模块组

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进入数学,的模块组是的射影特殊线性群 PSL(2,Z)2 x 2矩阵的行列式整系数和单位。矩阵A确定。模块化组作用在复平面上半分式线性变换,并取名“模组”来自关系模空间而不是从模运算

定义编辑]

这个Γ模块组是集团线性分式变换复平面的上半部分它的形式

哪里BC,和D整数,和广告公元前= 1。在集团化运作功能组成

这个变换群是同构的射影特殊线性群PSL(2,Z),这是二维的商特殊线性群SL(2,Z)在整数的机构{I,−I}。换句话说,PSL(2,Z)包括所有矩阵

哪里BC,和D是整数,广告公元前= 1,和双矩阵和−被认为是相同的。集团化运作是通常的对矩阵乘法

一些作者<i>定义</i>的模块组是PSL(2,<b>Z</b>),还有一些定义模块组是大组SL(2,<b>Z</b>)。

一些数学关系需要考虑的群GL(2,Z)与加或减一个矩阵的行列式。(SL(2,Z)是这个群的子群。)同样,PGL(2,Z)是商群GL(2,Z)/ {I,−I}。二×矩阵与行列式是一个单位辛矩阵因此,和SL(2,ZSP(2)=,Z),这辛群2x2矩阵。

数论性质编辑]

单位行列式属于

意味着分数<i>一</i>/ <i>B</i>,<i>A</i> / <i>C</i>,<i>C</i> / <i>D</i>和<i>B</i>、<i>D</i>都是不可约的,即没有共同的因素(提供的分母是零,当然)。更一般地,如果<i>P</i> / <i>Q</i>是一个不可约分数,然后

也不可约(再次,提供分母为零)。对任何不可约分数可以以这种方式连接,即:任何对<i>P</i> / <i>Q</i>和<i>R</i> / <i>S</i>不可约分数,存在的元素

这样,

的模块化组元素提供的二维对称两个复数的比率是不真实的。然后点集

在平面格子的平行四边形。一双不同的载体会产生完全相同的格的当且仅当

一些矩阵GL(2,Z)。正是因为这一原因,双周期函数,如椭圆函数,拥有一个模块化的对称性。

对有理数模块组作用最容易预见一个正方形网格与网格点(理解,PQ)对应的分数P/Q(见Euclid的果园)。一个不可约分数是看得见的从起源上的一小部分;模块组的行动从不看得见的(束缚)到隐藏(还原),反之亦然。

请注意,任何成员的模块化组图真正射影延长线一对一的本身,而且bijectively地图射影扩展的理性线(无穷有理数)来的无理数对无理数的,超越数对超越数,非实数非实数,上半平面的上半平面,等等。

如果是一个连续的两收敛连分数,然后矩阵

属于GL(2,Z)。特别是,如果公元前 − 广告= 1的正整数BCD < BC < D然后/BC/D将邻居Farey序列为了最大(BD)。连分数收敛重要的特殊情况包括斐波那契数列和解决方案Pell方程在这两种情况下,数字可以排列成一个半群该模块组的子集。

集团理论性质编辑]

演示编辑]

模块化组的可生成由两个转变

所以,每一个元素在模块组可以表示(非独特的方式)所组成的权力和<i>T</i><i>的</i>。几何,<i>S</i>代表反演在单位圆上依次反射相对于虚轴,而<i>不</i>代表一个单位的翻译权。

发电机ST服从的关系S= 1(装货单= 1。它可以显示[ 1 ]这是一套完整的关系,所以模块化集团有演示

本文介绍了模块化组为旋转三角集团(2,∞)(∞没有关系有T),从而映射到所有的三角形组(2,3,N通过添加关系)TN= 1,其中发生的实例中同余子群Γ(N)。

利用发电机S装货单而不是ST,这表明模群是同构的免费的产品循环群C和C

辫群编辑]

这个辫群 B是的泛中心扩张该模块组。

这个辫群 B是模块化组的泛中心扩张,这些坐在格子里面(拓扑)万有覆盖群此外,模块化的组有一个平凡的中心,因而模群是同构的商群属于B机构;同理,对组内自同构属于B

辫群B又是同构的结群三叶结

编辑]

由同余子群的商是极大的兴趣。

其他重要的商是(2,3,N)三角形组,对应几何降到缸,商化的X坐标模型n,作为TN=(ZZ+N)。(3)是集团二十面体对称,和(2,3,7)三角集团(和相关的瓷砖)是全覆盖Hurwitz面

双曲几何关系编辑]

模块化组织是重要的因为它形成了一个子群该组等距双曲面如果我们考虑上半平面模型H双曲平面几何,然后所有的组保持定向等距H包括所有的öM bius变换的形式

哪里BC,和D整数,而不是通常的实数,和广告公元前= 1。换句话说,这群PSL(2,R行为上半平面上H根据以下公式:

这(左)行动忠实的既然PSL(2,ZPSL)是一组(2,R),模块化组的方向保持等距同构的群的子群H[ 2]

在双曲平面镶嵌编辑]

为Γ上半平面上的一个典型的基本域的作用。

模块化组Γ行为H作为一个离散子群PSL(2,R),即每Z进入H我们可以找到一个社区Z它不包含任何其他元素轨道属于Z这也意味着我们可以构造基本域(大约),其中包含从每个轨道的一个代表Z进入H(注意是在域的边界需要)

有构建基本域的方法很多,但常见的选择是区域

由垂直线重新界(Z)= 1/2和Re(Z−)= 1/2,和圆|Z| = 1。这个地区是一个双曲三角形。它有1/2 +的顶点I2、−1/2 +I2、在边角之间的π/ 3,并在无穷远处的第三个顶点,在其侧面之间的角度是0。

通过将这一地区又各模块组的元素,一个正则镶嵌通过一致双曲三角形称为双曲面无限阶三角形瓷砖创建。注意,每一个这样的三角形有一个顶点在无穷大或实轴上的IM(Z)= 0。这种瓷砖可以扩展到Poincaré盘,每个双曲三角形有一个顶点在边界的磁盘。平铺的Poincaré磁盘是一种自然的方式了自同态该模块组,下是不变的,并达到每个复数曾经在这些地区的每个三角形。

这种镶嵌可以精略,将每个区域分成两半(常规颜色黑色和白色),通过添加一个方向扭转图;颜色则对应的域定位。加入(XY↦(−)XY),以区域的右半边R(Re(Z0)≥)产生通常镶嵌。这种镶嵌首先出现在打印(克莱因& 1878 / 79a),[ 3 ]它是记入理查德·戴德金,在参考(绰1877)。[ 3 ][ 4 ]

地图的可视化(2,∞)→(2,3,7)通过变形相关的景点。[ 5 ]

图组(2,∞)→(2,<i>n</i>)(从模块组,三角组)可以显示从平铺(产生一个平铺在模曲线),所描绘的视频在右。

同余子群编辑]

重要子群的模块化组Γ,称为同余子群,给出的气势同余关系在关联矩阵。

有一种天然的同态SL(2,Z→SL(2),ZNZ通过减少条目) N这导致同态对模块群PSL(2,Z→PSL(2),ZNZ)。这个内核这是被称为同态主同余子群水平N,表示Γ(N)。我们有以下短正合序列

作为一个同态Γ内核(N)是一个正规子群的模块化组Γ。本集团Γ(N)给出了各模块的转换集

这<i>一</i>≡<i>D</i>≡±1(mod <i>n</i>)和<i>B</i>≡<i>C</i>≡0(mod <i>n</i>)。

这是很容易证明的追踪一个矩阵表示一个元素(ΓN)不能−1, 0,或1,那么这些子群无挠群(还有其他无挠群。)

2级主同余子群,Γ(2),也被称为Λ模块组既然PSL(2,Z/ 2Z)是同构的S,Λ是的子群指数6。本集团Λ包括其中所有的模块化转换D怪怪的BC甚至。

同余子群的另一个重要的家庭是Γ模块组N定义为所有模块的转换集C≡0(modN),或等价地,作为群的矩阵成为上三角在模N注意,Γ(NΓ)是一组N)。这个模块化曲线与这些群体是一个方面可怕的月光–一质数 P,正规化的模块化曲线零当且仅当P排序怪物组,或等价地,如果P是一个奇异素数

二元幺半群编辑]

该模块组的一个重要部分是二元幺半群,这是幺半群所有字符串的形式装货单K装货单M装货单N对于正整数KMN,…这群在研究自然发生分形曲线,和描述自相似性对称的Cantor函数闵可夫斯基的问号功能,和科赫曲线都是一般的,特殊情况de Rham曲线幺半群也有高维线性表示;例如,在N= 3表示可以理解为对自我的对称性牛奶冻曲线

的圆环图编辑]

群GL(2,Z)是保存标准格的线性映射Z,和SL(2,Z)是保向保这个格子图;他们因此下降自同胚环面(SL映射保持定向地图),事实上,图同构的(扩展)映射类组的圆环,即环面每自同胚同位素要在地图的形式。一个矩阵的代数性质,GL一元(2,Z)对应的圆环面的诱导映射的动力学。

Hecke群编辑]

模块组可以推广到Hecke群,命名为赫克,并且定义如下。[ 6 ]

Hecke集团HQQ≥3,产生的离散群

哪里小值问≥3,一个有:

模块化组Γ同构H和他们分享的特性及应用–例如,就像一个有免费的产品属于循环群

更一般的人

这对应于三角集团(2,Q,∞)。有同样的主同余子群与主理想的观念Z[λ]。

历史编辑]

首先详细研究了模块化组及其亚组理查德·戴德金并通过Felix克莱因作为他的一部分埃朗根计划在19世纪70年代。然而,密切相关椭圆函数进行了研究拉格朗日1785、对椭圆函数的进一步结果公布卡尔古斯塔夫Jakob雅可比阿贝尔1827。

参见编辑]

推荐信编辑]

  1. ^ 阿尔贝林,Roger C.(1993年)。”PSL(Z)= z* Z“。埃默。数学每月的一百386:385–。DOI10.2307/2324963 
  2. ^ http://www.mathematica-journal.com/issue/v9i3/contents/modulargroup/modulargroup.pdf
  3. ^ B 乐名,Lieven(2008年4月22日),Dedekind和克莱因 ? 
  4. ^ 史迪威,约翰(2001)。”模块化的奇迹”。美国数学月刊一百零八(一):70–76。DOI10.2307/2695682ISSN 0002-9890JSTOR 二百六十九万五千六百八十二 
  5. ^ 年,热拉尔。“柏拉图铺盖黎曼面”www.xs4all.nl 
  6. ^ 组合群论、数论和离散群,Gerhard Rosenberger,Benjamin Fine,Anthony M. Gaglione,Dennis Spellman65页