格罗滕迪克拓扑

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进入范畴理论,一支数学,一个格罗滕迪克拓扑是一类结构C这使得对象C开集一个拓扑空间一类与选择格罗滕迪克拓扑称为站点

Grothendieck拓扑公理化的概念开盖使用覆盖由Grothendieck拓扑的概念,就可以定义滑轮在一个范畴及其上同调这是第一次做代数几何代数数论亚历山大·格罗滕迪克定义é故事上同调一个方案一直以来,然后用来定义其他的上同调理论,如进上同调平坦的上同调,和晶体上同调而格罗滕迪克的拓扑结构,最常用于定义的上同调理论,他们发现了其他的应用,如约翰泰特的理论刚性解析几何

有一个相关联的网站一个普通的自然的方式拓扑空间,和格罗滕迪克的理论是松散的被视为经典拓扑的推广。微薄的点集的假设下,即清醒这是完全正确的,是有可能从相关网站恢复清醒的空间。然而,如简单的例子密着拓扑空间表明不是所有拓扑空间可利用Grothendieck拓扑表达。相反,有Grothendieck拓扑不来自拓扑空间。

“Grothendieck拓扑”的意义已经改变。进入艺术(1962)这意味着什么是现在称为Grothendieck预拓扑,一些作者仍然使用旧的意义。吉罗(1964)改性的定义,而不是用筛盖。很多时候这并没有多大的区别,因为每个Grothendieck预拓扑确定独特的格罗滕迪克拓扑,尽管不同的预拓扑可以给相同的拓扑结构。

简介编辑]

安德烈é韦尔著名的Weil猜想提出用积分系数方程的某些属性应该被理解为几何性质代数簇他们定义。他猜想推测,应该有一个上同调代数簇的定义了一些方程理论信息论。这个上同调理论被称为“Weil上同调”,而是用他可用的工具,因为无法构建。

在上世纪60年代早期,Alexander Grothendieck介绍é故事图在代数几何的局部解析同构的代数类似物解析几何他用é故事层定义了一个代数模拟基本群一个拓扑空间。很快塞尔注意到é故事覆盖物的一些性质模仿开浸入,因此有可能使结构模拟上同调函子 H格罗滕迪克认为,这将有可能使用Serre的想法来定义一个上同调理论,他怀疑是Weil上同调。定义的上同调理论,格罗滕迪克需要代替通常的,与一个会用é故事覆盖而开放的覆盖拓扑概念。格罗滕迪克也看到了如何短语覆盖的定义抽象;这是一个Grothendieck拓扑的定义是从哪里来的。

定义编辑]

动力编辑]

一捆的经典定义从一个拓扑空间X一捆员工信息公开组X这个信息可以用抽象让oX)是的对象是开子集范畴U属于X为态射的包含映射vU开集Uv属于X我们称这样的地图开浸入,就像在下计划然后一个预层上X是一个反变函子oX)对集合类的,一层是一个预层满足粘合公理粘合公理是措辞逐点覆盖,即,翻唱U当且仅当在这个定义,是一个开放的子集XGrothendieck拓扑相互代替随着开子集整个家庭;在这个例子,是由所有打开的浸入家庭取代这样的集合称为一个逐点覆盖的概念取代覆盖家庭;在上面的例子中,所有的设置作为I变化是一个涵盖家庭U筛和覆盖家庭可以公理化,一旦这样做是开集和逐点覆盖可以由其他概念描述空间其他属性替换X

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在Grothendieck拓扑结构,一系列的开子集的概念U稳定的包是由一个概念所取代如果C任何给定的对象C,一个打开(放)C是一个subfunctor(−的Hom函子,C(这是);米田嵌入应用C)。在的情况下oX),筛S在一个开放的集U选择一系列的开子集U在包裹体是稳定的。更确切地说,认为任何开子集v属于USv)将HOM的子集(vU),其中只有一个元素,开放的浸泡vU然后v被认为是“选择”S当且仅当Sv)是空的。如果W是一个集v,然后有一个态射Sv)→SW通过与夹杂物成分了)Wv如果Sv)是非空的,如下SW)也非空。

如果S是一个筛子上X,和FYX一个态射,然后离开组成F给出了一个筛Y被称为回调属于 S 沿着 F,用FS它的定义是纤维产品 S ×坎(−,<i>X</i>) 坎(−,Y)连同其自然嵌入在坎(−,Y)。更具体地说,每个对象Z属于CFSZ)= {GZY|FG SZ)},,FS继承了其行动上的态射是一个subfunctor HOM(−,Y)。在经典的例子,一个集合的回调{vI}子集U沿夹杂物WU是集{vI∩W }。

格罗滕迪克拓扑编辑]

格罗滕迪克拓扑 J在一个范畴C是一家集,对于每个对象C C,杰出的筛C,用JC),称为覆盖筛属于C这个选择会受到一定的公理,如下。继续前面的例子,一个筛S在一个开放的集U进入oX)将是一个覆盖筛当且仅当所有开集联盟v其中Sv)非空等于U;换句话说,当且仅当S给我们提供了一个集的开集翻唱 U在经典的意义。

公理编辑]

我们对Grothendieck拓扑条件:

  • (1)(碱基改变)如果S是一个覆盖筛上X,和FYX一个态射,然后回落FS是一个覆盖筛上Y
  • (2)(地方特色)让S是一个覆盖筛上X,让T有筛X假设每个对象Y属于C每个箭头FYX进入SY),减少筛FT是一个覆盖筛上Y然后T是一个覆盖筛上X
  • (3)(身份)坎(−,<i>x</i>)是一个覆盖筛对<i>X</i>的任何对象<i>x</i>在<i>C</i>。

基变公理的想法,如果{}覆盖U,然后{UIv}应覆盖Uv局部特征公理的想法,如果{UI}覆盖U和{vij}JJI翻唱UI对于每个I,然后集合{vij}所有IJ应包括U最后,认同公理的想法,任何一套覆盖所有可能的子集。

格罗滕迪克预拓扑编辑]

事实上,就有可能把这些公理的另一种形式,其几何特征更为明显,假设的基本范畴<i>C</i>中含有一定的纤维产品。在这种情况下,而不是指定筛,我们可以指定具有共同的值域的地图一定要覆盖其值域集合。这些集合被称为<b>覆盖家庭</b>。如果集合所有覆盖家庭满足一定的公理,那么我们说他们形成一个<b>Grothendieck预拓扑</b>。这些公理:

  • (Pt(0)存在纤维产品)的所有对象X属于C,和所有态射XX在一些涉及家庭的出现X,和所有态射YX的纤维产品,X ×X Y存在.
  • (Pt 1)(在基地变化稳定性)对所有对象X属于C,所有态射YX,和所有覆盖家庭{XαX{ },家庭Xα×X YY}是一个涵盖了家庭。
  • (Pt 2)(地方性)如果{XαX}是一个涵盖了家庭,如果所有α,{XβαXα}是一个涵盖了家庭,那么家庭材料{XβαXαX}是一个涵盖了家庭。
  • (Pt 3)(同构)如果<i>F</i>:<i>Y</i>→<i>X</i>是同构,则是一个涵盖家庭{ <i>F</i> }。

任何预拓扑,包含一个覆盖家庭从预拓扑所有筛收集总是Grothendieck拓扑。

用纤维的产品类别,有逆。给定一个集合的箭{XαX},我们构建了一个筛S通过让SY)是所有态射集合YX这个因素通过一些箭头XαX这就是所谓的筛所产生的{XαX}。现在选择一个拓扑。说{XαX}是一个涵盖家庭若筛,它产生的是一个覆盖给定的拓扑筛。这是很容易检查,这定义了预拓扑。

(第三)有时是由较弱的公理所取代:

  • (PT 3')(身份)如果X :XX是标识箭头,然后{X}是一个涵盖了家庭。

(第三)意味着(PT 3'),而不是相反。然而,假设我们有一个集合覆盖家庭满足(Pt 0)通过(Pt 2)和(Pt 3),而不是(Pt 3)。这些家庭产生预拓扑。拓扑生成的原始采集覆盖家庭然后相同的拓扑生成的预拓扑,因为筛产生的同构→坎(−<i>X</i>是<i>Y</i>,<i>X</i>)。因此,如果我们限制我们关注的拓扑结构(Pt 3)和(Pt 3)是等价的。

网站和滑轮编辑]

让<i>C</i>是一个范畴,让<i>J</i>是Grothendieck拓扑<i>C</i>。对(<i>C</i>、<i>J</i>)被称为一个<b>站点</b>。

预层一类是从反变函子C在所有集合的类。注意,这个定义C不需要有一个拓扑。一捆在一个站点,但是,应该让胶,就像经典拓扑滑轮。因此,我们定义了一个在一个网站是一个预层F这样,所有的物体X和所有覆盖筛S打开(放)X,自然地图坎(坎(−,X),F霍姆()→SF),所包含的诱导S为坎(−,X),是一个双射。中途在之间的预层和层的概念分离预层在上面的图,自然是只需要打针,不是一个双射,所有筛S态射presheaves或滑轮是函子的自然变换。所有的滑轮上的范畴C是的主题由网站定义(CJ)。

使用米田引理,这可能表明在类预层oX)是一个层上定义的拓扑结构,当且仅当它是在传统意义上的一束。

在预拓扑滑轮具有特别简单的描述:每个覆盖家庭{XαX},图

必须是一个均衡器一个分离的预层,第一箭只需要内射。

类似地,可以定义presheaves和滑轮abel群戒指模块,等等。人需要一个预层F是一种反变函子来交换群范畴(或环,或模块等),或F是一个Abel群(环、模块、对象等)在所有逆变函子的范畴C对集合类。这两个定义是等价的。

实例网站编辑]

离散和离散拓扑编辑]

让<b>C</b>是任何类别。定义<b>离散拓扑</b>,我们宣布要覆盖所有筛筛。如果<b>C</b>有各种纤维产品,这无异于宣布所有的家庭将覆盖家庭。定义<b>拓扑代数</b>,我们只声明筛的形式(−坎,<i>x</i>)是覆盖筛。该拓扑代数也被称为<b>最大的</b>或<b>混沌</b>的拓扑结构,它是由预拓扑具有同构覆盖家庭。在平凡的网站一是作为预层相同。

的典型拓扑结构编辑]

让<b>C</b>是任何类别。米田嵌入了Hom函子(−,<i>x</i>)为每个对象的<b>C</b> <i>X</i>。的<b>典型拓扑结构</b>是最大的(最好的)的拓扑结构,每一个表示预层,即预层的形式(−坎,<i>X</i>),是一个层。一个覆盖筛或覆盖家庭这个网站说是<i>严格普遍满射</i>。一个拓扑不细比典型的拓扑结构,即为每一个覆盖筛是严格普遍满,称为<b>subcanonical</b>。subcanonical网站是网站的每一个预层形式的坎(−,<i>x</i>)是一个层。在实践中遇到的大多数网站都subcanonical。

小网站拓扑空间相关编辑]

我们重复的例子,我们开始与以上。让<i>X</i>是拓扑空间。我们定义了<i>O</i>(<i>x</i>)是类的对象是开放组<i>X</i>为态射包含开集。注意一个开集<i>U</i>和一个筛上设置<i>的</i><i>U</i>,<i>S</i>(<i>v</i>)包含零个或一个元素的每个开集<i>V</i>。覆盖在物体上的筛<i>U</i> <i>O</i>(<i>x</i>)是那些筛<i>的</i>满足下列条件:

  • 如果<i>W</i>是联盟所有集合<i>V</i>,<i>S</i>(<i>v</i>)非空,则<i>W</i> = <i>U</i>。

这一概念的覆盖通常的概念匹配点集拓扑。

这种拓扑结构也可以自然地被表示为一个预拓扑。我们说,一个家庭的夹杂物{vα U}是一个涵盖家庭若联盟vα等于U这个网站叫做小网站相关联的一个拓扑空间<i>X</i>。

大网站拓扑空间相关编辑]

SPC是所有拓扑空间范畴。任何家庭功能{Uα :vαX},我们说它是一个满的家庭或者说,态射Uα共同满射如果 Uαvα)等于X我们定义了一个预拓扑研究SPC以覆盖家庭将满的家庭所有成员开放的浸入。S是一个筛SPCS是一个覆盖筛此拓扑结构当且仅当:

  • 所有的<i>Y</i>和<i>F</i> 每个态射:<i>Y</i>→<i>X</i>在<i>S</i>(<i>Y</i>),存在一个<i>V</i>和<i>G</i> :<i>V</i>→<i>X</i>,<i>G</i>是一个开放的浸泡,<i>G</i>在<i>S</i>(<i>V</i>),和<i>F</i>因子通过<i>G</i>。
  • 如果<i>W</i>是联盟所有集<i>F</i>(<i>y</i>),其中<i>F</i> :<i>Y</i>→<i>x</i>是<i>S</i>(<i>Y</i>),然后<i>W</i> = <i>x</i>。

修复一个拓扑空间X考虑逗号范畴 SPC / X拓扑空间的连续映射到一个固定的X的拓扑结构SPC诱导拓扑SPC / X覆盖筛覆盖家庭几乎是一样的;唯一不同的是,现在所有的地图涉及通勤与固定图X这是大网站拓扑空间相关 X注意:SPC是一点空间大的相关网站。这个网站是首先考虑的让·纪劳

一个流形的大大小小的网站编辑]

M是一个流形M有一类开集oM)因为它是一个拓扑空间,并得到一个拓扑结构,在上面的例子中。两开集Uv属于M,纤维制品U×M v是开放的Uv,这是仍在oM)。这意味着拓扑oM)是由一个预拓扑定义,相同的预拓扑之前。

MFD是所有流形和连续映射的范畴。(或光滑流形和光滑映射,或实解析流形和分析图等)MFD是一子SPC,和开放的浸入是连续的(或光滑,或分析,等),所以MFD继承了一个拓扑结构SPC这让我们构建流形的大工地M作为网站MFD /米我们也可以用上述相同的预拓扑定义拓扑。注意,为了满足(Pt 0),我们需要检查任何连续映射的流形XY和任何的开子集U属于Y的纤维产品,U×Y XMFD /米这是一个开集的原像是公开声明。注意,然而,并不是所有的纤维产品存在MFD因为在一个临界值的平滑地图原像不需要是一个流形。

对方案的类别结构编辑]

类别计划,表示SCH,有大量有用的拓扑。一个完整的理解的一些问题可能需要使用几种不同的拓扑检查方案。所有这些拓扑结构相关的小的和大的网站。大遗址是以方案及其态射的整个类别的形成,连同覆盖拓扑指定筛。在一个给定的方案的小网站只有以对象和态射是一个给定的方案覆盖部分形成。

最基本的是Zariski拓扑X是一个方案。X有一个基本的拓扑空间,这决定了Grothendieck拓扑的拓扑空间。Zariski拓扑SCH由预拓扑其覆盖家庭方案理论开浸入满家庭共同产生。覆盖筛S扎尔具有以下两个属性:

  • 所有的<i>Y</i>和<i>F</i> 每个态射:<i>Y</i>→<i>X</i>在<i>S</i>(<i>Y</i>),存在一个<i>V</i>和<i>G</i> :<i>V</i>→<i>X</i>,<i>G</i>是一个开放的浸泡,<i>G</i>在<i>S</i>(<i>V</i>),和<i>F</i>因子通过<i>G</i>。
  • 如果<i>W</i>是联盟所有集<i>F</i>(<i>y</i>),其中<i>F</i> :<i>Y</i>→<i>x</i>是<i>S</i>(<i>Y</i>),然后<i>W</i> = <i>x</i>。

尽管他们外在的相似性,拓扑结构上扎尔的拓扑结构上的限制SPC这是因为有一种拓扑开放浸入而不是理论开浸入映射方案。例如,让是一个非—减少环,让N是理想的幂零元。商图A / N诱导地图规格A / N→规格这是对底层拓扑空间的身份。是一个方案的理论开浸入也必须引起同构结构的滑轮,这个地图不做。事实上,这张地图是一个封闭的浸泡。

这个é故事结构比Zariski拓扑细。它是第一个被仔细研究Grothendieck拓扑。其涵盖的家庭是é同态满射家庭共同的故事。它比Nisnevich拓扑细,但没有细或粗比先天性髋关节脱位我′拓扑。

有两平面拓扑结构,的FPPF拓扑和fpqc拓扑。FPPF代表FIDè元板de公关é表示有限,和在这种拓扑结构中,一个态射的仿射方案是一个覆盖射如果是忠实平坦,有限的演示,并拟有限。fpqc代表FIDè元板等拟实,和在这种拓扑结构中,一个态射的仿射方案是一个覆盖射如果是忠实平坦。在两个类别,覆盖家庭被定义为一个家庭在Zariski的开子集覆盖。[一]在fpqc拓扑,任何平坦和准紧凑性覆盖。[ 2 ]这些拓扑结构是密切相关的下降这个fpqc拓扑结构比上述拓扑结构的细化,这是非常接近的典型拓扑结构。

格罗滕迪克介绍晶体上同调研究P-特征上同调扭转部分P品种。晶体结构这是这一理论的基础,基础类的无穷加厚了对象分的权力结构结晶的网站是没有最终目标网站的例子。

连续和连续的函子编辑]

有两个自然类型的站点之间的函子。他们是由函子是在一定意义上给出了拓扑兼容。

连续函子编辑]

如果(CJ)和(DK)的网站和U :CD是一个函子,然后U连续的如果每捆F打开(放)D相对于拓扑K,预层是一个关于拓扑层J连续函子诱导相应的论题之间的函子发送一束F这些函子称为pushforwards如果表示相关的论题CD,然后推动函子

US承认一个左伴随US被称为回调US不需要保存的限制,即使是有限的限制。

以同样的方式,U将一个物体上的筛X属于C在对象上的筛UX属于D连续函数将覆盖覆盖筛筛。如果J通过预拓扑定义的拓扑结构,如果U用纤维产品的上下班,然后U连续当且仅当它将覆盖筛覆盖筛,当且仅当它将覆盖家庭覆盖家庭。总的来说,它是足够的U把覆盖筛覆盖筛(见SGA IV 3,为例1.9.3)。

连续的函子编辑]

再次,让(<i>C</i>、<i>J</i>)和(<i>d</i>,<i>k</i>)是网站和<i>V</i> :<i>C</i>→<i>D</i>是一个函子。如果<i>x</i>是一个对象的<i>C</i>和<i>R</i>是一个筛子上<i>VX</i>,然后<i>R</i>可以被拉回到一个筛<i>的</i>如下:一个态射<i>f</i> :<i>Z</i>→<i>x</i>是<i>S</i>当且仅当<i>V</i>(<i>F</i>) :<i>VZ</i>→<i>VX</i>是<i>R</i>。这定义了一个筛。V是<b>连续的</b>当且仅当对每个对象的每个覆盖筛<i>X</i> <i>C</i>和<i>R</i>的<i>VX</i>,回调<i>的</i>一个覆盖筛上的<i>R</i>是<i>X</i>。

组成v发送预层F打开(放)D一个预层FV打开(放)C,但如果v是连续的,这不需要把滑轮滑轮。然而,这个函子对预层类,通常,承认一个右伴随然后v是连续的当且仅当将滑轮滑轮,即当且仅当它限制了一个函子在这种情况下,复合材料与相关层的左伴随函子v*表示v*此外,v*保留有限的限制,所以伴随函子v*v*确定几何形态论题

态射的网站编辑]

一个连续的函子U :CD是一个射的网站 DC CD)如果US保留有限的限制。在这种情况下,USUS确定论题的几何性推理背后的公约,连续函子CD就是说,确定一个态射的方向相反的网站,这与直觉来自拓扑空间的情况下同意。连续映射的拓扑空间XY确定一个连续函子oY)→oX)。由于拓扑空间上的原始地图是说送XY,网站性说以及。

一个特定的情况下,这发生在一个连续的左伴随函子承认。假设U :CDv :DC是函子U右伴随v然后U连续当且仅当v是连续的,当这一切发生的时候,US自然是同构的v*US自然是同构的v*特别地,U一个态射的网站。

笔记编辑]

  1. ^ SGA III6.3、四。
  2. ^ SGA III6.3、四、命题6.3.1(V)。

参见编辑]

推荐信编辑]

外部链接编辑]