializable)。一个向量丛的定义表明,任何向量丛局部平凡

我们也可以考虑所有的向量丛的类别在固定基地的空间X为态射这类我们把这些态射的向量丛的地图的基础上,空间是恒等映射打开(放)X即束射,如下图上下班

bundlemorphism-02.png

(注意这类 阿贝尔;的内核态射的向量丛是在一般不是一个向量丛在任何自然的方式。)

一个向量丛之间的π向量丛态射 :EX和π :EX覆盖图GXX也可以看作是一个向量丛态射过来XE拉回丛 G*E

部分和局部自由层编辑]

地图关联正常每个点的表面上可以认为是一个部分。表面的空间X在每一个点,X这是附着在一个向量空间的向量X

给定一个向量丛π :EX和一个开子集U属于X,我们可以考虑区域在对πU连续函数,即S :UE在复合π∘S是这样的,(π∘<i>S</i>)(<i>U</i>)= <i>u</i>所有U进入U从本质上讲,一部分分配到每一点U从所附的向量空间的一个向量,以连续的方式。作为一个例子,一个微分流形的切丛的截面都是向量场在流形。

FU)是所有章节的设置UFU)总是包含至少一个元素,即零部的功能:S地图的每一个元素X属于U对向量空间π零元−1({X})。用逐点的加法和标量乘法的部分,FU)本身成为一个实向量空间。这些向量空间的集合是一个向量空间X

如果S是一个元素FU)和α :UR是一个连续的地图,然后αS(逐点的标量乘法)是FU)。我们看到,FU)是一个模块连续实值函数环上的U此外,如果OX是指连续实值函数的结构层上X,然后F成捆啊X模块

不是每捆啊X模块以这种方式出现从一个向量丛:只有局部自由人做的。(原因:在本地寻找投影部分U×RKU这些正是连续函数;URK,这样的函数是K-连续函数的元组UR。)

更多:实向量丛的分类X相等的对局部自由和有限生成的成捆的O类X模块所以我们可以认为实向量丛的分类X当坐在里面的类成捆的OX模块;后者是可交换的,所以这是我们可以计算内核和向量丛的射cokernels。

一阶<i>n</i>向量丛是平凡的当且仅当它有<i>n个</i>线性无关的全局部分。

对向量丛的操作编辑]

大多数操作上向量空间可以扩展到向量丛由向量空间操作<i>纤维</i>。

例如,如果E是一个向量丛X,然后有一束E *结束X,称为双束,其纤维XX是的对偶向量空间EX)*。正式地E *可以被定义为对的集合(Xφ),在那里,XX和φ∈(EX)*。双束局部平凡因为对偶空间对当地的庸常的逆E是一个平凡的地方E *:这里的关键点是以对偶向量空间操作函子

有许多功能操作,可以执行对向量空间(在同一场),这将直接对向量丛<i>E</i>,<i>F</i>在<i>X</i>(在给定的域)。几个例子。

  • 这个惠特尼和(命名为哈斯勒·惠特尼)或直和束属于EF是一个向量丛EF结束X其纤维X是的直和 EXFX的向量空间EXFX
  • 这个张量积丛 EF以类似的方式被定义,用纤维张量积向量空间。
  • 这个坎束霍姆(EF)是一个向量丛的纤维X是线性映射空间EXFX(这往往是表示霍姆(EXFX)或lEXFX))。坎包是所谓的(有用的)因为有一个向量丛同态之间的双射EF结束X和段坎(EF)在X
  • 在前面的例子中,给出一段S自同态的束霍姆(EE)和功能FXR,可以构造一个eigenbundle以纤维在一点XX是的FX)—特征空间的线性映射SX) :EXEX虽然这个建筑是自然的,除非是,产生的对象不会有地方trivializations。考虑的情况下S被零段F有孤立零点。光纤在这些零点在产生的“eigenbundle”将同构的纤维过E,而其他地方的纤维是琐碎的零维向量空间。
  • 这个对偶向量丛 E *是坎坎(束ER×X)束同态E和平凡丛R×X有一个典型的向量丛的同构霍姆(EF)=E *F

这些操作是束的一般特征的一个特别的例子:许多操作可以在向量空间范畴进行也可以在一个向量丛的分类进行函子的方式。这是语言的准确光滑的函子不同性质的操作是拉回丛施工给定一个向量丛EY与连续映射F :XY一个可以“拉回来”E一个向量丛* E F结束X在一个点的纤维XX基本上是纤维FX)∈Y因此,Whitney总结EF可以定义为回调束斜图XX×X在丛X×XE × F

备注:让X是一个紧凑的空间。任何向量丛E结束X是一个平凡丛的直和项;即,存在一个束E'这样,EE'是微不足道的。这是失败的X不紧凑的:例如,重复的线丛在无限的实射影空间不具有这一性质的。[一]

额外的结构和概括编辑]

向量丛往往给予更多的结构。例如,向量丛可配备向量丛的度量这一指标通常需要正定,在这种情况下,每个纤维E成为一个欧氏空间。一个向量丛复杂的结构对应于复向量丛,也可通过更换实向量空间的定义与复杂的,要求所有的映射是复线性纤维中获得的。更一般地,一个可以理解的术语在一个向量丛施加了额外的结构一丛的结构群的约化在更一般的向量丛拓扑领域也可以使用。

如果不是一个有限维向量空间,如果纤维F采取的是巴拿赫空间然后一个巴拿赫束得到了。[ 2]具体而言,必须要求当地trivializations是巴拿赫空间的同构(而不仅仅是线性同构)的每个纤维,此外,转换

连续映射巴拿赫流形在相应的理论为CP束,所有的映射必须是CP

向量丛是特殊的纤维束,那些纤维是向量空间的向量空间结构上循环方面。更一般的纤维束可以构造中的纤维可能有其他结构;例如球包是纤维的球。

光滑向量丛编辑]

一个向量丛(EPM)是光滑的,如果EM光滑流形 ,P:EM是一个光滑的地图,和当地的trivializations是微分同胚根据所需的光洁度,有不同的对应的概念CP捆,无限可微 C-束和实解析 Cω在这一节中我们将集中精力C一个最重要的例子C向量丛是切丛TM,πTMM)一个C歧管M

这个C向量丛(EPM)没有通过更一般的共享的一个非常重要的特性C纤维束。即切线空间TvEX)在任何vEX可以自然确定的纤维EX本身。这种认同是通过垂直电梯 VLvEXTvEX),定义为

垂直电梯也可以被看作是一个自然的C向量丛的同构P×EVE,在(P×EP PE)是回拉束(EPM)在E通过P :EM,和VE :=卡尔(P*)⊂TE是的垂直切丛,一切丛的天然载体子丛(TE,πTEE)的总空间E

总空间E任何光滑向量丛进行一个自然的向量场vv := VLvv,称为规范向量场更正式的,v是一个光滑的部分(TE,πTEE),它也可以被定义为李群行动的无穷小(Tv)↦ETv由纤维的标量乘法了。正则向量场v具有完全的光滑向量丛结构按以下方式。作为一个准备,注意当X是一个光滑流形的光滑向量场MXM这样,XX= 0,线性映射

不依赖于选择的线性协变导数∇对<i>M</i>。正则向量场在满足公理<i>V</i> <i>E</i>

1。流量(Tv)→ΦTvv)的v是全局定义的。

2。对于每个vv这是一个独特的林T→∞ΦTvv)∈v

三.Cvv)∘Cvv)=Cvv)每当vv= 0。

4。零套v是一个光滑流形E其余维数等于排名Cvv)。

相反,如果<i>E</i>是光滑流形和<i>V</i>是一个光滑向量场<i>E</i>满足1-4,然后有一个独特的向量丛<i>E</i>的结构规范向量场是<i>V</i>。

任何光滑向量丛(EPM)的总空间TE其切丛(TE,πTEE)有一个自然的第二向量丛结构TEP*TM),在那里P*是典型的投影的推进PEM在这第二向量丛结构的向量丛的运算是推动+*TE×E)→TE和λ* :TETE原来的 加+:E×EE和标量乘法λ:EE

K-理论编辑]

K-理论组,K(<i>x</i>),对一个紧Hausdorff拓扑空间的定义是Abel群的同构类生成[<i>电子</i>]属于复向量丛模的关系,每当我们有正合序列

然后

进入拓扑K-理论柯理论是一个版本的这种结构考虑实际的向量丛。K-理论紧凑的支持也可以定义,以及较高的K-理论组。

著名的周期性定理属于拉乌尔·博特认为任何空间理论X是同构的,SX,双悬X

进入代数几何,一个认为组成的K-理论组凝聚层在一个方案 X,以及向量丛与上述等价关系的方案的K-理论组。这两个结构相同的提供的基本方案光滑的

参见编辑]

一般意念编辑]

拓扑和微分几何编辑]

代数与解析几何编辑]

笔记编辑]

  1. ^ 孵化器,例如3.6。
  2. ^ 郎,瑟奇(1995),微分流形,柏林,纽约:施普林格出版社国际标准书号 978-0-387-94338-1 

推荐信编辑]

外部链接编辑]