拓扑空间

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进入拓扑和相关部门数学,一个拓扑空间可以被定义为一个配置属于积分,以及一套街区对于每一个点,满足了一套公理关于点和街区。一个拓扑空间的定义仅依赖于集理论是一个最普遍的概念数学的空间允许等概念的定义连续性连通性,和汇聚[ 1 ]其他空间,如流形度量空间是的,额外的拓扑空间的特征结构或约束。所以一般拓扑空间的一个中心的统一概念,出现在几乎每一个现代数学分支。数学是研究拓扑空间的在自己的权利的分支被称为点集拓扑一般拓扑学

历史编辑]

1735左右,欧拉发现公式 关于顶点的数目,一边和面凸多面体因此,和一个平面图这个公式的研究和推广,特别是通过柯西l'huilier,在原点拓扑1827,高斯出版曲面的一般研究在第3节定义的曲面以类似的方式向现代拓扑的理解:“曲面被认为具有在它的一个点的曲率连续的,如果所有的直线从表面的点在一个无穷小的距离无限小的方向偏转一和同一平面通过A.”[ 2]

然而,“直到黎曼的工作,在19世纪50年代早期,表面总是处理从局部的角度(如参数曲面)和拓扑问题从未考虑。”[ 3 ]我öbius约旦似乎意识到关于拓扑结构的主要问题第一(紧凑型)表面是寻找不变量(优选数值)决定表面,对等即决定是否两表面同胚或不。”[ 4 ]

主题是明确的Felix克莱因在他的“埃朗根计划”(1872):任意连续变换的几何不变量,一种几何。“拓扑”介绍利斯廷1847,虽然他所用的术语对应几年前取代以前使用的“拓扑”。这是科学的基础,对于任何一个维度的空间,是由Poincaré他对这个话题的第一篇文章出现在1894。[ 5 ]在上世纪30年代,詹姆斯·韦德尔·亚历山大哈斯勒·惠特尼首先表达的思想,一个表面是一个拓扑空间,局部像欧氏平面

定义编辑]

对拓扑概念的效用的事实显示有这种结构的几个等价定义。因此,选择适合的公理化中的应用。最常用的是从开集,但也许更直观的是,从街区所以这是第一。

通过社区的定义编辑]

这个公理化是由于费利克斯·豪斯多夫X是一个集;要素X通常被称为积分,虽然他们可以是任何数学对象。我们允许X是空的。N是一个功能分配给每个X(点)在X一个非空集合NX)的子集X元素NX)将被称为街区属于X相对于N(或者,干脆,社区X)。功能N被称为邻域拓扑如果公理在下面[ 6 ]满意;然后XN被称为拓扑空间

  1. 如果<i>n</i>是一个社区<i>x</i>(即<i>N</i>∈<b>n</b>(<i>x</i>)),那么<i>X</i>∈<i>n</i>。换句话说,每个点属于它的每一个街区。
  2. 如果N是一个集X包括一个社区X,然后N是一个社区X即,每超集某一点的邻域X进入X又是一个社区X
  3. 这个交叉两个街区X是一个社区X
  4. 任何地区包括附近的<i>M</i> <i>N</i>对<i>X</i>的<i>X</i>,<i>N</i>是一个附近的每一个点的<i>M</i>。

第一三公理的街区有一个明确的意义。第四个原则具有非常重要的使用在结构的理论,是连接在一起的街区不同点<i>X</i>。

一个标准的例子,这样一个系统是实直线<b>R</b>的社区,其中的一个子集<i>N</i>的<b>R</b>是定义为一个<i>街区</i>的一个实数<i>x,</i>如果它包含一个开区间<i>X</i>。

在这样一个结构,一个集U属于X被定义为开放如果U是一所有点附近U打开设置然后满足如下公理。相反,当给定一个拓扑空间的开集的街区,满足上述公理可以回收的定义N是一个社区X如果N包括一个开集U这样,XU[ 7 ]

通过开集的定义编辑]

四例在三点集{ 1,2,3拓扑两非例子}。左下方的例子不是一个拓扑因为工会{ 2 }和{ 3 } { } [即] 2缺失;右下的例子不是一个拓扑由于交叉口{1,2}和{ 2 } [即{ 2 }】,失踪。

拓扑空间是一个有序对(Xτ),在那里X是一个配置τ是一家集亚群属于X,满足下列公理[ 8 ]

  1. 这个空集合X本身属于τ
  2. 任何(有限或无限)联盟成员τ还是属于 τ
  3. 路口的任何有限数量的成员<i>τ</i>仍然属于 <i>τ</i>。

元素的<i>τ</i>称为<b>开集</b>的集合称为一个<b>拓扑</b>上<i>τ</i> <i>X</i>。

实例编辑]

  1. 鉴于X= { 1, 2, 3,4 },集合τ= { { },{ 1, 2, 3,4 } }只有两亚群X所需的公理形式拓扑的X,的平凡拓扑(拓扑代数)。
  2. 鉴于<i>X</i> = { 1, 2, 3,4 },收集<i>τ</i>= { { },{ 2 },{ 1, 2 },{ 2, 3 },{ 1, 2, 3 },{ 1, 2, 3,4 } }六子集形成另一种拓扑结构的<i>X</i> <i>X</i>。
  3. 鉴于X= { 1, 2, 3,4 }和收集τ=PX(的)发电机组属于X),(Xτ)是一个拓扑空间。τ被称为离散拓扑
  4. 给定的<i>x</i> = <b>z</b>,的整数集合,集合<i>τ</i>所有有限子集的整数加<b>Z</b>本身是<i>不是</i>一个拓扑,因为(例如)联合所有的有限集合不包含零是无限的但不是所有的<b>Z</b>,所以不 <i>τ</i>。

通过闭集的定义编辑]

使用摩根定律上述公理,定义开集公理定义成闭集

  1. 空集和<i>X</i>关闭。
  2. 任何闭集的交集也关闭。
  3. 任何有限数量的闭集的并集也关闭。

使用这些公理,另一种方式来定义拓扑空间是一个集合<i>X</i>的集合<i>τ</i>闭子集<i>X</i>。因此,集拓扑中的<i>τ</i>是闭集,及其补充<i>X</i>是开集。

其他定义编辑]

还有许多其他的等价定义一个拓扑空间的方式:换句话说,邻里的概念,或开放或闭集可以重建从其他的出发点,满足正确的公理。

另一种方式来定义拓扑空间的利用Kuratowski闭包公理,它定义了闭集为固定点一个操作人员发电机组属于X

是一个概括的概念序列拓扑是完全确定的如果每个网X其集聚点指定。

比较结构编辑]

各种拓扑结构可以被放置在一组形成一个拓扑空间。当每一集的拓扑结构τ又是一个拓扑ττ是一个集τ,我们说ττ,和ττ一个只依赖于某些开放集存在的证据也将持有的任何细小的拓扑结构,同样,只依赖于某些设置不开证明适用于任何粗糙的拓扑结构。条款更大的有时被用在更细的和粗的地方,分别。条款也用在文学意义上的,但小的协议,所以应该肯定作者的公约时,阅读。

所有的拓扑结构,在给定的一组固定的收集X形成一个完全格:如果F= {τα|α进入}是一个集合上的拓扑结构X,然后满足属于F是交叉口F,和加入属于F为满足所有拓扑结构的集合X包含的每一个成员F

连续函数编辑]

功能 F →:<i>X</i> <i>Y</i>之间的拓扑空间被称为连续的如果对每一个∈<i>X</i> <i>X</i>和每一个街区N属于FX有一个邻居)M属于X这样,F(<i>M</i>)⊆<i>n</i>这是很容易分析的一般定义。等价,F如果是连续的逆象每一个开集是开放的。[ 9 ]这是一个试图捕捉直觉,没有“跳”或“分离”的功能。同胚是一个双射这是连续的又是连续的。两个空间被称为同胚如果它们之间存在一个同胚。从拓扑学的观点,同胚的空间本质上是相同的。

进入范畴理论上衣,的拓扑空间的范畴拓扑空间目标与连续函数态射是一个基本的类别在范畴论。尝试这个类的对象进行分类(上的同胚)不变性有研究领域的动机,如同伦理论同调论,和K-理论等.

拓扑空间的例子编辑]

一个给定的集合可以有多种不同的拓扑结构。如果一个集合是给定一个不同的拓扑结构,它被视为一个不同的拓扑空间。任何可以得到的离散拓扑其中每个子集是开放的。唯一收敛的序列或网在这种拓扑是那些最终常数。另外,任何可以得到的平凡拓扑(也被称为拓扑代数),其中只有空集和整个空间都是开放的。在这种拓扑的每一个序列和网络收敛的空间的每一点。这个例子表明,在一般拓扑空间,限制不需要独特的序列。然而,必须经常拓扑空间Hausdorff空间在极限点是独特的。

度量空间编辑]

度量空间的体现米制的,点与点之间距离的精确概念。

每一个度量空间可以给出一个度量拓扑,其中基本开集开球的度量定义。这是在任何标准拓扑赋范向量空间在有限维向量空间这种拓扑结构是所有规范相同。

有许多方法,定义一个拓扑R,集实数标准的拓扑结构R产生的开区间所有的开区间形成的一套基地依据拓扑结构,这意味着每集是一个收集一些从基地集合的并集。特别是,这意味着,如果存在非零半径大约每点集合中的一个开区间集合是开放的。更一般的Euclidean空间 RN可以给出一个拓扑。通常拓扑打开(放)RN基本的开集是开放的球类同样,C,集复数,和CN有一个标准的拓扑结构中,基本的开集是开放的球。

邻近空间编辑]

邻近空间提供了两套封闭的概念。

一致空间编辑]

一致空间可订购不同点之间的距离。

函数空间编辑]

拓扑空间中的积分的函数称为函数空间

柯西空间编辑]

柯西空间可测试是否一个网的能力柯西柯西空间的研究提供了一个通用设置完井

收敛空间编辑]

收敛空间捕捉一些收敛的特征滤波器

格罗滕迪克的网站编辑]

格罗滕迪克的网站类别附加数据的公理化是否一家箭覆盖对象。网站是定义一个通用设置滑轮

其他的空间编辑]

多套线性算子进入功能分析具有拓扑结构,通过指定当一个特定的函数序列收敛到零的函数定义。

任何局部场有本地拓扑的话,这可以扩展到向量空间在那场。

每一个流形有一个自然拓扑因为它是局部Euclidean。同样,每一个疱疹和每一个单纯复形继承了一个自然的拓扑结构RN

这个Zariski拓扑在代数的定义环的谱或一个代数簇打开(放)RNCN,的Zariski拓扑的闭集是解集系统多项式的方程.

线性图有一个自然的拓扑结构,概括了许多几何方面顶点边缘

这个被ń滑雪空间是最简单的非离散拓扑空间。它有重要的关系计算理论和语义。

存在任何众多的拓扑结构有限集这样的空间被称为有限拓扑空间有限的空间,有时用于一般猜想拓扑空间提供的例子和反例。

任何可以得到的余有限拓扑在开放的集合是空集和集的补充是有限的。这是最小的T在任何无限集合的拓扑结构。

任何可以得到的cocountable拓扑,其中一组被定义为开放的如果它是空的或者是可数的补码。当集是不可数的,这种拓扑结构是在许多情况下,一个反例。

实际的线路也可以考虑下限拓扑在这里,基本的开集是半开区间[B)。这种拓扑R严格细于上面定义的欧几里得拓扑;收敛在这个拓扑点当且仅当它在欧氏拓扑收敛。这个例子表明,一套可以有很多不同的拓扑结构上定义。

如果Γ是一序号,然后设置Γ= [ 0, Γ)可以赋予的序拓扑的时间间隔产生的(, B),[ 0, B)和(在那里, Γ)B各Γ。

拓扑结构编辑]

拓扑空间的子集可以给每一个子空间拓扑在开放的集是较大空间的开集与子集的交集。对于任何索引的家庭拓扑空间,产品可以给予产品结构,这是由以下因素的开集的逆图像生成投影映射。例如,在有限的产品,对产品的结构基础包括产品开放集。无限的产品,有在基本集的额外要求,但有限的许多预测是整个空间。

商空间定义如下:如果X是一个拓扑空间Y是一个集合,如果F :XY是一个满射 功能,那么商拓扑Y的子集的集合Y已打开逆象在下面F换句话说,商拓扑是最好的拓扑结构Y其中F是连续的。一个商拓扑的一个常见的例子是当一个等价关系在拓扑空间的定义X地图F然后自然投影到组等价类

这个Vietoris拓扑对所有非空的子拓扑空间的设置X,命名为利奥波德集合,由下面的基础上产生的:每N元组U,…,UN开放组X,我们构建了一个集的所有子集的基础上组成的联盟UI与每个有非空交集UI

这个拓扑在所有非空闭子集的集合局部紧 波兰空间 X是的Vietoris拓扑的一个变种,并命名为数学家James Fell。它是由下面的基础上产生的:每N元组U,…,UN开放组X对于每个紧集K,所有子集组成的集合X这是不相交K和每一个非空的交集UI是基础的一员。

拓扑空间的分类编辑]

拓扑空间大致可分,高达同胚,他们拓扑性质拓扑性质是同胚不变下,空间的一个性质。证明两空间不是同胚是足以找到不共享他们的拓扑性质。这种特性的例子包括:连通性紧性,和各种分离公理

看到一篇关于拓扑性质对于更多的细节和例子。

代数结构的拓扑空间编辑]

对于任何代数对象我们可以介绍离散拓扑,其下的代数运算是连续函数。任何这样的结构是有限的,我们经常有一个天然的拓扑与代数运算兼容,在某种意义上说,仍然是连续的代数运算。这导致等概念拓扑群拓扑向量空间拓扑环局部域

有序结构的拓扑空间编辑]

参见编辑]

笔记编辑]

  1. ^ 舒伯特1968,13页
  2. ^ 高斯,1827
  3. ^ 加利尔和徐,2013
  4. ^ 加利尔和徐,2013
  5. ^ J. Stillwell,数学和历史
  6. ^ 布朗2006,2.1节。
  7. ^ 布朗2006,2.2节。
  8. ^ 阿姆斯壮19832.1、定义。
  9. ^ 阿姆斯壮19832.6、定理。

推荐信编辑]

外部链接编辑]