同构

从维基百科,自由的百科全书
跳转到导航 跳转到搜索
团结五根
一个五角大厦的旋转
这个群组第五单位根乘法是同构的班轮到五角大厦旋转组组成。

进入数学,一个同构(从古希腊ἴσος ISO文件“平等”,和μορφή “形式”或“形状”)是一个同态态射(即数学映射),是可以逆转的态射。数学对象同构如果他们之间存在着同构。一个自同构是一个同构的源和目标是一致的。同构的兴趣在于两个同构的对象不能仅用用于定义态射的性质区分;因此,物体可能认为只要一只考虑这些性质及其后果相同。

对于大多数数的构造,包括群组戒指,一个同态同构当且仅当它是双射

进入拓扑态射的地方,连续函数又称,同构同胚连续函数进入数学分析态射的地方,可微函数又称,同构微分同胚

典范同构是一个正则图这是一个同构。两个对象被称为典范同构如果有一个典范同构关系。例如,从一个有限维向量空间的正则图v其第二双空间是一个典型的同构;另一方面,v同构于它的对偶空间但不规范一般。

同构正式使用范畴理论一个态射F →:<i>X</i> <i>Y</i>在一个范畴是同构如果承认一个双面逆,意味着另一个态射G :→<i>X</i> <i>Y</i>在这一类,GF= 1XFG= 1Y,其中1X和1Y有身份的态射XY,分别。[ 1 ]

实例编辑]

对数和指数编辑]

是乘法群正实数,让是实数的加法群。

这个对数函数 满足所有,所以它是一个群同态这个指数函数 满足所有,所以它也是一个同态。

的身份表明彼此。是一个同态有逆,又是一个同态,是一个同构群。

因为是一个同构,它把正实数的乘法为实数加法。该设备可以将实数的使用尺子和一个对数表,或使用计算尺用对数刻度。

整数模6编辑]

考虑组,整数从0-5加 6。同时考虑组,有序对的地方X坐标可以是0或1,和Y坐标可以是0, 1,或2,其中除了在X坐标是模2加法的Y坐标是模3。

除了这些结构下是同构的,以下方案:

(0,0)↦0
(1,1)↦1
(0,2)↦2
(1,0)↦3
(0,1)↦4
(1,2)↦5

或一般(<i>A</i>,<i>B</i>)↦(3<i>个</i>+ 4 <i>B</i>)国防部6。

例如,(1,1)+(1,0)=(0,1),将在其他系统1 + 3 = 4

尽管这两组“看”不同,集合包含了不同的元素,他们的确是同构它们的结构是完全一样的。更一般的直接产品循环群 同构当且仅当MN互质,每中国剩余定理

保持同构关系编辑]

如果一个对象由一组X用一个二元关系R和其他对象由一组Y与一个二元关系的同构XY是一个双射函数ƒ→:<i>X</i> <i>Y</i>这样:[ 2]

S自反非自反对称的反对称不对称传递全部的,一个偏序总序严格弱序总序(弱),一个等价关系,或任何其他特殊性质的关系,当且仅当R是。

例如,R是订购≤和排序,然后一个同构XY是一个双射函数ƒ→:<i>X</i> <i>Y</i>这样,

这样的一个同构叫做序同构或(不常用)一保序同构

如果X = <i>Y</i>,那么这是一个关系保持自同构

同构与射射编辑]

在一个具体范畴(就是说,粗略地说,一个类的对象是集合,态射之间的映射集),如拓扑空间或代数对象组,类环,和模块的范畴,必须在底层设置一个同构是双射。代数类(具体类别通用代数意义上的品种),同构是同态是双射的标的设置相同。然而,在射射不一定是具体范畴同构(如拓扑空间范畴),有类中的每个对象承认一个基本的但其中同构不需要双射(如CW复形的同伦类)。

应用编辑]

进入抽象代数,定义了两个基本同构:

正如自同构一个代数结构形成一个群组,两代数的同构共享一个共同的结构形式让一个特定的同构识别两结构变成这堆成一组。

进入数学分析,的拉普拉斯变换是一个同构映射硬微分方程为方便代数方程.

进入范畴理论,让多类别 C由两分类,一个目标和其他态射然后一个一般定义同构覆盖以前的和许多其他的情况是:一个同构的一个态射ƒ:<i>一</i>→<i>B</i>有一个逆,即存在一个态射G:<i>B</i>→<i>一</i>ƒG= 1B= 1例如,一个双射线性映射是一个同构向量空间,和一个双射连续函数其逆也连续之间的一个同构拓扑空间,称为同胚

进入图论,一个图同构GH是一个双射地图F从顶点G到顶点H保留“边缘结构”意义,也从一个边缘顶点 U顶点v进入G如果有ƒ边缘(U对ƒ()v)在H看到图同构

在数学分析中,一个同构希尔伯特空间是一个双射保此外,标量乘法,和内积。

在早期的理论逻辑原子主义真命题,事实和理论之间的关系罗素路德维希维特根斯坦是同构的。这种思路的一个例子可以在罗素的发现数理哲学导论

进入控制论,的很好的调节器或者他–阿什比定理是说“好一个系统各调节器必须是一个系统”模型。无论是调节或自我调节,同构是调节器和系统加工零件之间需要。

与平等关系编辑]

在数学的某些领域,特别是范畴理论,它是区分有价值平等另一方面,同构另。[ 3 ]平等是当两个对象是完全相同的,一切都是真实的关于一个对象的真实,而一个同构意味着一切关于指定一个对象的结构的一部分,真的是如其他的。真的,集

平等的;他们只是不同的表示第一个紧张的(在一建筑符号集),和第二伸展(显式枚举)的整数的子集。相比之下,集合{BC}和{1,2,3}不平等的-第一个有字母元素,而第二元素,数。这些都是同构的集合,因为集合确定同构的基数(元素个数),这些都是三元,但有许多选择是一个同构同构

而另一个是

没有一个同构本质上是比其他任何。【注1】【注2】基于这种观点,在这个意义上,这两套不相等,因为谁也不能认为他们完全相同的:一个可以它们之间的一个同构的选择,但这是一个较弱的要求比身份和有效的只有在选择的同构的背景下。

有时,同构似乎明显和令人信服,但仍不平等。作为一个简单的例子,家谱之间的关系约翰,和鲍比甘乃迪,在真正意义上,为那些在同一美式足球 四分卫在Manning家:阿尔奇佩顿,和以利父子配对和哥哥弟弟配对完全契合。这两个家庭结构之间的相似性,说明这个词的由来同构(希腊ISO、“一样,”—变身,“形式”或“形状”)。但因为肯尼迪没有万宁相同的人,两个谱系结构是同构的、不平等的。

另一个例子是更正式,更直接说明了区分平等从同构的动机之间的区别:有限维向量空间 v和其对偶空间 V = {φ:V→<b>K</b>}线性映射v它的系数域K这些空间有相同的维数,因而是同构的抽象的向量空间(从代数、向量空间的维度进行分类,如设置为基数),但没有“自然”选择的同构如果一个人选择的依据v,然后产生一个同构:所有u。∈<i>V</i> <i>V</i>

这相当于将列向量(元v)一个行向量(元v*)的转置,但依据不同的选择有不同的同构:同构”取决于基础”的选择。更微妙的是,有从一个向量空间的映射v V * <i>V</i> * = { <i>x</i>:→<b>K</b>}不取决于选择的依据:所有V∈<i>V</i>和φ∈<i>V</i> *,

这导致了一个第三的概念,是一个自然同构:当vv**是不同的集合,有一个“自然”的选择,他们之间的关系。这种直观的概念“同构不依赖于任意的选择”是正式的概念自然变换简而言之,一个可能;一贯地识别,或者更一般的地图,一个有限维向量空间的双,,为任何以一致的方式向量空间。正式这种直觉是一种范畴理论发展的动力。

然而,有一种情况下,区分自然同构和平等通常是没有。这是可以由一个对象通用性事实上,这是一个独特的同构,一定是自然的,两个对象共享相同的通用性。一个典型的例子是集实数,这可能是通过无限小数展开定义,无限的二进制扩展,柯西序列狄德金分割和许多其他的方法。正式这些结构定义不同的对象,都是同样的通用性解决方案。这些对象具有完全相同的性质,可以忘记建设和考虑他们作为平等的方法。这是每个人都在谈论“这个的实数集”。同样的发生商空间:他们多用套等价类然而,在集集可能是违反直觉的,和商空间通常被认为是一对一组待定的对象,通常称为“点”,并映射到这组。

如果一个人想画一个任意的同构之间的区别(依赖于选择)和自然同构(一个可以做的,一个人可以写一致)对于一个不自然的同构一个自然的同构,如≈<i>V</i> * <i>V</i><big>≅</big><i>V</i> * <i>V</i>。本公约并不普遍,作者希望区分自然的同构与自然同构之间通常会明确的区分。

一般说两个对象是<i>平等</i>是预留作时有个更大的空间(环境),这些对象的生活。通常,有两个给定集合的子集的平等(如整数集上面的例子),但不是两物体抽象了。例如,三维空间中的二维球面

黎曼球

它可以作为单点紧化复平面的C∪{∞}为复杂的射影直线(一商空间

是一个数学对象三个不同的描述,所有这一切都是同构的,但不平等的因为不是所有的子集的一个空间:第一个是子集R,第二C≅<b>R</b>【注3】加上一个额外的点,而第三是一个子商属于C

在范畴论中,对象通常是在大多数同构确实,对范畴理论的发展动机呈现出不同的结构同调论产生等效的(同构)组。给定两个对象之间的映射XY,然而,一问他们是否相等或不(他们是集合的元素(坎X, Y),因此,平等是正确的关系),特别是在交换图

参见编辑]

笔记编辑]

  1. ^ A,<i>B</i>,<i>C</i>有一个传统的顺序,即按字母顺序排列,同样,1、2、3的顺序从整数,因此一个特定的同构是“自然”,即
    更为正式,套装这些都是同构的,但不是自然同构(有多种选择,而作为同构)有序集他们自然是同构的(这是一个独特的同构,鉴于以上),自有限订单总额唯一地确定了独特的同构的基数这种直觉可以说任何两有限形式全序集对相同的基数有一个自然的同构,一个发送最小元到第二最小元第一,什么是对什么是第二最小元素的第一个最小的元素,等等,但总的来说,对一个给定的有限集合的基数对不自然同构因为有地图不止一个选择除非基数是0或1,那里是一个独特的选择。
  2. ^ 事实上,正是有两组三元素之间不同的同构。这等于该数自同构一个给定的三元集(这又是平等的秩序对称群三个字母),以及更一般的人,两个对象之间的同构的集合,记为是一个torsor的自同构群一个, 同时也为自同构群torsorB.事实上,一个对象的自同构要关心同构和平等之间的区别的一个关键原因,在变化的基础上,对其双或双对偶向量空间的识别效果的论证,阐述了续集。
  3. ^ 精确,与实际平面的复数的识别,
    取决于一个选择一个人可以选择,产生一个不同的身份正式,复共轭是一个自同构但在实践中往往假定有这样的识别。

推荐信编辑]

  1. ^ Awodey,史提夫(2006)。”同构”。范畴理论牛津大学出版社。 11 P.。国际标准书号 九兆七千八百零一亿九千八百五十六万八千六百一十二 
  2. ^ 温贝里,Ėrnest鲍里索维奇(2003年)。进程代数美国数学学会。 3 P.。国际标准书号 九兆七千八百零八亿二千一百八十三万四千一百三十八 
  3. ^ 麦哲2007

进一步的阅读编辑]

外部链接编辑]