通用性

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在各分支机构的数学,一个有用的建设往往被视为“最有效的解决方案”,针对某个问题。一个定义通用性使用的语言范畴理论为了使这个概念的精确和抽象研究。

本文给出了通用性质的一般处理。要理解这个概念,这是第一个研究了几个例子,很有用的,其中有很多:所有免费对象直接产品直和自由群自由格格罗滕迪克集团绰–麦克尼尔完成产品结构石–Č切赫紧张量积逆极限直接限制内核余核回调推出均衡器

动力编辑]

在给出通用性的形式化定义,我们研究这样的建设提供一些动机。

  • 一个给定的建设的具体细节可能凌乱,但如果施工满足通用性,人可以忘记所有的细节:所有有了解施工中已包含的通用性。证据往往成为短典雅如果通用性而不是具体的细节。例如,在张量代数一个向量空间实际上是构造稍有疼痛,但使用其通用性使得它更容易处理。
  • 通用属性定义了一个独特的对象唯一同构[ 1 ]因此,一个策略来证明两个对象是同构是表明它们满足相同的通用性。
  • 通用结构的性质是函子:如果一个人能进行施工中的每一个对象类C然后得到一函子打开(放)C此外,这个函子是一右或左伴随的函子U用于通用性的定义。[ 2]
  • 通用属性数学无处不在。通过了解他们的抽象性质,得到关于这些结构信息,可以避免为每个实例重复同样的分析。

正式的定义编辑]

假设UDC是一个函子从一个多类别 D一类C,让X是一个对象C考虑以下二重的(相反)的概念:

一个初始态射XU是一个初始对象多类别态射的XU换句话说,它由一对(Φ)的地方是一个对象DΦXU)是一个态射C,如以下初始属性是满意的:

  • 每当Y是一个对象DFXUY)是一个态射C,则存在一个独特态射GY如下面的图上下班
从X到U的初始态射

端射UX是一个终端对象逗号范畴 态射的UX换句话说,它由一对(Φ)的地方是一个对象DΦU)→X是一个态射C,如以下终端性能是满意的:

  • 当<i>Y</i>是一个对象:<i>U</i> <i>D</i>和<i>F</i>(<i>y</i>)→<i>x</i>是一个态射<i>C</i>,则存在一个<i>独特的</i>射<i>G</i>:<i>Y</i>→<i>一</i>如下图的上下班:
从u到X终端射

术语通用性[ 3 ]是指一个或一个终端初始态射射,和术语通用性是指一个初始属性或终端性能。在每个定义的态射的存在G直观地表达一个事实:(Φ)是“足够”,而态射的唯一性确保了(Φ“不一般”)。

对偶编辑]

由于概念的<i>初始</i>和<i>终端</i>是双重的,它通常可以只讨论其中的一个,和简单的反向箭头<i>C</i>为双重的探讨。另外,这个词经常被用来代替<i>通用的</i>文字。

注:有些作者可以说只有一个结构通用性和其他11有限宇宙射这是取决于作者,但为了与命名一致限制和上极限后者的建设应该命名为通用和前couniversal。本文采用初始和终端对象的明确的术语。

实例编辑]

下面是一些例子,突出的总体思路。读者可以通过咨询介绍中提到的文章构建了许多其他的例子。

张量代数编辑]

C是的向量空间范畴 K后在一个领域 KD是类代数 K -算法结束K(假定为单作的联想)。

U :K -算法K后

是的遗忘函子分配给每个代数基础向量空间。

给定任何向量空间 v结束K我们可以构建张量代数 Tv)的v张量代数的特征是:

“任何线性映射v一个代数唯一可以延长到代数同态Tv)来”。

这项声明是初始产权的张量代数因为它表达的事实,对(<i>T</i>(<i>V</i>),<i>我</i>),在<i>我</i> :<i>V</i>→<i>T</i>(<i>V</i>)是包含映射,是初始态射的向量空间<i>V</i>的函子<i>U</i>。

由于本工程的任何向量空间v,我们得出这样的结论:T从一个函子K后K -算法这意味着,T左伴随的遗忘函子U(请参阅下面的部分对伴随函子)。

产品编辑]

分类产品可以通过一个终端的性能。具体而言,可以考虑的笛卡尔积进入配置,的直接产品进入玻璃钢,或产品结构进入上衣在产品的存在。

让对象的<i>X</i>和<i>Y</i>类<i>D</i>。产品是一个对象<i>X</i> <i>X</i>和<i>Y</i> <i>Y</i>×结合两态射

π :X×YX
π :X×YY

这样,任何其他对象Z属于D和态射F :ZXG :ZY存在唯一的态射H :ZX×Y这样,FHGH

要理解这一特性作为终端属性以类C是的产品类别 D×D定义对角函子

Δ :<i>D</i> <i>D</i> <i>D</i>→×

通过Δ(X)=(XX)和Δ(F :XY)=(FF)。然后(X×Y,(π,π))是一个从Δ到目的终端射(XY)的D×D:如果(FG)是从任何态射(ZZ以()XY),那么它必须等于一个态射Δ(H :ZX×Y)=(HH从Δ()Z)=(ZZ对Δ()X×Y)=(X×YX×Y),其次是(π,π)。

限制和上极限编辑]

分类产品是一种特殊的限制在范畴论。一个可以概括上述例子任意限制和上极限。

JC是类J 指标类别CJ相应的是函子范畴这个对角函子

Δ :CCJ

是函子映射每个对象在<i>C</i> <i>N</i>的常数函子Δ(<i>N</i>):<i>J</i>→<i>C</i>到<i>N</i>(即Δ(<i>n</i>)(<i>x</i>)= <i>n</i>每个<i>X</i>在<i>J</i>)。

给定一个函子F :JC(认为是一个对象CJ),这限制属于F,如果它存在,只不过是从一个终端Δ射F同时,该上极限属于F从初始态射F对Δ。

性能编辑]

存在性和唯一性编辑]

定义一个数量并不能保证它的存在。给定一个函子U和一个对象X如上所述,有可能还是存在一个初始态射的不可能XU如果,然而,一个初始态射(φ)确实存在,那么,它本质上是独一无二的。具体地说,它是独一无二的高达独特 同构:如果(′,φ′)是另一个这样的配对,则存在唯一的同构K′这样φ′=UK)φ。这是用易见(′,φ′)为(YF)在初始产权界定。

这是对(<i>A</i>,φ)本质上是一种独特的时尚。对象<i>一个</i>本身只有独一无二的同构。事实上,如果(<i>一</i>,φ)是初始态射和<i>K</i>:<i>一</i>→<i>一</i>′任何同构则对(<i>一</i>′,φ′),在φ′= <i>u</i>(<i>k</i>)φ,也是一个初始态射。

等价形式编辑]

一个普遍的态射的定义可以改写以各种方式。让<i>你</i>成为一个函子从<i>D</i>到<i>C</i>,让<i>X</i>是一个对象的<i>C</i>。则下列陈述是等价的:

  • (<i>一</i>,φ)是初始射从<i>X</i>到<i>你</i>
  • ,φ)是一初始对象逗号范畴XU
  • ,φ)是一个表示CXU-)

双报表也是等价的:

  • (<i>一</i>,φ)是一个终端从<i>U</i>到<i>X</i>射
  • ,φ)是一个终端对象这个逗号范畴(UX
  • ,φ)是一个表示坎CU—,X

对伴随函子编辑]

假设(,φ)从初始态射XU和(,φ)从初始态射XU由最初的财产,任何态射HXX存在唯一的态射G如下图的上下班:

universalproperty-05.svg

如果每一个目标XI属于C承认一个初始态射U,然后分配定义一个函数vCD图φI然后定义一个自然变换从1C(对身份函子C)来紫外函子(vU)然后一对伴随函子,与v左伴随UU右伴随v

类似声明适用于双情况从终端射<i>你</i>。如果这样的态射的存在对于每一个<i>x</i>在<i>C</i>得到函子<i>V</i>:<i>C</i>→<i>D</i>是伴随<i>你</i>(所以<i>你</i>是左伴随<i>V</i>)。

事实上,所有对伴随函子出现这样的通用结构。FG是一对伴随函子与单位η和有限单元ε(见文章伴随函子为定义)。然后,我们为每个对象在宇宙射CD

  • 对于每个对象X进入C,(FX),ηX)从初始态射XG那就是,所有的FXGY)存在唯一GFX)→Y而下面的图表上下班。
  • 对于每个对象Y进入D,(GY),εY)是一个终端射从FY那就是,所有的GFX)→Y存在唯一的FXGY),下面的图表上下班。
一对伴随函子的普遍性质

通用结构比一般伴随函子对:一个通用的建筑就像是一个优化问题;它增加了一个伴随对当且仅当这个问题有一个解决方案的每一个对象的<i>C</i>(等价地,每一个目标<i>D</i>)。

历史编辑]

各种拓扑结构的普适性提出了彼埃尔塞缪尔1948。后来他们被广泛使用布尔巴基伴随函子密切相关的概念引入独立丹尼尔·阚1958。

参见编辑]

笔记编辑]

  1. ^ 雅各布森(2009),命题1.6,44页。
  2. ^ 见到波尔奇诺公司为例,该(2002),页133。练习1,关于普遍性群环
  3. ^ 它也被称为通用的箭;例如在(MAC 1998巷,Ch. III,§1.)

推荐信编辑]

外部链接编辑]