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数学

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欧几里得(控股卡钳),古希腊数学家,公元前三世纪,如想象中的拉斐尔在这个细节雅典学院A

数学(从希腊μάθημα我á日ē马,“知识,研究学习”)是这样的主题研究[ 1 ] 结构[ 2 ] 空间[ 1 ]改变[ 3 ][ 4 ][ 5 ]它有没有一个普遍接受的定义[ 6 ][ 7 ]

数学家寻求和使用模式[ 8 ][ 9 ]制定新的猜想;他们解决真实还是虚假的猜想确实的证据当数学结构是真实的现象很好的模型,然后数学推理可以提供洞察或预测的性质。通过使用抽象逻辑数学的发展,计数计算测量,和的系统研究形状运动物理对象。实用数学已经从远在人类活动书面记录存在。需要解决的数学问题,可能需要几年甚至几个世纪的持续探究的研究。

严格的论证第一次出现在希腊数学最值得注意的是,在欧几里得元素自创业皮亚诺(1858–1932年),希尔伯特(1862年–1943年),和其他人在19世纪 公理系统,它已成为习惯的观点建立数学研究真理严格的 演绎从选择恰当的公理定义在数学发展比较缓慢,直到文艺复兴,当数学创新与新科学发现导致数学发现,一直延续到今天的速度迅速提高。[ 10 ]

伽利略(1564–1642)说,“宇宙无法读取,直到我们学到的语言和熟悉的人物,这是写。它是用数学语言写成的,和字母是三角形、圆等几何图形,而这意味着它的理解一个字是不可能的。没有这些,一个是游荡在一个黑暗的迷宫。”[ 11 ] 高斯(1777–1855)提到了数学的“女王的科学”。[ 12 ] 本杰明·佩尔斯(1809–1880)称为“数学”,得出必然结论的科学”。[ 13 ]希尔伯特说:“我们不讲数学在任何意义上的任意性。数学是不是像一个游戏的任务是通过任意规定的规则确定。相反,它是一个概念系统具有内在的必要性,只能这样,没有其他。”[ 14 ] 艾伯特爱因斯坦(1879–1955)说,“当数学原理用于现实,他们是不确定的;而只要是确定的,他们是不现实的。”[ 15 ]

数学在许多领域都是必不可少的,包括自然科学、工程、医学、金融和社科应用数学导致了全新的数学学科,如统计和博弈论数学家从事纯数学数学,或为了自己的利益,而不考虑任何应用。什么开始作为纯数学的实际应用往往发现。[ 16 ]

历史

数学史可以看作是一个不断增长的系列抽象第一抽象,这是许多动物共享,[ 17 ]可能是数字:实现一个集两个苹果和两个橘子的集合(例如)有共同点,即他们的成员数量。

古希腊数学家毕达哥拉斯公元前570年– 公元前495年),一般相信发现勾股定理

证明了吻合发现在骨,除了认识到如何计数物理对象,史前人们可能也意识到如何计算摘要的数量,如时间 –天、季节、年。[ 18 ]

对于更复杂的数学证据不到3000 出现公元前,当巴比伦埃及人开始使用算术代数几何税收和其他金融计算,为建筑,和天文[ 19 ]数学最早的使用是在交易,土地测量、绘画和编织模式和时间的记录。

进入巴比伦数学基本的算术附加减法乘法分开)第一次出现在考古记录。算术先于写作数字系统有许多不同的,与第一个已知的书面数字了埃及人进入中央王国文本如莱因德数学纸草书需要的引证]

之间的600和300 BC古希腊人开始自己的数学系统的研究希腊数学[ 20 ]

波斯数学家花拉子密C. 780–C. 850),发明者代数

伊斯兰黄金时代,尤其是在第九和第十 世纪,数学看到许多重要的创新建立在希腊数学:其中包括从波斯数学家如贡献铝khwarismi奥玛尔KhayyamSharaf al-dīN铝Ṭū的ī

数学已大大延长,并出现了数学和科学之间的频繁互动,使双方受益。继续今天的数学发现。据Mikhail B. Sevryuk,在一月发行的2006 美国数学学会公报,“论文和书籍,包括在数数学评论数据库自1940(操作的第一年)已超过1.9 万,超过75 千项添加到每年的数据库。在这个海洋的绝大多数作品包含新的数学定理和他们的证明”。[ 21 ]

词源

这个词数学来自古希腊μάθημα(我á日ē马),意思是“所学”,[ 22 ]“你知道”,因此也“研究”和“科学”。“数学”有了较窄的和更多的技术含义“数学研究”甚至在古典时代。[ 23 ]它的形容词μαθηματικός数学ēMatikóS),意思是“与学习”或“好学”,这也进一步意味着“数学”。特别地,μαθηματικὴτέχνη数学ēMatikḗTéKHNē),拉丁ARS Mathematica,意思是“数学艺术”。

同样,一个主要的思想流派毕达哥拉斯被称为数学ēmatikoi(μαθηματικοί)-这在当时指的是“教师”而不是“数学家”的现代意义。

在拉丁语和英语,直到1700左右,期限数学更常见的意思是“占星术”(或“天文学”)而不是“数学”;意义逐渐改变到现在的一个从1500到1800。这导致了几个误译。例如,奥古斯丁的警告:基督徒应该提防mathematici占星家,意义,有时被错译为数学家的谴责。[ 24 ]

英语中的明显的复数形式,如法国的复数形式数学ématiques LES(和不太常用的广义导数数学ématique La),可以追溯到拉丁语的中性复数Mathematica西塞罗),根据希腊复数ταμαθηματικάTA的数学ēMatiká),用亚里士多德(384–322 BC),大概意思是“一切事物和数学”;虽然这是合理的形容词,英语中借用数学(Al)形成的名词数学新的模式后,物理形而上学,这是继承了希腊。[ 25 ]在英语中,名词数学动词用单数。它经常被简称为数学或者,在北美洲,数学[ 26 ]

数学定义

斐波纳契,意大利数学家介绍印度–阿拉伯数字系统发明了第一和第四 世纪由印度数学家之间,向西方世界

亚里士多德定义数学的“量”的科学,这个定义直到第十八世纪。[ 27 ]在第十九 世纪开始,在数学研究的严谨性和增加在开始解决抽象的话题,如群理论射影几何,具有计量、没有明确的关系,数学家和哲学家们开始提出各种新的定义。[ 28 ]这些定义强调多数学演绎的角色,有些强调它的抽象性,有的强调某些话题在数学。今天,在数学的定义没有达成共识的盛行,甚至在专业人士。[ 6 ]没有共识,无论是数学是科学还是艺术。[ 7 ]许多专业的数学家们在定义数学不感兴趣,或认为它不可捉摸。[ 6 ]有些说,“数学是数学家们。”[ 6 ]

定义数学三大类型被称为逻辑主义直觉主义,和形式主义,每个反映不同的思想哲学流派。[ 29 ]都有严重的问题,没有广泛的接受,而没有和解的可能。[ 29 ]

从逻辑数学的早期定义本杰明·佩尔斯“得出必要结论的科学”(1870)。[ 30 ]数学原理罗素艾尔弗雷德北怀特海先进的哲学程序称为逻辑主义,并试图证明所有的数学概念,陈述,和原则可以定义和术语完全证明符号逻辑一个数学逻辑主义的定义是罗素的“数学是符号逻辑”(1903)。[ 31 ]

直觉主义的定义,从数学家的哲学发展L.E.J.布劳威尔,确定某些心理现象的数学。一个直观的定义的一个例子是“数学是思维活动的组成进行构建一个接一个。”[ 29 ]直觉主义的一个特点是,它拒绝了一些数学思想视为有效根据其他定义。特别是,在数学的其他哲学允许可以证明即使他们不能构建存在的物体,直觉主义数学对象,只允许一个可以构建。

形式主义定义识别的符号和操作上的规则的数学。哈斯凯尔·加里定义数学仅仅作为“科学的形式系统”。[ 32 ]正式制度是一套符号,或令牌,和一些规则讲述这些符号可以组合成公式在正式的系统的话公理具有特殊的含义,不同于“一个不言而喻的真理一般的意义”。在正式的系统,一个公理是一个组合的标记,而无需使用系统导出的规则包括在一个给定的形式系统。

数学作为科学

高斯,称为数学家的王子

德国数学家高斯提到了数学的“女王的科学”。[ 12 ]最近,马科斯·杜·索托伊被称为“女王的数学科学 …背后的主要推动力,科学发现”。[ 33 ]在原来的拉丁语里贾纳自然,以及德国Königin der学问,对应的词科学意味着“领域知识”,这是“科学”的英文,数学也;原义是在这个意义上,知识领域。专业化是制约“科学”的意义自然科学如下的崛起Baconian的科学,对比“自然科学”经院哲学,的Aristotelean的方法查询从第一性原理在数学的实证实验和观察的作用是微不足道的,相对于自然科学如生物化学,或物理艾伯特爱因斯坦说“当数学原理用于现实,他们是不确定的;而只要是确定的,他们是不现实的。”[ 15 ]

许多哲学家相信数学实验证伪,因而没有科学根据的定义波普尔[ 34 ]然而,在上世纪30年代Gödel不完备性定理相信许多数学家谁?]数学不能归结为逻辑,卡尔·波普尔得出结论说:“大多数的数学理论,如物理生物假设演绎:纯数学因此变得更接近自然科学的假设是猜测,甚至比它似乎最近。”[ 35 ]其他的思想家,特别是拉卡托斯有一个版本,应用证伪主义数学本身。[ 36 ][ 37 ]

另一种观点是,某些科学领域(如理论物理)与公理的目的是符合现实的数学。数学相似在物理科学的许多领域,特别是的逻辑后果的探索假设。直觉实验也发挥了作用,在制定猜想在数学和科学两(其他)。数学实验持续的重要性在数学中成长,并计算和仿真在科学和数学方面发挥着越来越重要的作用。

数学家们在这个问题上的看法是不同的。许多数学家[ 38 ]觉得把他们地区的科学是淡化其美学方面的重要性,并在传统的七历史文科;别人谁?]觉得忽略连接到科学是视而不见的事实,数学和科学与工程应用之间的接口驱动的数学中的许多发展。这一方式差异的观点是在哲学的辩论是否是数学创建(艺术)或发现(如科学)。这是常见的大学分为几个部分,包括一个部门科学和数学,表明该领域被视为结盟,但他们并不一致。在实践中,数学家通常组合在一起的总水平,但高水平科学家分离。这是诸多问题中的一个考虑的数学哲学需要的引证]

灵感,纯粹数学与应用数学、美学

艾萨克牛顿
莱布尼茨
艾萨克牛顿(左)和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(右),微积分的开发商

数学是由许多不同种类的问题。首先,这些被发现的商务,土地测量后来,建筑天文今天,所有的科学建议;研究数学家的问题,很多问题出现在数学本身。例如,在物理学家 理查德-费曼发明了路径积分公式属于量子力学结合数学推理和物理的洞察力,和今天的弦理论一个仍在发展的科学理论,它试图统一四自然的基本力,不断激发新的数学。[ 39 ]

一些数学相关的只有该地区的启发,并应用于解决更多的问题在这一领域。但往往是启发数学证明有用的一个领域在许多地区,与一般股票的数学概念。之间是有区别的纯数学应用数学然而纯数学题目往往都有应用,如数论进入密码这个显著的事实,即使是“纯粹”的数学往往原来有实际应用,是什么尤金·维格纳被称为“数学的不合理性“。[ 40 ]在研究的大多数领域,在科学的时代,知识的爆炸导致了专业化:现在有数百个数学专业领域的最新数学主题分类运行46 页。[ 41 ]几个地区的应用数学与合并相关的传统以外的数学和他们自己的权利成为学科,包括统计,作业研究,和计算机科学

对于那些在数学上是倾斜的,往往有一个明确的审美方面多数学。许多数学家谈论优雅数学,其内在的美学和内在美。简单和普遍性的价值。有一个简单而优雅的美证明,如欧几里得的证明有无限多素数,和一个优雅的数值方法这个速度计算,如快速傅里叶变换G.H.哈迪进入一个数学家的道歉他们表示相信,这些审美的考虑,,足以证明纯数学的研究。他认定标准等意义,突发性、必然性、和经济,有助于数学审美因素。[ 42 ]数学家经常努力寻找证据,特别优雅,证明从“书”的神保罗ő的ERD[ 43 ][ 4 ]普及数学娱乐是快乐多的另一个迹象是在解决数学问题发现。

符号,语言,和严谨

莱昂哈德-欧拉,谁创造和推广的数学符号使用的今天

大多数的数学符号在今天使用的发明并不是直到第十六世纪。[ 45 ]在这之前,数学是写出来的话,极限的数学发现。[ 46 ] 欧拉(1707–1783)今天使用的许多符号负责。现代符号,使得数学更容易的专业,但初学者往往发现艰巨。根据巴巴拉奥克利,这是由于数学思想都更摘要和更多的加密比自然语言。[ 47 ]不同于自然语言,人们往往把一个词(如奶牛)与它对应的物理对象,数学符号是抽象的,没有任何的物理模拟。[ 48 ]数学符号也更高度加密的比普通的词,意思一个符号可以编码多个不同的行动或思想。[ 49 ]

数学语言是初学者很难理解,因为即使是常见的术语,如只有,有一个比他们在日常生活中更精确的意义,和其他诸如开放领域指具体的数学思想,不受他们的外行的意思。数学语言还包括很多技术术语如同胚可积那些没有意义的数学以外。另外,速记等短语敌我识别当且仅当“属于数学术语有特殊符号和技术词汇的一个原因:数学需要比日常语言更精确。数学家把这个精密的语言和逻辑的“严谨性”。

数学证明从根本上说是一个问题严谨数学家们希望他们的定理从公理系统的推理方式。这是为了避免错误的”定理”,基于可靠的直觉,而许多情况下,在这门学科的历史发生。[B]严谨的数学期望水平随时间变化:希腊人预计详细的论据,但在时间艾萨克牛顿采用的方法是不严格。在牛顿所用的定义本身存在的问题会导致在第十九 世纪重新进行认真的分析和形式化证明。误解的严谨性是一些数学的常见误区的原因。今天,数学家们继续互相争论计算机辅助证明由于大量的计算是难以证实的,这样的证明可能不够严谨。[ 50 ]

公理在传统的思想是“不言而喻的真理”,但这个概念是有问题的。[ 51 ]在形式的层面上,一个公理只是一串符号,它只在一个所有的推导公式中有一个内在的意义公理系统这是目标希尔伯特计划把所有的数学公理基础上的公司,但根据Gö哥德尔不完全性定理每一个(强大)的公理系统不可判定的和最后一个公式;公理化数学是不可能的。然而数学往往是可想而知的(就其形式内容)不过集理论在一些公理化,在这个意义上,每一个数学陈述或证明就可以把内设置的理论公式。[ 52 ]

数学领域

一个算盘,自古以来,用一个简单的计算工具

数学,从广义上讲,可分为数量、研究结构、空间、变化(即算术代数几何,和分析)。除了这些主要问题,也有分支专门从数学的心脏向其他领域探索到链接:逻辑,以集理论基础),各项科学的实证数学(应用数学),最近更严谨的研究不确定性尽管一些地区似乎无关的朗兰兹纲领发现之间的联系,以前思想无关,如伽罗瓦群黎曼面数论

基础与哲学

为了澄清数学基础的领域,数理逻辑集理论开发。数理逻辑包括数学研究逻辑和应用形式逻辑到数学的其它领域;集合论是数学的分支,研究套装或对象的集合。范畴理论,其中涉及抽象的方式数学结构和它们之间的关系,仍然在发展。“危机基金会”,介绍了寻找一个严格的数学基础的发生,从大约1900年到1930年。[ 53 ]一些关于数学基础的争论一直持续到今天。危机的基础,刺激了不少争议的时候,包括在康托的集合论的争论不–希尔伯特争论

数理逻辑是有关在一个严密的数学背景公理框架和研究这样一个框架的启示。因此,它是家庭Gödel不完备性定理这意味着任何有效(非正式)正式制度包含基本的算术运算,如果声音(这意味着所有的定理,可以证明是真的),一定是不完全(这意味着真正的定理不能证明在该系统中)。任何有限数理论的公理集合为基础,Gö德尔展示了如何构建一个正式的声明,是一个真正的若干理论的事实,但不遵循这些公理。因此,没有正式的系统是一个完整的公理化的全数字理论。现代逻辑分递归论模型理论,和证据理论,是密切相关的理论计算机科学需要的引证]以及范畴理论在递归论的背景下,一个完整的公理化的理论是不可能的也可以作为一个正式的证明MRDP定理的后果

理论计算机科学包括可计算性理论计算复杂性理论,和信息理论可计算性理论探讨了计算机的各种理论模型的局限性,包括最知名的模型 –图灵机复杂性理论是研究tractability计算机;一些问题,虽然理论上可解的计算机,在如此昂贵的时间或空间,解决他们可能仍然几乎不可行的,甚至是随着计算机硬件的飞速发展。一个著名的问题是“P = <b>NP</b>?”的问题,其中的一个千年奖的问题[ 54 ]最后,信息理论关注的是数据的量,可以存储在一定的介质,因此涉及的概念,如压缩

维恩一相交b.svg morphism.svg交换图 dfaexample.svg
数理逻辑 集理论 范畴理论 计算理论

纯数学

数量

量的研究数据,首先熟悉自然数整数(“全数字”)和算术运算,其特点是算术研究的是整数的更深层次的性质数论从哪来的,这种流行的结果费马最后定理这个孪生素数猜想和哥德巴赫猜想是数论中未解决的问题。

作为数字系统的进一步发展,整数是公认的子集有理数(“片段“)。这些,反过来,都包含在实数,这是用来表示连续的量.实数推广到复数这是一个层次的数量,进而包括第一步骤四元数八元数自然数的考虑也导致了超限数,正式的概念无穷“。根据代数基本定理所有解方程在一个未知的复杂系数是复数,无论程度。研究的另一个领域是集合的大小,这是描述的基数这些措施包括艾礼富数,使无限的大套的尺寸比较有意义。

自然数 整数 有理数 实数 复数

结构

许多数学对象,如套装数字和功能,表现出内部结构的结果运营关系这是定义的设置。数学研究集,可以在结构方面表示性能;例如数论本组研究的性质整数这可以从表达算术运营此外,它经常发生,不同结构的集合(或类结构)具有类似的特性,这使得它可以通过进一步的步骤,抽象、国家公理一类的结构,然后研究一次满足这些公理结构全班。从而研究群组戒指领域和其他抽象的系统;这样的研究(通过代数运算定义的结构)构成的域抽象代数

以其通用性强、抽象代数通常可以应用于看似无关的问题;比如一些古老的问题尺规作图终于解决了使用伽罗瓦理论所涉及的领域,理论和组织理论。另一个例子是代数理论线性代数,这是一般的研究向量空间,其元素称为向量有数量和方向,可以用于模型(关系)空间中的点。这是一个例子的现象,原本不相关的领域几何代数在现代数学很强的相互作用。组合研究列举适合一个给定的结构对象的数量的方法。

椭圆曲线simple.svg 魔方cube.svg 集团diagdram d6.svg 对60.svg整除格 braid-modular-group-cover.svg
组合 数论 群理论 图论 序理论 代数

空间

空间研究的起源几何 –特别,Euclidean几何,结合空间和数字,以及包括著名的勾股定理三角是数学,边和角的三角形和三角函数关系的分支研究。现代的空间研究推广这些理念包括高维几何,非欧几里德几何(在其中起着重要的作用广义相对论)和拓扑数量和空间发挥作用解析几何微分几何,和代数几何凸面的离散几何来解决问题数论功能分析但现在的追求与应用在眼睛优化计算机科学在微分几何的概念纤维束和微积分流形,特别是,矢量张量微积分在代数几何的几何对象的描述的解决方案集多项式的方程,结合数量和空间的概念,并研究拓扑群,结合了结构与空间。李群用于研究空间,结构,和改变。拓扑在所有的影响可能在第二十世纪数学是最大的增长领域;它包括点集拓扑点集拓扑代数拓扑微分拓扑特别是,现代拓扑实例标度理论公理集合论同伦理论,和Morse理论拓扑结构还包括现在解决é彭加勒猜想,对仍未解决的地区霍奇猜想在几何与拓扑的结果,包括四色定理克卜勒猜想,只有借助于计算机证明。

说明Euclid的证明勾股theorem.svg sinusvåG 400px.png 双曲triangle.svg torus.png 曼德尔07 satellite.jpg变焦 测量illustration.png
几何 三角 微分几何 拓扑 分形几何 测度论

改变

理解和描述的变化是在一个共同的主题自然科学,和微积分已经发展成为一个强大的工具来研究它。功能出现在这里,作为一个核心概念描述变化量。严谨的研究实数和实变函数称为真正的分析,与复杂的分析为等效场复数功能分析关注(通常是无限维)空间功能。其中许多应用功能分析是量子力学许多问题导致自然关系的数量及其变化率之间的关系,而这些研究为微分方程自然界中的许多现象可以用动力系统混沌理论作出准确的方法,使这些系统表现出许多不可预知的还确定性行为。

积分区域下curve.svg 矢量field.svg 纳维-斯托克斯laminar.svg limitcycle.svg 劳伦兹attractor.svg 共形网格M bius transformation.svg后ö
微积分 向量微积分 微分方程 动力系统 混沌理论 复杂的分析

应用数学

应用数学关注自己的数学方法,通常用在科学,工程,商业和工业。因此,“应用数学”是一个数学科学有专业知识。术语应用数学还介绍了专业的专业数学家的工作实际问题;作为一种职业,专注于实际问题,应用数学研究制定、研究和使用的数学模型在科学,工程,和其他领域的数学实践。

在过去,有实际应用推动数学理论的发展,并成为学习的主体,在纯数学,在数学的开发主要是为了自己。因此,应用数学的活动关系研究纯数学

统计及决策科学

应用数学与统计学有显著的重叠的学科,其理论是制定数学,特别是概率论统计学家(工作作为一个研究项目的一部分)”创建数据有道理”随机抽样与随机实验[ 55 ]的统计样本和统计实验设计指定的数据分析(数据可用之前)。当反思实验数据和样本数据或分析数据观测研究,“让统计学家使用艺术感的数据”造型与理论推理 –与模型的选择估计估计模型的结果;预报应该是测试打开(放)新的数据[ C ]

统计理论研究决策问题如最小化风险预期损失)的统计行为,如使用程序,例如,参数估计假设检验,和选择最好的在这些传统领域数理统计统计决策问题,通过最小化的制定目标函数,如预期损失或成本,在特定的约束:例如,设计一个调查往往涉及减少估计一个给定的置信水平的人口平均成本。[ 56 ]由于其使用优化统计股,关注与其他的数学理论决策科学,如作业研究控制理论,和数理经济学[ 57 ]

计算数学

计算数学提出并研究了求解方法数学问题这是一般人的数字容量太大。数值分析研究方法中存在的问题分析使用功能分析近似理论数值分析包括研究;近似离散化广泛的特殊关注舍入误差数值分析与科学计算,更广泛地说,还研究数学科学的非解析的话题,尤其是算法 矩阵图论计算数学的其他领域包括计算机代数符号计算

arbitrary-gametree-solved.svg bernoullislawderivationdiagram.svg 复合梯形公式说明small.svg 最大boxed.png 两01.svg红色骰子 oldfaithful3.png caesar3.svg
博弈论 流体动力学 数值分析 优化 概率论 统计 密码
20050726 202628 utc.png市场数据指标妗 引力空间source.png ch4-structure.svg 信号转导pathways.svg 国际货币基金组织2008.svg人均GDP 简单的反馈控制loop2.svg
金融数学 数学物理 数学化学 生物数学 数理经济学 控制理论

数学奖

可以说是数学中最负盛名的奖项是菲尔兹[ 58 ][ 59 ]成立于1936,每四年颁发(除二战前后)多达四个人。菲尔兹奖通常被认为是一个数学相当于诺贝尔奖。

这个沃尔夫数学奖1978、制定、认可终身成就,和另一个主要的国际奖项,阿贝尔奖,成立于2003。这个陈省身奖在2010被介绍认识到终身成就。这些荣誉是对特定主体工作荣获表彰,这可能是创新,或提供一个解决方案,在既定的领域的一个突出问题。

一个著名的名单,23开放式问题,称为“希尔伯特问题”,被编入1900年由德国数学家希尔伯特这个名单中取得了很大的名人的数学家,至少9的问题现在已经解决了。一个新的7个重要问题列表,标题为“千年奖的问题”,在2000年出版。每个这些问题的解决方案进行 万美元的奖励,其中只有一个(的黎曼假说在Hilbert的问题重复)。

参见

笔记

  1. ^ 没有Euclid的外貌,在他的一生中做了相似或描述幸存下来的古物。因此,Euclid的作品在艺术作品取决于艺术家的想象力(见欧几里得)。
  2. ^ 看到防伪简单的可以在一个正式的证明出错的例子。
  3. ^ 像其他的数学科学等物理计算机科学统计是一个独立的学科,而不是应用数学的一个分支。喜欢研究的物理学家和计算机科学家,研究统计是数学的科学家。许多统计学家数学学位,以及一些统计学家也数学家。

脚注

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